www.isbn.ro/06194

ISBN 978-606-31-0619-4 / 9786063106194

MINISTERUL EDUCAȚIEI NAȚIONALE.

MATEMATICĂ.
- Clasa A 6-A.

EDITURA DIDACTICĂ ŞI PEDAGOGICĂ S.A.

Autori.
Niculae Ghiciu (coordonator).
Emilia Iancu.
Vicenţiu Rusu.
Florentina Amalia Enea.
Maria Popescu.

●●

Cuprins.

PREZENTAREA MANUALULUI DE MATEMATICĂ - Clasa A 6-A.
RECAPITULARE CLASA A 6-A și TESTE INIŢIALE.
CAPITOLUL 1. MULŢIMI. MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE.
Unitatea de învățare: Mulțimi.
LECȚIA 1. Mulțimi; mulțimea numerelor naturale.
LECȚIA 2. Relații între mulțimi.
LECȚIA 3. Operații cu mulțimi.
Teste la final de unitate.
Unitatea de învățare: Mulțimea numerelor naturale.
LECȚIA 4. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime.
LECȚIA 5. Determinarea celui mai mic divizor comun și a celui mai mare multiplu comun al numere prime între ele.
LECȚIA 6. Proprietăți ale divizibilității în N.
Teste la final de unitate.
Teme pentru portofoliu.

CAPITOLUL 2. RAPOARTE. PROPORȚII.
Unitatea de învățare: Rapoarte și proporții.
LECȚIA 1. Rapoarte. Procente, probleme în care intervin procente.
LECȚIA 2. Proporții; proprietatea fundamentală a proporțiilor.
LECȚIA 3. Proporții derivate.
LECȚIA 4. Șir de rapoarte egale.
Teste la final de unitate.
Unitatea de învățare: Mărimi.
LECȚIA 5. Mărimi direct proporționale.
LECȚIA 6. Mărimi invers proporționale.
LECȚIA 7. Elemente de organizare a datelor; probabilități.
Teste la final de unitate.
Teme pentru portofoliu.

CAPITOLUL 3. MULȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI.
Unitatea de învățare: Numere întregi 1.
LECȚIA 1. Mulțimea numerelor întregi.
LECȚIA 2. Adunarea numerelor întregi, proprietăți.
LECȚIA 3. Scăderea numerelor întregi.
LECȚIA 4. Înmulțirea numerelor întregi, proprietăți.
LECȚIA 5. Împărțirea numerelor întregi.
Teste la final de unitate.
Unitatea de învățare: Numere întregi 2.
LECȚIA 6. Puterea cu exponent număr natural a unui număr întreg nenul.
LECȚIA 7. Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor.
LECȚIA 8. Ecuații și inecuații în mulțimea numerelor întregi.
LECȚIA 9. Probleme care se rezolvă cu ecuații / inecuații în numere întregi.
Teste la final de unitate.
Teme pentru portofoliu.

CAPITOLUL 4. MULȚIMEA NUMERELOR RAȚIONALE, notată cu Q.
Unitatea de învățare: Numere raționale.
LECȚIA 1. Număr rațional; mulțimea numerelor raționale.
LECȚIA 2. Adunarea numerelor raționale; proprietăți; scăderea numerelor raționale.
LECȚIA 3. Înmulțirea numerelor raționale; proprietăți; împărțirea numerelor raționale.
LECȚIA 4. Puterea cu exponent număr întreg a unui număr rațional nenul.
LECȚIA 5. Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor.
Teste la final de unitate.
Unitatea de învățare: Ecuaţii.
LECŢIA 6. Ecuații în mulțimea numerelor raționale.
LECȚIA 7. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor în Q.
Teste la final de unitate.
Teme pentru portofoliu.

CAPITOLUL 5. NOȚIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE.
Unitatea de învățare: Unghiuri.
LECȚIA 1. Unghiuri suplementare, unghiuri complementare.
LECȚIA 2. Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi.
LECȚIA 3. Unghiuri opuse la vârf. Unghiuri formate în jurul unui punct.
Teste la final de unitate.
Unitatea de învățare: Perpendicularitate.
LECȚIA 4. Drepte perpendiculare în plan. Mediatoarea unui segment.
Teste la final de unitate.
Unitatea de învățare: Paralelism.
LECȚIA 5. Drepte paralele; axioma paralelelor. Aplicații practice.
LECȚIA 6. Criterii de paralelism.
Teste la final de unitate.
Unitatea de învățare: Cercul.
LECȚIA 7. Cerc; elemente în cerc.
LECȚIA 8. Pozițiile unei drepte față de un cerc. Pozițiile relative a două cercuri.
Teste la final de unitate.
Teme pentru portofoliu.

CAPITOLUL 6. TRIUNGHIUL.
Unitatea de învățare: Triunghiul.
LECȚIA 1. Triunghiul; clasificare; perimetru.
LECȚIA 2. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi.
LECȚIA 3. Construcția triunghiurilor.
LECȚIA 4. Linii importante în triunghi.
Teste la final de unitate.
Unitatea de învățare: Congruenţe.
LECȚIA 5. Congruența triunghiurilor oarecare.
LECȚIA 6. Criteriile de congruență a triunghiurilor dreptunghice.
LECȚIA 7. Metoda triunghiurilor congruente.
Teste la final de unitate.
Unitatea de învățare: Triunghiuri particulare.
LECȚIA 8. Proprietăți ale triunghiului isoscel.
LECȚIA 9. Proprietăți ale triunghiului echilateral.
LECȚIA 10. Proprietăți ale triunghiului dreptunghic.
Teste la final de unitate.
Teme pentru portofoliu.
Evaluare finală.
Răspunsuri.

●●

PREZENTAREA MANUALULUI.

Conţinuturile lucrării sunt organizate pe unități de învățare și lecții.

UNITĂȚILE DE ÎNVĂŢARE.

ALGEBRĂ.
1. Mulţimi.
2. Mulţimea numerelor naturale.
3. Rapoarte și Proporții.
4. Mărimi.
5. Numere întregi 1.
6. Numere întregi 2.
7. Numere raționale.
8. Ecuaţii.

GEOMETRIE.
9. Unghiuri.
10. Perpendicularitate.
11. Paralelism.
12. Cerc.
13. Triunghiul.
14. Congruențe.
15. Triunghiuri particulare.

Pagini de început de capitol.

Pagina pentru Test la final de unitate.
Pagina pentru Teme pentru portofoliu.

●●

STRUCTURA LECŢIEI.

Lecţia conține următoarele secvenţe:
Atenţie, începem! - în care sunt propuse activități (Ai) de rezolvare a unor exerciții și probleme, care conduc la descoperirea noilor cunoştinţe, pe baza cunoştinţelor, competenţelor anterioare şi a unor imagini sugestive. Unele activităţi sunt precedate de întrebări prin care se pune în evidenţă scopul activităţii.

Ce ne învață teoria? - Conține noile cunoștințe ce trebuie reținute: noțiuni, proprietăți, reprezentări, reguli, algoritmi etc.

Să vedem ce am înțeles. - Propune spre rezolvare, exerciții și probleme prin care se verifică nivelul de înţelegere a lecţiei. Rezolvarea acestora se poate face frontal, pe grupe sau individual. Soluţiile vor fi prezentate întregii clase și discutate pentru a fi înţelese de toți elevii.

Invăţăm să rezolvăm! - Propune exerciții și probleme rezolvate care au drept scop aprofundarea și transferul cunoştinţelor, dezvoltarea abilităţilor elevilor privind: algoritmi, metode de rezolvare și demonstrare, construcții și mod de redactare a soluțiilor.

Acum să rezolvăm singuri!
- Vizează activitatea independentă a elevului, prin care îşi fixează, aplică, își dezvoltă cunoştinţele şi abilităţile, realizează conexiuni şi transfer de cunoştinţe în contexte variate şi pe grade de dificultate crescânde.

În partea de început a lucrării este propus un „Test inițial, cu scopul stabilirii traseului educațional în funcţie de nivelul de pregătire al elevilor.

La finalul fiecărei unităţi de învăţare sunt propuse: teme pentru portofoliul elevului, un test de autoevaluare (grilă cu soluţie în cuvinte tematice) și două Teste, în vederea determinării nivelului de competenţe şi cunoștințe dobândite, în funcţie de care se poate continua studiul unităților de învăţare următoare. Dacă se constată multe lipsuri în pregătire, este recomandat să se reia sarcinile de învăţare prin care să se asigure recuperarea cunoştinţelor şi a competenţelor de bază, în vederea înţelegerii și însuşirii noilor cunoştinţe.

Fiecare unitate de învăţare se termină cu un proiect interdisciplinar (matematică-informatică) ce presupune realizarea unei modelări în Scratch (aflat în programa de Informatică şi TIC la clasa a 5-a şi clasa a 6-a). In funcţie de necesități proiectul poate fi realizat în alte medii de programare.

Finalul lucrării prevede Teste prin care se realizează recapitularea finală.

●●

RECAPITULARE CLASA A 5-A și TESTE INIŢIALE.

1. Scrie cu cifre numărul șapte sute de mii opt.

2. Rotunjește la sute numărul 43827.

3. Determină numărul natural cu 389 mai mare decât 24892.

4. Calculează:
a) 3024 * 58 + 3024 * 43 minus 3024.
b) paranteză dreaptă 8 + 8 ori paranteză 8 la puterea a 2-a + 8 la puterea 98 împărțit la 8 la puterea 96. închidem paranteza, închidem și paranteza dreaptă împărțit la 129.

5. a) Compară numerele. a = 3 la puterea a 2-a totul la puterea a 3-a, înmulțit cu 3 la puterea a 4-a, împărțit la 3 la puterea a 4-a. cu numărul, b = 27;
b) Ordonează crescător numerele: 11 supra 3. 3 și 5 pe 6. și. 3 virgulă perioadă 3.

6. Arată că numărul en = 1 + 2 + până la 20 + 75 împărțit la 5 este pătrat perfect.

7. Determină ultima cifră a numărului 3 la puterea 9. + 2 la puterea 9. + 5 la puterea 9.

8. Determină:
a) cel mai mare număr natural care, împărțit la 29, dă câtul 12;
b) cel mai mic multiplu al numărului 25;
c) cel mai mic număr natural care se divide cu 24, 36 și 60.

9. Arată că: a) 3429 se divide cu 9; b) 175 este multiplu al lui 35; c) paranteză 1 plus 3. plus 3 la puterea a 2-a. plus 3 la puterea a 3-a. paranteză închisă. se divide cu 10.

10. Arată că produsul oricăror trei numere naturale consecutive este divizibil cu 6.

11. Maria a adunat două coșuri cu piersici. În primul coș are 45 de piersici, iar în al doilea treizeci și două de piersici. Ea le pune pe toate în cutii în care încap exact 8 piersici. Câte cutii va umple și câte piersici vor rămâne în cutia care nu se completează?

12. Dacă 6 caiete costă 18 lei, află cât costă 10 caiete.

13. Într-o curte sunt rațe și iezi. Câte rațe și câți iezi sunt în curte, dacă sunt 11 capete și 30 de
picioare?

14. Determină valorile mai mari sau egale cu 5 pe care le poate avea numitorul unei fracții cu numărătorul egal cu 7, astfel încât aceasta să fie supraunitară.

15. Scrie sub formă de fracție ordinară ireductibilă: a) 2 și 3 pe 4, b) 26 împărțit la 130, c) 6,12.

16. Scrie sub formă de fracție zecimală numărul trei întregi și cinci sutimi și apoi sub formă de fracție ordinară ireductibilă.

17. Calculează: a) suma numerelor 3,72 și 2,2; b) numărul de 100 de ori mai mic decât 258;
c) 2 pe 7 ori 14 pe 10 plus 4 pe 9 împărțit la 10 pe 9 + 5 la puterea a 2-a împărțit la 5 la puterea a 3-a.
d) paranteză 1 pe 2 minus 1 pe 8 paranteză închisă ori 2 la puterea 4;
e) 1 supra 201 plus 2 supra 201 + și așa mai departe până la 201 supra 201.
f) paranteză 1 + 1,8 la puterea a 2-a ori 100 paranteză închisă. împărțit la paranteză 2,4 * 15 minus 0,1 la puterea a 3-a * 1000 * 11 paranteză închisă;
g) 5,2 + 5, perioadă 2 minus 5,02 minus 5,02 perioadă 2.

18. Diferența a două numere este 78,24. Unul dintre ele este de trei ori mai mare decât celălalt.
Determină cele două numere.

19. Calculează suma și diferența măsurilor unghiurilor de 100 două grade douăsprezece minute 25 secunde. și. șaizeci și două grade 31 minute 34 secunde.

20. Dacă A, B, C sunt puncte coliniare și A B = 2,4 cm, iar BC = 3,2 cm, calculează lungimea
segmentului A C . Câte soluții are problema? Reprezintă printr-un desen.

21. Desenează și notează corespunzător: a) două segmente congruente care au un punct comun;
b) două drepte concurente într-un punct P și alte două puncte distincte, coliniare cu P;
c) un unghi ascuțit cu vârful în punctul O și laturile O A și O B.

22. Calculează:
a) aria unui dreptunghi cu dimensiunile: lungimea de 0,4 metri și lățimea de 15 cm;
b) volumul paralelipipedului dreptunghic cu lungimea de un decimetru, lățimea cât jumătate din lungime și înălțimea un sfert din lungime.
23. Copiază și completează spațiile punctate pentru a obține enunțuri adevărate:
a) 1 metru = câți decimetri;
b) 0,25 cm cubi = câți milimetri cubi;
c) 12847 metri pătrați = câte hectare.

24. Un acvariu are lungimea de 72 cm, lățimea de 45 cm și înălțimea de 38 cm. a) Determină capacitatea acvariului; b) Dacă în acvariu se pun 97,2 litri de apă, calculează cât din capacitatea acvariului rămâne fără apă; c) Calculează distanța de la marginea superioară a acvariului la nivelul apei.

Testul inițial 1.

Se acordă 10 puncte din oficiu.
1. Pe foaia de rezolvare, în spațiile punctate, scrie cuvintele sau rezultatele care fac enunțurile adevărate.
1. Numărul natural trei sute patru mii treizeci și șase se scrie cu cifre?
2. Un divizor impropriu al numărului 15 este numărul?
3. Două drepte care au un singur punct comun se numesc?

2. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul din cele patru răspunsuri este corect.
1. Rezultatul calculului 3 la puterea a 2-a, + 2 la puterea a 3-a, + 0 la puterea 100, minus 100 la puterea 0 + 1 la puterea 1001 este:
a) 26; b) 25; c) 17; d) 14.

2. Dacă fracțiile x supra 12 și 1 supra 3 sunt echivalente, atunci x este:
a) 36; b) 2; c) 3; d) 4.

3. Perimetrul unui dreptunghi cu lățimea de 8cm și lungimea 3 şi 1 pe 4 din lățime este:
a) 68 cm; b) 680 cm; c) 40 cm; d) 22 cm.

3. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:

1. Pentru 3 kg de struguri și 5 kg de mandarine s-au plătit 44 lei, iar pentru 5 kg de struguri și 10 kg de mandarine 80 lei. Cât costă un kg de struguri și cât unul de mandarine?
2. Scrieți numerele naturale de forma 2 a 3 b barat, divizibile cu 9 și cu 5.
3. Dacă suma măsurilor a două unghiuri reprezintă două treimi din măsura unui unghi alungit și unul dintre unghiuri are măsura o treime din măsura celuilalt unghi, aflați măsurile celor două unghiuri și reprezentați-le prin desen.

Testul inițial 2.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
1. Pe foaia de rezolvare, în spațiile punctate, scrie cuvintele sau rezultatele care fac enunțurile adevărate.

1. Dintre fracțiile 5 pe 12 și 5 pe 16 mai mică este fracția.

2. Fracția ordinară 7 pe 12 scrisă sub formă de fracție zecimală este.

3. Perimetrul unui pătrat cu latura de 0,25 cm este de. cm.

2. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul din cele patru răspunsuri este corect.

1. Dacă numărul 245a barat este divizibil cu 3, atunci:
a) a aparţine mulţimii: 0, 5. b) a aparţine mulţimii: 0, 3, 6, 9. c) a aparţine mulţimii: 1, 7.  d) a aparţine mulţimii: 0, 2, 4, 6, 8.

2. Numărul de 3,5 ori mai mare decât 2,8 este:
a) 980; b) 98; c) 9,8; d) 5 pe 4.

3. Numărul minim de drepte determinat de 8 puncte distincte este:
a) 0; b) 1; c) 2; d) 8.

3. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:

1. Aflați două numere naturale a căror diferență este 48, iar unul dintre numere este o cincime din celălalt.

2. Aflați media aritmetică a numerelor: 0,5; 2,4; 5,28 și 2,22.

3. Calculați: a) 4,8 decimetri + 125,7 metri = câţi decametri fac?
b) 0,07 hectogram + 1,2 decagram = câte kg;
c) 0,3 metri cubi + 300 cm cubi = câţi litri fac.

●●●

Capitolul 1. MULȚIMI. MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE.

Unitatea de învățare: Mulțimi.
Din ce este formată o mulțime?

A1. Precizați prin ce se caracterizează: trandafirii din buchet, pepenii din grămadă, trandafirul singur, cifrele din grup, literele din grup, parașutiștii din formație, păsările din stol, respectiv cuvântul elevele.

A2. Ce termen ar putea înlocui cuvintele: buchet, grămadă, grup, formație, stol, cuvânt?
Care este relația dintre element și mulțime?
A3. Răspundeți la următoarele întrebări:
a) Trandafirul galben face parte din mulțimea de trandafiri roșii?
b) Cifra 4 face parte din mulțimea de cifre? Dar cifra 3?
c) Litera c face parte din mulțimea de litere? Dar litera a?
d) De câte ori apare litera e în cuvântul elevele? Dar în mulțimea {e, l, v}?
Exemple: Mulțimea elevilor din clasa noastră; mulțimea cifrelor în baza 10.
Exemplu: Elementele mulțimii planetelor din Sistemul nostru Solar sunt: Jupiter, Marte, Mercur,
Neptun, Pământ, Saturn, Venus, Uranus.
Exemple: Mulțimea cifrelor zecimale este o mulțime numerică; mulțimea județelor țării nu este
o mulțime numerică.
1. O mulțime este formată din obiecte (fizice sau ale gândirii) care au o proprietate comună.
2. Obiectele din care este formată o mulțime se numesc elementele mulțimii. Ele sunt
distincte, iar ordinea lor nu este importantă.
3. O mulțime formată din numere se numește mulțime numerică.
LECȚIA 1. Mulțimi; mulțimea numerelor naturale
11
4. Mulțimile se notează cu litere mari din alfabetul latin, cu sau fără indici: A, B, C, ... , A1, A2,...
Mulțimea care nu are niciun element se numește mulțimea vidă și se notează cu simbolul Æ.
Exemple: a) Scriem: 2 Î {x| x este cifră pară} și citim „2 aparține mulțimii cifrelor pare”.
b) Scriem: 3 Ï {x| x este cifră pară} și citim „3 nu aparține mulțimii cifrelor pare”.
c) În diagrama de mai sus, m Î C și m Ï D.
Exemple:
a) Mulțimea D6 = {d| d divide 6} = {1, 2, 3, 6} este finită deoarece cardD6 = 4;
b) { } nn n n | , este număr prim, 10 Î =Æ ¥ M , iar cardÆ = 0.
Observație: {0} ≠ Æ.
c) Mulțimile ℕ = {n| n este număr natural}, P = {n| n = 2k, k Î ℕ}, I = {n| n = 2k + 1, k Î ℕ}
sunt infinite.
Referindu-ne la diagrama Venn-Euler alăturată, să scriem:
a) relația dintre fiecare element și fiecare mulțime dată prin diagramă,
precum și cardinalele acestor mulțimi;
b) elementele fiecărei mulțimi, prin enumerare și apoi folosind o
proprietate caracteristică.
5. Mulțimile se reprezintă prin:
· enumerarea elementelor între acolade
(Dacă A este mulțimea literelor din cuvântul elevele, scriem A = {e, l, v}),
· proprietate caracteristică
(Dacă B este mulțimea resturilor împărțirii unui număr natural la 5, scriem
B = {r| r este rest la împărțirea unui număr natural la 5},
de fapt B = {0, 1, 2, 3, 4}),
· diagrame Venn–Euler
(Mulțimile C = {m, n, p} și D = {u}, din figura alăturată).
6. Între un element și o mulțime vorbim de:
a) relația de apartenență, dacă elementul se regăsește în mulțime și folosim simbolul „Δ.
b) relația de nonapartenență, dacă elementul nu se regăsește în mulțime și folosim
simbolul „Ï”.
7. Mulțimile pot fi mulțimi finite (dacă numărul lor de elemente poate fi indicat printr-un
număr natural) sau mulțimi infinite (în caz contrar). Cardinalul unei mulțimi X reprezintă
numărul elementelor mulțimii X și îl notăm cardX sau |X|.
12
1. Enumerați elementele mulțimii A xx x x =Î £ { | , număr impar, cu 3 <14 ¥ }.
Rezolvare: Numerele care verifică inegalitățile din enunț sunt: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Dintre acestea le selectăm pe cele impare și obținem A = {3, 5, 7, 9, 11, 13}.
2. Scrieți mulțimea B = {1,5, 25,125,625} folosind o proprietate caracteristică a elementelor.
Rezolvare: Observăm că toate elementele mulțimii B sunt puteri ale lui 5: 1 = 50
, 5 = 51
, 25 = 52
,
125 = 53
și 625 = 52
, cu exponenții numere naturale de la 0 la 4. Astfel, mulțimea se poate scrie sub
forma {5 | ,0 4} n Bn n = Î ££ ¥ .
1. Dă exemple de mulțimi având ca elemente obiecte:
a) din clasa ta; b) de la matematică; c) de la geografie; d) de la limba română.
2. Găsește greșeala și rescrie corect mulțimile: A = {3, 5, 7, 9, 5}; B = {x, y, x, z};
C = {3, 3, 3}; D = {2, b, 3, b}; E = {3, a, 5, a, 3}.
3. Scrie mulțimea cifrelor numărului: a) 233696; b) 44223; c) 100000; d) 111111.
4. Reprodu și completează spațiile punctate cu simbolul potrivit „ ” Î sau „ ” Ï :
a) 2 … {1, 2, 3}; b) m … {a, b, c}; c) 7 … {5, 7, 6, 8}; d) 0 … Æ .
5. Reprezintă în trei moduri mulțimile: A = Mulțimea cifrelor impare;
B = Mulțimea vocalelor alfabetului latin; C = Mulțimea multiplilor lui 4, mai mici decât 30;
D = Mulțimea numerelor naturale care, înmulțite cu 3, dau 18; E = Mulțimea divizorilor lui 9.
6. Stabilește valoarea de adevăr a următoarelor enunțuri:
a) 2 | , 3 1 Î Î ×- {xx x ¥ }; b) 3 | 2, Î=Î {x x nn ¥}; c) { } 2 0| ,4 Ï xx x Î £ ¥ .
7. Reprezintă fiecare mulțime prin enumerarea elementelor sale:
A xx x = Î< { | ,7 ¥ } , B xx x = { | ,3 8 Î £< ¥ }, C xx x = Î { | ,7 ¥ M } ,
D xx x = Î += { | , 34 ¥ }, E xx x = { | *, 1 2 Î -£ ¥ } .
8. Reprezintă fiecare mulțime, folosind proprietatea caracteristică a elementelor sale:
A = {0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12} , B = {0, 2, 4,...,16}, C = {1,3,5,7,...,15} ,
D = {0,3,6,9,12,15} , E = {0,1, 4,9,16, 25,36} .
9. Precizează care dintre următoarele mulțimi sunt finite și care sunt infinite:
A xx x = Î ×+ = { | ,5 4 19 ¥ } , B xx x = Î -< { | , 73 ¥ } ,
C x x nn = =Î { | 3, ¥}, D xx n n = =+ Î { | 3 2, ¥} .
13
1. Două mulțimi A și B sunt egale dacă au aceleași elemente. Notăm A = B.
Două mulțimi A și B, care nu au aceleași elemente, nu sunt egale, chiar dacă au același
număr de elemente. Notăm A ¹ B.
Ce înțelegem prin mulțimi egale?
A1. Prin ce se caracterizează mulțimea vidă? Arătați că mulțimile: A = {ianuarie, martie,
mai, iulie, august, octombrie, decembrie} și B ={x|x lună a anului care are 31 de zile} au
aceleași elemente.
A2. Arătați că mulțimea C a literelor cuvântului analog este egală cu mulțimea D a literelor cuvântului golan.
Ce înțelegem prin submulțime sau parte (mulțime inclusă în altă mulțime) a unei mulțimi?
A3. Dacă A este mulțimea literelor cuvântului răstit și B cea a literelor cuvântului săritor, scrieți
mulțimile A și B prin enumerarea elementelor și răspundeți la întrebările:
a) Orice element al mulțimii A este element al mulțimii B?
Este mulțimea A inclusă în B? Este A submulțime a lui B?
b) Există cel puțin un element al lui B care nu aparține lui A?
Este mulțimea B inclusă în A? Este B submulțime a lui A?
A4. Indicați patru submulțimi ale mulțimii scaunelor de pe stadionul din figură.
Exemple:
a) Mulțimea M = {c, o, ș} a literelor cuvântului „cocoș” și mulțimea N = {c, o, ș} a literelor
cuvântului „șoc” sunt egale. Notăm M = N.
b) Mulțimile D nn n D nn n 3 5 = Î ¹= Î { }{ } | , |3 | , |5 ¥ ¥ , deoarece 3 3 {1,3} Î = D și
5 3 {1,5} Ï = D .
2. O mulțime A este submulțime a mulțimii B (sau mulțimea A este inclusă în mulțimea B)
dacă fiecare element x din A este în același timp și element al mulțimii B. Notăm A Í B.
Dacă cel puțin un element al mulțimii A nu este element al mulțimii B, atunci A nu este
submulțime a lui B și notăm A ⊈ B.
3. Mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi. Orice mulțime A are submulțimile A
și Æ, numite submulțimi improprii. Orice submulțime a lui A, diferită de Æ și de A, dacă
există, se numește submulțime proprie a lui A. Dacă A Í B și B Í A, atunci A = B.
LECȚIA 2. Relații între mulțimi
14
Exemple:
a) În figura alăturată mulțimea A = {1, 2} este o submulțime a mulțimii
B = {1, 2, 3, 4, 5} pentru că cele două elemente ale lui A sunt în același
timp și elemente ale lui B; notăm A Ì B;
b) Mulțimea B = {1, 2, 3, 4, 5} nu este submulțime a lui C = {1, 2, 3, 4,
6}, pentru că 5 Î B, dar 5 Ï C; notăm B Ë C.
c) Dacă A este mulțimea literelor cuvântului „pici” și B mulțimea
literelor cuvântului „cip”, atunci A = {p, i, c} și B = {c, i, p}. Prin urmare
AÍ B și B Í A. Deci A = B.
d) Mulțimea A = {0, 1, 2} are următoarele submulțimi: Æ, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, A.
Acestea formează mulțimea părților lui A, P(A) = {Æ, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, A}.
Referindu-ne la diagrama Venn-Euler alăturată:
a) Să scriem un element din mulțimea B și relația dintre acesta și
celelalte mulțimi;
b) Să scriem relația dintre mulțimea B și celelalte mulțimi;
c) Să scriem două submulțimi ale mulțimii D;
d) Să scriem patru mulțimi care nu sunt incluse în D.
1. Fie mulțimile A = {x |x este literă a cuvântului „pom”} și B = {x |x este
literă a cuvântului „mop”}. Stabiliți dacă A = B.
Rezolvare: m Î A și m Î B, o Î A și o Î B, de asemenea p Î A și
p Î B. Deci A = B.
2. Stabiliți relația dintre mulțimile A = {x| x este cifră pară} și
B xx x = £Î { } | 10, ¥ .
Rezolvare: 0 Î A și 0 Î B, 2 Î A și 2 Î B, 4 Î A și 4 Î B, 6 Î A și
6 Î B, 8 Î A și 8 Î B. Deci toate elementele din A se află în B, adică A Í B.
4. Mulțimea tuturor submulțimilor unei mulțimi M formează mulțimea părților mulțimii
M și se notează P(M).
15
1. Reprodu și înlocuiește spațiile punctate cu unul dintre simbolurile „Ì”, „Ë”sau „Í”:
a) {b} ... {a, b, c}; b) {2} ... {1, 2, 4}; c) {l, m} ... {l, m, n};
d) {l, m, n} ... {l, m, n}; e) {0} ... Æ.
2. Reprodu și completează enunțul cu simbolul potrivit: „=” sau „¹”. Dacă A este mulțimea formată din
literele cuvântului pepene și B este mulțimea formată din literele cuvântului pene, atunci A … B.
3. Descoperă și corectează greșeala:
a) DÌ D{ , , d W} ; b) {abc x " " } = { y z} ; c) Æ Î{0} ;
d) { |6 } { |2 } xÎ ÉÎ ¥M ¥M xx x ; e) { | : 3 2} {6} x x Î ¥ = Í ;
f) {x| x este ultima cifră a puterilor lui 3}Í {1, 3, 7, 9}; g) { |6 } { |3 } x Î ¥M ¥M xx x É Î ;
h) {3 | } {0, 3, 6, 9,12} n n Î Ì ¥ ; i) { | , 4} {1, 2, 3} xx x Î ¥ < Ì ;
j) { | 2 1} {0,1} n n = Ì ; k) {x x Î ×= Ì ¥ 2 6 1, 2,3 } { } ;
l){x x Î +£ Í ¥ 2 1 3 0,1 } { } ; m) {xx x Î¥ 3 21 2 13 - = Í -< } { }.
4. Determină x, astfel încât mulțimea {x, 2} să fie submulțime a mulțimii {1, 2, 3}.
5. Fie mulțimile A = {x |x este cifră pară} și B = {0, x, 4, 6, 8}. Stabiliți valoarea lui x, dacă A = B.
6. Pentru mulțimea A = {a, b, c}, scrie:
a) submulțimile improprii; b) toate submulțimile.
7. Pentru numărul 12, scrie mulțimea divizorilor:
a) proprii; b) improprii.
8. Scrie submulțimea multiplilor lui 2:
a) mai mici decât 12; b) cel mult egali cu 14.
9. Formulează o problemă cu același enunț ca cel al problemei 8, pentru numărul 3, apoi
rezolvă problema.
10. Formulează o problemă cu același enunț ca cel al problemei 7, pentru numărul 14, apoi
rezolvă problema.
11. Fie mulțimea A = {0, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 12}. Scrie submulțimea mulțimii A formată din:
a) multiplii lui 2; multiplii lui 3; multiplii lui 4; multiplii lui 6;
b) divizorii lui 6; divizorii lui 8; divizorii lui 9; divizorii lui 10.
12. Scrie două submulțimi ale mulțimii {3, 6, 8, 15, 27}, care să satisfacă simultan condițiile:
a) nu au elemente comune; b) au aceeași sumă a elementelor.
16
A1. Într-o clasă a VI-a, sunt elevi care fac parte din echipa de fotbal a școlii, din echipa de handbal, din
ambele echipe și elevi care nu fac sport.
Fie A = {Ionuț, George, Costin, Vasile, Petre, Sandu, Marius}
mulțimea elevilor care fac parte din echipa de fotbal, B = {Doru,
Virgil, Petre, Vasile, George, Constantin, Eduard} mulțimea elevilor
care fac parte din echipa de handbal și C mulțimea elevilor care nu
fac sport. Folosind reprezentarea prin diagrame a mulțimilor date,
determinați:
a) mulțimea elevilor care fac parte atât din echipa de fotbal cât și din echipa de handbal;
b) mulțimea celor care fac parte numai din echipa de fotbal, respectiv numai din cea de handbal;
c) mulțimea elevilor care fac parte din cel puțin una dintre echipele de fotbal sau de handbal;
d) mulțimea elevilor care sunt în echipa de handbal și care nu fac sport.
Exemple:
a) Dacă A abc ={ } , , , B cde ={ } , , și C def ={ } , , atunci A Ç B = {c} , iar A Ç C = Ø;
b) Intersecția mulțimii vide cu o mulțime oarecare M este mulțimea vidă: M Ç Ø = Ø Ç M = Ø.
c) Detectivul și intersecția mulțimilor. Celebrul detectiv Sherlock Holmes căuta numele unei nave cu pânze,
pentru rezolvarea unui caz. El știa doar că, în ianuarie 1883, acea corabie fusese la Pondichéry (sud-estul Indiei), în ianuarie 1885, la Dundee (Scoția), iar în septembrie 1887,
când se desfășura ancheta, corabia se afla în portul Londrei. Folosind
aceste date el a stabilit denumirea navei, constatând că din intersecția
mulțimilor: corăbiilor aflate în ianuarie 1883 la Pondichéry, a celor
aflate în ianuarie 1885 la Dundee și a celor aflate în septembrie 1887
la Londra a făcut parte o singură navă.
1. Intersecția a două mulțimi A și B este mulțimea formată din elementele
comune mulțimilor A și B. Scriem A Ç B = {x| x Î A și x Î B}. Două
mulțimi a căror intersecție este mulțimea vidă se numesc mulțimi disjuncte.
LECȚIA 3. Operații cu mulțimi
17
Exemple:
a) Reuniunea mulțimilor A ={ } 1,2,3 și B ={ } 3,4,5,6 este mulțimea A B È ={ } 1,2,3,4,5,6 ;
b) Reuniunea mulțimii vide cu o mulțime oarecare M este mulțimea M: M MM ÈÆ =ÆÈ = .
Exemple:
a) Dacă A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 4, 5} și C = {5, 6, 7}, atunci: A \ B = {2, 3}, B \ A = {5}, iar A \ C = Æ;
b) Diferența dintre o mulțime oarecare M și mulțimea vidă este mulțimea M: M \ Æ = M;
c) Diferența dintre mulțimea vidă și o mulțime oarecare M este mulțimea vidă: Æ \ M = Æ;
d) Diferența dintre o mulțime oarecare M și ea însăși este mulțimea vidă: M \ M = Æ.
Considerăm mulțimile A, B, C, D, cu literele din cuvintele: matematica, informatica, gramatica,
aritmetica. Să scriem prin enumerare:
a) mulțimile A, B, C, D; b) 6 intersecții ale oricăror două dintre mulțimi;
c) reuniunile oricăror două dintre mulțimi; d) 12 diferențe ale oricăror două dintre mulțimi.
1. Determinați mulțimile A și B, știind că sunt îndeplinite simultan condițiile:
a) A B È ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; b) A B Ç ={3,5,10};
c) AÈ = {2,4,6} {1,2,3,4,5,6,7,10}; d) B È = {1,7} {1,3,5,7,8,9,10}.
Rezolvare: Din condiția b) rezultă: 3ÎA și 3ÎB; 5ÎA și 5ÎB; 10ÎA și 10ÎB. Din condiția c) rezultă:
1ÎA, 3ÎA, 5ÎA, 7ÎA, 10ÎA. Din condiția d) rezultă: 3ÎB, 5ÎB, 8ÎB, 9ÎB, 3ÎB. Din condițiile a),
b), c) și d) rezultă: {2, 4, 6}Ì A.
Deci, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10} și B = {3, 5, 8, 9, 10}.
2. Reuniunea a două mulțimi A și B este mulțimea formată din
elementele care aparțin cel puțin uneia dintre mulțimile A sau B.
Scriem A È B = {x| x Î A sau x Î B}.
3. Diferența dintre mulțimea A și mulțimea B este mulțimea formată
din elementele lui A care nu aparțin lui B. Scriem
A \ B = {x| x Î A și x Ï B}.
Observație: A \ B ¹ B \ A.
18
2. Cei 25 de elevi ai unei clase a VI-a practică cel puțin unul dintre sporturile volei sau handbal. Dacă 17
elevi practică handbal și 14 elevi practică volei, aflați câți elevi din clasă practică numai handbal și câți
practică numai volei.
Rezolvare: Fie C mulțimea elevilor clasei, H mulțimea elevilor clasei care
practică handbal și V mulțimea celor care practică volei. Avem |C| = 25, |H| = 17,
|V| = 14 și obținem |HÇV| = 17 + 14 – 25 = 6. Atunci, 17 – 6 = 11 elevi practică
numai handbal și 14 – 6 = 8 elevi practică numai volei.
1. În desenul alăturat sunt reprezentate mulțimile A, B și C.
a) Scrie mulțimile A, B și C prin enumerarea elementelor ;
b) Scrie următoarele mulțimi prin enumerare: D = {x| xÎA și xÎB};
E = {x| xÎB și xÎC}; M = {x| xÎA și xÏB}.
2. Identifică egalitățile adevărate:
a) {3} Ç {a} = Æ; b) {1} \ {2} = Æ; c) {5} È {1} = {1, 5}; d) {5} Ç {1, 5} = Æ;
e) {1, 5} È Æ = Æ; f) {2, 3, 4} Ç Æ = {2, 3, 4}; g) {2, 3} \ ℕ = Æ.
3. Fie mulțimile: A = {1, 2, 3, 5}, B = {0, 2, 4, 6} și C = {1, 3, 6, 7, 8, 9}. Calculează:
A È B; B È A; A Ç B; (A È B) È C;
A È (B È C); B Ç A; A \ B; B \ A;
(A \ B) \ C; A \ (B \ C).
4. Fie Ax x =Î £ { } ¥*| 16 și { } 3 Bx x =Î £ ¥*| 64 . Calculează:
A Ç B; A È B; A \ B; B \ A.
5. Fie mulțimea C = {a, b, c}. Scrie câte două mulțimi A și B, ale mulțimii C, astfel încât:
a) A È B = C; b) A Ç B = C; c) A \ B = C.
6. Fie A și B două mulțimi, cu |A| = 12 și |B| = 10. Determină:
a) |A Ç B|, dacă |A È B| = 15; b) |A È B|, dacă |A Ç B| = 5;
c) cel mai mare și cel mai mic cardinal posibil pentru AÈB și AÇB.
7. Fie mulțimile A = {1, 2, x} și B = {1, y, 3}. Determină x și y, astfel încât AÇB = AÈB.
8. Determină mulțimile X și Y, știind că îndeplinesc simultan condițiile:
a) X \ Y = {3, 4, 5}; b) Y Ç X = {0, 1}; c) X È Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
9. Fie A x x aa = Î ££ Î { } ¥ ¥ |1 , și B x ax a = Î ££ Î { } ¥ ¥ | 6, . Determină aÎ¥ astfel încât
A Ç B = {4}.
19
Modelează scenariul: „Bebe M” intră în scenăși spune „Mulțimi” pentru 2 secunde. Apoi spune „Dacă
A = {1,2,3,4,5}” (cele 5 numere sunt aleatorii). Apoi apare „Big M” care întreabă: „Este adevărat că
3 se află în A (D/N)?” (număr aleatoriu). Și se așteaptă răspunsul „D”, adică Da, sau „N”, adică Nu.
Dacă răspunsul este corect, „Big M” spune „Bravo !”, dacă nu, atunci „Big M” spune „Of !”.
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. Dacă A al f betr B aritmec C imc === { }{ }{} " , , " , , ", , , , , , , atunci C este:
a) b) c) d)
diferența
mulțimilor B și A
diferența
mulțimilor A și B
reuniunea
mulțimilor A și B
intersecția
mulțimilor A și B
2. Dacă A este mulțimea numerelor naturale cel puțin egale cu 5 și B este mulțimea
numerelor naturale mai mici decât 5, atunci mulțimea vidă este:
m) n) o) p)
diferența
mulțimilor B și A
diferența
mulțimilor A și B
reuniunea
mulțimilor A și B
intersecția
mulțimilor A și B
3. Dacă A, B sunt mulțimi, atunci C = (A – B) È (B – A) È(A Ç B) este:
a) b) c) d)
reuniunea
mulțimilor B și A
diferența
mulțimilor A și B
diferența
mulțimilor B și A
intersecția
mulțimilor A și B
4. Mulțimea numerelor naturale obținute ca sumă de două numere naturale de două cifre este:
p) q) r) s)
{21,22,22,...,197} {10,11,12,...,99} {20,21,22,...,198} {0,1, 2,...,18}
5. Cardinalul mulțimii numerelor naturale de două cifre distincte este:
t) ț) u) v)
20 81 90 10
6. Dintre mulțimile: A a literelor cuvântului „cinci”, B a cardinalelor mulțimilor literelor cu care se
scriu cifrele, C a obiectelor din penar, D a bomboanelor din acest test, cea numerică este:
h) i) j) k)
A B C D
1 2 3 4 5 6 7

20
7. Afirmația falsă este:
l) m) n) o)
nicio mulțime de
părți nu este vidă.
o mulțime cu două
elemente are exact
patru submulțimi.
mulțimea vidă este
element al ei înseși.
mulțimea vidă are
cardinalul nul.

Testul 1.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Valoarea de adevăr a propoziţiei 3 Î {0, 1, 2, 3, 4, 5} este … .
2. Mulțimea literelor din cuvântul „matematica” este mulțimea … .
3. Dacă A = {1, 2, 3} și B = {3, 4, 5}, atunci A Ç B este … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul
din cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Elementele mulțimii { } * Ax x = Î +£ ¥ |2 3 9 sunt:
a) {1, 2, 3}; b) {0, 1, 2, 3}; c) {1, 2, 3, 4, 5}; d) {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
2. Cardinalul mulțimii M xx x n n n = Î =- Î £ { } | , 2 5, , 30 ¥ ¥ este:
a) 29; b) 31; c) 30; d) 28.
3. Dacă mulţimea A are 25 elemente, mulţimea B are 34 elemente, iar A B Ç are 15
elemente, atunci cardinalul mulțimii A B È este:
a) 9; b) 74; c) 44; d) 59.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Se dau mulţimile: A = {1, 2, 3, 5}, B = {0, 1, 2, 4, 6}, C = {2, 3, 4, 6, 7}.
Calculați: a) A È C; b) A Ç B; c) C \ A; d) (A È C) \ B.
2. Aflaţi mulţimile X şi Y, ştiind că sunt îndeplinite simultan condițiile:
a) X Ç Y = {3, 4}, b) X \ Y = {1, 2}, c) X È Y = {1, 2, 3, 4, 5}.
3. Fie mulțimile { } * A a a nn n = Î =× Î < ¥ ¥ | 2, , 3 , B b ba aA = Î =- Î { } ¥ | 2,
și C c c b bB =Î = - Î { } ¥ | 2 1, . Determinați mulțimile A, B și C prin enumerare.
21
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Elementele mulțimii {x| x Î ℕ, 3 ≤ x < 5} sunt… .
2. Cardinalul mulțimii M = {0, 2, 4, 6, 8} este … .
3. Dacă A = {1, 2, 3} și B = {3, 4, 5}, atunci A È B este … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul din
cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Elementele mulțimii Ax x = Î < -£ { ¥ | 4 3 2 10} sunt:
a) {2, 3, 4}; b) {3, 4}; c) {7, 8, ..., 12}; d) {5, 6, ..., 10}.
2. Cardinalul mulțimii M xx x n n x = Î =- Î < { } | , 3 4, , 25 ¥ ¥ este:
a) 10; b) 7; c) 9; d) 8.
3. Dacă mulţimea A are 125 elemente, mulţimea B are 287 elemente, iar A B È are
15 elemente, atunci cardinalul mulțimii A B Ç este:
a) 104; b) 412; c) 287; d) 125.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Fie mulțimile: Ax x = Î ££ { | 4 7} ¥ , B y yx xA = { | 2, } Î =+ Î ¥ ,
C z z xx A =Î = Î { | 2, } ¥ .
a) Scrie mulțimile A, B și C enumerând elementele lor;
b) Precizează care dintre propozițiile de mai jos sunt advărate și care sunt false:
i) {5,6} Ì A ; ii) A C Ì ; iii) {7,8} Ì B .
2. Precizează valoarea de adevăr a propozițiilor:
i) 3 Î {0, 1, 3, 7, 9}; ii) 2 Î {1, 4, 5};
iii) {1, 2, 5} Î {0, 1, 2, 4}; iv) {1,2,5} {0,1,2,5,7} Ì .
3. Dacă A = {a, b} și B = {b, c}, calculează:
a) A È B; b) A Ç B; c) (A È B) \ (A Ç B).
22
Unitatea de învățare: Mulțimea numerelor naturale

A1. Un cofetar promovează cele 12 sortimente de bomboane de ciocolată, așezându-le în cutii cu alveole, fiecare alveolă coținând o singură bomboană din fiecare sortiment. Astfel, se așează bomboanele în cutii de tipul:

Un strat cu un rând de 12 bomboane
12 = 1 × 12
Un strat cu 3 rânduri și 4 coloane
12 3 4 = ×
Un strat cu 2 rânduri și 6
coloane
12 2 6 = ×
Două straturi cu câte 2 rânduri și 3
coloane
12 2 2 3 = ××
a) Ce altă propunere de prezentare a
bomboanelor puteți face ?
b) Ce variante de cutii ați prezenta
cofetarului dacă numărul noilor sortimente
ar fi 18 ?

Observație: Singurul număr par prim este 2.
În figura alăturată sunt prezentate, într-o variantă a
ciurului lui Eratostene, numerele prime și
numerele compuse cel mult egale cu 100. Sunt
hașurate cu albastru numere divizibile cu 2, cu roz,
numerele divizibile cu 5, cu galben, numerele
divizibile cu 3 și cu verde, multipli ai lui 7. În
pătratele nehașurate sunt numerele prime.
1. Oricare număr natural a, a ¹ 1 are cel puțin divizorii 1 și a. Un număr natural mai mare
decât 1, care are exact doi divizori (pe 1 și pe el însuși), se numește număr prim. Dacă mai
are și alți divizori se numește număr compus.
LECȚIA 4. Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri
de numere prime
23
Exemplu: La descompunerea în produs de puteri de numere prime a numărului 264
procedăm astfel: identificăm cel mai mic divizor prim al lui 264, 2 în acest caz.
Efectuăm împărțirea 264 : 2, obținem câtul 132, deci 264 2 132 = × . Aplicând
procedeul factorului 132 = 2 × 66 și obținem 264 2 2 66 =×× . Cum 66 = 2 × 33, rezultă
264 2 2 2 33 =××× . Prin înlocuirea lui 33 cu 3 × 11, obținem 264 2 2 2 3 11 = ×××× .
Factorul 11 este număr prim, iar descompunerea este terminată. În practică,
organizăm calculele astfel: În dreapta liniei verticale apar factorii primi ai lui 264, iar
în stânga câturile împărțirilor descrise anterior.
Astfel, am obținut descompunerea 3 264 2 2 2 3 11 2 3 11 = ×××× = ×× .
Observație: Pentru descompunerea în produs de puteri de numere prime a unui număr natural, care
se termină în „0”, utilizăm descompunerile: 10 2 5 = × , 2 2 100 2 5 = × , ..., 100...0 2 5 n n
n zerouri
123 = × .
Exemple:
a) Stabilim dacă 139 este număr prim: 139 nu este divizibil cu 2, cu 3, cu 5, 139 7 19 6 =× + și
7 19 < , 139 11 12 7 =×+ și 11 12 < , 139 13 10 9 =×+ și 13 10 > . Numărul 139 este prim.
b) Stabilim dacă 221 este număr prim: 221 nu este divizibil cu niciunul dintre numerele 2, 3, 5,
7, 11, dar 221 13 17 = × . Numărul 221 este compus.
1. Să scriem numărul 144000 ca produs de puteri de numere prime. Apoi și numărul ( )2
2 9 49 . × ×
2. Să stabilim dacă sunt adevărate afirmaţiile: Dacă un număr natural
a) de 4 cifre se termină în 6, sigur este compus; b) are o singură cifră, sigur este prim;
c) de cel puțin două cifre are toate cifrele egale, d) se termină în 5, sigur este compus.
sigur este compus;
2. Orice număr natural compus se poate scrie ca produs de puteri de numere prime.
Scrierea este unică, abstracție făcând de ordinea factorilor.
3. Pentru identificarea unui număr natural prim, procedăm astfel:
- împărțim numărul dat succesiv la toate numerele naturale prime, luate în ordine
crescătoare, până când obținem câtul mai mic decât împărțitorul;
- dacă niciuna dintre împărțirile efectuate nu are restul 0, atunci numărul este prim;
- dacă la una dintre împărțiri restul este 0, atunci numărul este compus
24
1. Descompuneți numărul 3600 în produs de puteri de factori primi.
Rezolvare:
2. Demonstrați că orice număr natural mai mare sau egal cu 3 se poate scrie ca sumă de numere prime.
Rezolvare: Considerăm numărul natural oarecare n, cu n ³ 3 . Numărul n poate fi par sau impar.
Dacă n este un număr par, avem: n k = 2 , cu k k Î¥, 2 ³ . Atunci, se poate scrie
termeni
2 2 ... 2
k
n =++ +
14243 , ca
sumă de k numere prime.
Dacă n este un număr impar, avem n k = 2 1+ , cu k k Î¥, 1 ³ . Atunci, se poate scrie
( )
1 termeni
2 1 3 2 2 3 2 1 3 2 2 ... 2
k
nk k k
-
= += + - = +× - = + + + + 14243
, ca sumă de k numere prime.
1. Se consideră mulțimea A ={2,3,6,15,23,31,33,54,67,97}.
a) Scrie mulțimea numerelor prime care aparțin mulțimii A;
b) Scrie mulțimea numerelor compuse care aparțin mulțimii A.
2. Scrie ca produs de două numere prime numerele: 15, 22, 35, 39, 65, 77, 91.
3. Determină intersecția mulțimilor A={x | xÎ¥ , x număr par} și B={x |xÎ¥ , x prim}.
4. Descompune în produs de puteri de numere prime următoarele numere:
a) 12, 24, 60, 75; b) 120, 576, 324, 800; c) 2475, 4410, 12100, 19008.
5. Fără a efectua calculele, scrie toți divizorii numerelor:
a) 13 19 × ; b) 2 5 11 × ; c) 3 5 11 × ; d) 2 2 5 11 × ; e) 3 3 5 11 × ; f) 5 11 13 × × ; g) 2 5 11 13 × × .
7. Cunoscând prima descompunere, scrie direct descompunerile numerelor următoare:
a) 3 250 5 2 = × ; 750 = 1000 = 2500 =
b) 2 12 2 3 = × ; 60 = 36 = 120 =
8. Scrie ca produs de puteri de factori primi numerele: a) 3 15 ; b) 4 121 ; c) 2 90 ; d)( )3
4 5× ; e)( )3
4 25 . ×
9. Suma a două numere prime este 104. Află cele două numere. Câte soluții are problema?
10. Găsește patru exemple de numere naturale diferite care au același număr de divizori.
3600 2 2 2 5× ¬ 3600 se divide cu 100
3600 : 100 = 36 ® 36 2 ¬ 36 se divide cu 2
36 : 2 = 18 ® 18 2 ¬ 18 se divide cu 2
18 : 2 = 9 ® 9 3 ¬ 9 se divide cu 3
9 : 3 = 3 ® 3 3 ¬ 3 se divide cu 3
3 : 3 = 1 ® 1 Deci:
2 2 422 3600 2 5 2 2 3 3 2 3 5 = × ××××= × × .
25
A1. Pentru un eveniment, Radu realizează buchete cu același număr de trandafiri și buchete cu același
număr de crizanteme. El are la dispoziție 24 de fire de trandafiri și 36 de fire de crizanteme și remarcă
faptul că numărul firelor de trandafiri din fiecare buchet trebuie să fie un divizor al lui 24, în timp ce
numărul crizantemelor din fiecare buchet trebuie să fie un divizor al lui 36.
a) Analizați tabelul următor și stabiliți numărul maxim comun al buchetelor de trandafiri şi crizanteme
pe care Radu le poate realiza:
Numărul firelor de trandafiri dintr-un buchet 1 2 3 4 6 8 12 24
Numărul buchetelor de trandafiri care se pot obține 24 12 8 6 4 3 2 1
Numărul firelor de crizanteme dintr-un buchet 1 2 3 4 6 9 12 18 36
Numărul buchetelor de crizanteme care se pot obține 36 18 12 9 6 4 3 2 1
b) Determinați cel mai mare divizor comun al numerelor 24 și 36 și stabiliți legătura dintre acesta și
numărul de buchete ce se pot realiza cu 24 fire de trandafir și 36 fire de crizantemă.
A2. Se consideră o dreaptă d și un punct A al ei. Pornind din A, de aceeași parte a lui A, punctele aflate pe
dreaptă din 12 în 12 mm sunt marcate cu roșu, iar cele
situate din 15 în 15 mm sunt marcate cu negru. Aflați la
ce distanță de A se află primul punct marcat și cu roșu
și cu negru.
Cel
mai
mare divizor
comun al două
sau al mai
multor numere
naturale,
nu toate nule,
este acel
divizor
al lor care
se
divide
cu
oricare dintre
divizorii
comuni ai
numerelor date.
mic multiplu multiplu
nenul divide multiplii
Exemplu: Pentru numerele 2 3 3500 2 5 7 =×× și 3 2 600 2 3 5 = ×× , c.m.m.d.c. este
2 2 (3500,600) 2 5 100 =×= și c.m.m.m.c. este [ ] 3 3 3500,600 2 3 5 7 21000 = ×× × = .
1. Pentru c.m.m.d.c. se alege exponentul minim al factorilor comuni din descompunere (dacă factorul
nu apare înseamnă că exponentul este nul), iar pentru c.m.m.m.c. se alege exponentul maxim, al
factorilor comuni și necomuni din descompunere, scriși o singură dată.
2. c.m.m.d.c. al numerelor și a, , este (0, a) = a.
LECȚIA 5. Determinarea c.m.m.d.c. și a c.m.m.m.c.; numere prime între ele
26
Exemplu: 2 și 7 sunt prime între ele, pentru că (2,7) = 1; dar 2 și 8 nu sunt prime între ele, pentru că (2,8)=2.
Într-adevăr, deoarece b și c sunt divizori ai lui a, există numerele naturale p și q astfel încât a = b × p și
a = c × q, deci b × p = c × q. Din (b, c) = 1 și c|b × p deducem că c|p, deci există numărul natural k astfel încât
p = c × k. Prin urmare a = b ×(c × k) = (b × c) × k, adică b × c|a.
Exemplu: [2, 5, 13] = 2 × 5 × 13 = 130, pentru că (2, 5) = 1, (2, 13) = 1 și (5, 13) = 1.
Exemplu: [13, 39] = 39, deoarece 13|39.
Exemplu: (6, 15) = 3; [6, 15] = 30 și (6, 15) × [6, 15] = 3 × 30 = 90 = 6 × 15.
1. Să scriem cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun al numerelor
345 543 a b =×× = ×× 2 3 5, 2 3 5 .
2. Să stabilim dacă sunt adevărate următoarele enunțuri:
a) Dacă două numere sunt prime între ele, atunci c.m.m.m.c. este produsul lor;
b) Dacă două numere diferite sunt prime, atunci ele sunt prime între ele;
c) Două numere pare nu sunt niciodată prime între ele;
d) Un număr natural și un număr prim sunt întotdeauna prime între ele.
1. Calculați c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al numerelor 420, 70 și 504.
5. Cel mai mic multiplu comun al două sau al mai multor numere naturale, oricare două prime între
ele, este produsul lor.
4. Dacă a, b și c sunt numere naturale astfel încât b|a, c|a și (b, c) = 1, atunci b × c|a.
6. Dacă a și b sunt două numere naturale nenule astfel încât a|b, atunci [a, b] = b
7. Relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al numerelor naturale a și b este
(a, b) × [a, b] = a × b.
3. Două sau mai multe numere naturale care au c.m.m.d.c. egal cu 1 se numesc prime între ele. Dacă
numerele a, b sunt prime între ele, notăm (a, b) = 1.
27
Rezolvare: Pentru a calcula c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. ai două sau ai mai multor numere, mai întâi
descompunem numerele în produs de puteri de factori primi. Astfel, 2 420 2 3 5 7 = ××× ,
70 2 5 7 = ×× și 3 2 504 2 3 7 = ×× . Pentru a afla c.m.m.d.c., alegem factorii comuni din cele trei
descompuneri, la puterea cea mai mică și obținem (420, 70, 504) = 2 × 7 = 14. Pentru a afla
c.m.m.m.c., alegem atât factorii comuni cât și pe cei necomuni, o singură dată, la puterea cea
mai mare și obținem [ ] 3 2 420,70,504 2 3 5 7 = × ×× .
2. Aflați numerele naturale de forma 4 27 a b divizibile cu 2 și 5.
Rezolvare: Numerele 2 şi 5 fiind prime între ele, e suficient să găsim numerele naturale de forma cerută
divizibile cu cel mai mic multiplu comun al numerelor 2 și 5, adică cu 10. Cum divizibilitatea cu 10 arată
că ultima cifră este 0, rezultă b = 0. Deducem că numerele căutate sunt: 40270, 41270, 42270, ... , 49270.
1. Scrie mulțimea divizorilor și apoi află c.m.m.d.c. al numerelor din fiecare pereche de numere date:
a) 12 și 8; b) 10 și 25; c) 18 și 24; d) 15 și 25;
e) 20 și 28; f) 8 și 26; g) 24 și 22.
2. Află c.m.m.d.c. al numerelor din perechile date, folosind descompunerea în produs de factori primi:
a) 108 și 45; b) 57 și 38; c) 120 și 48; d) 42 și 54;
e) 182 și 42; f) 24 și 36.
3. Află c.m.m.d.c.al tripletelor de numere:
a) 36, 16, 48; b) 8, 24, 36; c) 15, 36, 12; d) 20, 30, 40;
e) 126, 162, 270; f) 360, 2700, 630.
4. Scrie mulțimea primilor unsprezece multipli ai lui 3 și mulțimea primilor zece multipli ai lui 5
Calculează apoi, intersecția celor două mulțimi și află c.m.m.m.c. al numerelor 3 și 5.
5. Calculează c.m.m.m.c. al fiecărui grup de numere:
a) 2, 4, 6 și 8; b) 10, 15, 30 și 60; c) 20, 25, 45 și 70; d) 11, 33, 66 și 99.
6. Arată că următoarele perechi de numere sunt prime între ele:
a) 15 și 14; b) 12 și 37; c) 8 și 35; d) 13 și 14;
e) 87 și 88; f) n și n+1, * n Î ¥ .
7. Scrie toate perechile de numere naturale care au c.m.m.m.c. egal cu: a) 1; b) 2; c) 5; d) 4; e) 6.
8. Află cel mai mic număr de sportivi care se pot alinia în coloane de câte 6, de câte 8 sau de câte 10.
9. Cantitatea de material dintr-un depozit poate fi transportată cu camioane, având capacitatea de 6t,
7t sau 9t. Află această cantitate, știind că este cuprinsă între 2200t și 2300t.
10. Producția zilnică de piese de același fel, a unui atelier, poate fi depozitată în lăzi cu capacitatea de
5, 6, 12 sau 15 piese. Care este numărul pieselor produse într-o zi în atelier, știind că el este cuprins
între 400 și 450 ?
11. Află numerele naturale a b 135 , scrise în baza zece, divizibile cu 2 și 9.
12. Află perechile de numere naturale care au suma 40 și c.m.m.d.c. 5.
28
A1. În una din sălile de lectură, cu mai multe mese, dintr-o
bibliotecă, fiecare masă are același număr de locuri, iar fiecare
loc este prevăzut cu o priză electrică.
a) Precizați dacă numărul de locuri de la mese este divizibil cu
numărul de prize și cu numărul 1; b) Cu ce cuvânt trebuie
completat spațiul punctat, pentru ca enunțul „Oricare număr natural este ... cu 1 și cu el însuși”
să fie adevărat? c) Cum se numesc numerele naturale nenule, diferite de 1, care au numai doi
divizori: pe 1 și pe el însuși? d) Este divizibil numărul prizelor de la toate mesele cu numărul
meselor? e) Cum se numesc numerele naturale care, pe lângă 1 și el însuși, au și alți divizori?
Citim (C): Oricare număr natural a este divizibil cu 1 și cu el însuși;
Demonstrăm (D): Într-adevăr a = a × 1, oricare ar fi numărul natural a;
Exemple (E): 131 131 M , 131131, 1311M , 1131 .
C: Dacă numerele naturale a, b verifică: a este divizibil cu b și
b este divizibil cu a, atunci a = b;
D: Într-adevăr, cum a este divizibil cu b și b este divizibil cu a,
există numerele naturale p și q astfel încât a = bq și b = aq, de
unde deducem a = apq. Dacă a = 0, atunci avem și b = 0; dacă
a ¹ 0, atunci pq = 1, deci p = q = 1. În concluzie a = b;
E: Dacă n|12 și 12|n, atunci n = 12, n Î ℕ.
C: Dacă numerele naturale a, b, c verifică c divide b și b
divide a, atunci c divide a;
D: Într-adevăr, cum a este divizibil cu b și b este divizibil cu
c, există numerele naturale p și q astfel încât a = bp și b = cq.
Obținem a = (cq)p = c(pq), de unde deducem că a este
divizibil cu c;
E: Din 3|15 și 15|45 rezultă că 3|45.
C: Dacă numerele naturale a și b, sunt divizibile cu d,
atunci a + b și a – b, a b ³ , sunt divizibile cu d;
D: Într-adevăr, cum d este divizor al numerelor a și b,
există numerele naturale p și q astfel încât a = dp, b = dq,
C: Dacă a,b,c sunt numere naturale nenule și a divide
produsul bc, iar a este prim cu b, atunci a divide c;
D: Dacă numărul prim p se regăsește în descompunerea
lui a, deoarece a|bc rezultă că p se află în
axb și bxa Þ a = b, unde a, b Î c|b și b|a Þ c|a, unde a, b, c Î ℕ
d|b și d|a Þ d|(a ± b), d,a,b Î ℕ, a|bc și (a, b) = 1 ⟹ a|c, a, b, c Î ℕ
1|a, oricare ar fi numărul natural a. a|a, oricare ar fi numărul natural a.
LECȚIA 6. Proprietăți ale divizibilității în ℕ
29
Observație: Dacă a, b și d sunt numere naturale, astfel încât d divide a + b sau d divide a – b,
a ³ b și d divide un termen al sumei sau al diferenței, atunci d divide și celălalt termen.
Justificare: Într-adevăr, dacă d divide a și d divide a + b, atunci a = dp și a + b = dq, unde p q, Î¥.
Obținem b = dq – dp = d(q – p), deci d îl divide pe b. La fel se justifică și celelalte cazuri.
Exemple: 7 35 și 7 35 7 a a + Þ , unde a Î ¥ ; 7 21 și 7 21 7 - Þb b, unde b b Î £ ¥, 21.
1. În mulțimea numerelor naturale au loc: proprietățile relației de egalitate :a aa ÎÞ= ¥ ;
ab a b b a , , Î =Þ= ¥ ; abc a bb c a c " , , Î = =Þ = ¥ ; și proprietățile relației de inegalitate:
a aa ÎÞ£ ¥ ; ab a bb a a b , " Î £ £Þ= ¥ ;abc a b a b c " , Î £Þ £+ ¥ . Să scriem relațiile
asemănătoare relative la divizibilitate.
2. Să arătăm că două numere cu aceeași paritate au suma număr par.
1. Câte numere naturale de 4 cifre dau restul 4, la împărțirea la 7?
Rezolvare: Numerele care îndeplinesc cerința, sunt de forma 7k + 4. Deci 1000 £ 7k + 4 £ 9999. Scăzând
4 din cei 3 termeni obținem 996 £ 7k £ 9995. Problema revine la a găsi câte numere divizibile cu 7 sunt
între 996 și 9995. Cum 996 =7 × 142 + 2 < 1001 = 7× 143, iar 9995 = 7× 1427 + 6 > 9989 = 7× 1427,
rezultă că numerele naturale care satisfac condițiile din enunț sunt cuprinse între 143 și 1427. Numărul lor
este 1427 – 143 + 1 = 1285.
2. Aflați numărul de pătrate cu cea mai mare latură, în care poate fi decupată o placă de polistiren cu
dimensiunile de 2 m x 75 cm, astfel încât să nu se arunce nicio bucată din polistiren.
Rezolvare: Latura pătratului trebuie să fie cel mai mare
divizor comun al numerelor 200 și 75, deci 25. Prin
urmare, placa va fi decupată pe lungime în 200 : 25 = 8,
iar pe lățime în 75 : 25 = 3. Deci numărul de pătrate este
8 × 3 = 24.
unde p q ³ întrucât a b ³ . Rezultă că a + b = d(p + q)
și a – b = d(p – q). În concluzie, d divide numerele a + b
și a – b;
E: 7|49 și 7|63 ⟹ 7|(49 + 63) ⟹ 7|112;
11|22 și 11|n ⟹ 11|(n – 22), unde n Î ℕ, n ³ 22.
descompunerea lui bc. Dar în descompunerea lui b nu
se află. Prin urmare se află în descompunerea lui c, cu
exponentul său;
E: 7|84035, dar 84035 = 5 × 16807 și
(5, 7) = 1, rezultă că 7|16807.
30
1. Selectează și scrie egalitățile care reprezintă relația de divizibilitate:
a) 28 = 7 × 4; b) 366 = 122 × 3; c) 183 = 13 × 14 + 1;
d) 255 = 23 × 11 + 2; e) 157 = 9 × 17 + 4; f) 93 = 3 × (17 + 14).
2. Selectează și scrie enunțurile adevărate: a) 56 este multiplu al lui 7 și al lui 8; b) 72 este
multiplu al lui 8 și nu este multiplu al lui 9; c) 2 și 7 sunt divizori ai lui 70; d) 3 și 5 sunt
divizori ai lui 45; e) 23 este multiplul lui 3; f) 36 este multiplu al lui 6.
3. Reprodu și completează tabelul cu linii pentru: 30, 43, 55, 66, 1, 0, 111 și 84, după model:
Numărul Mulțimea divizorilor
numărului
Numărul este
prim sau este
compus
Cel mai mic
divizor
diferit de 1
Cel mai mare
divizor al
numărului
42 42 D ={1,2,3,6,7,14,21,42} număr compus 2 42
4. Construiește un tabel de 10 linii şi 10 coloane, completează căsuțele cu numerele naturale de la 1 la 100
și încercuiește numerele prime.
5. Scrie numerele naturale mai mici decât 79, divizibile cu 11.
6. Scrie multiplii lui 6 cuprinși între 40 și 57.
7. Scrie mulțimea divizorilor comuni diferiți de 1 pentru: a) 42 și 55; b) 30 și 42; c) 55 și 30.
8. Scrie primii patru multipli comuni consecutivi pentru: a) 3 și 6; b) 3 și 5; c) 6 și 8; d) 15 și 35.
9. Circumferința unei roți de bicicletă este de 12 dm. a) Află numărul de rotații complete ale roții pe
distanța de 120 dm și pe distanța de 240 dm; b) Scrie trei distanțe consecutive mai mari decât 120 dm,
între ale căror valori roata face câte 10 rotații complete.
10. Distanța dintre primul și al doilea stâlp al unui gard liniar este de 2 m. a) Determină la ce distanță de
primul stâlp se află al 13-lea stâlp. b) Scrie, în termeni de divizibilitate a numerelor naturale, legătura
dintre distanțele stâlpilor gardului față de primul stâlp și numărul 2.
11. Un număr natural a este divizibil cu 21. a) Află restul împărțirii numărului a la 3; b) Formulează și
rezolvă o problemă similară.
12. Dan are un număr de caiete, iar George are de trei ori mai multe. Câte caiete are Dan, dacă 27 este
divizibil cu numărul caietelor lui George ? Câte soluții are problema?
Modelează scenariul: „Bebe M” intră în scenă și spune „Divizibilitate” pentru 2 secunde. Apoi
spune „Dacă A = {1,2,3,4,5}” (5 numere aleatorii). În acest moment apare „Big M” care întreabă:
„Numerele din A divizibile cu 3 sunt: (listă cu virgulă)?” (număr aleatoriu). Și se așteaptă
răspunsul. Dacă răspunsul este corect, „Big M” spune „Bravo!”, dacă nu, atunci „Big M” spune
„Of !”.
31
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. Conform unei proprietăți a divizibilității numerelor naturale, dacă 5 | a și a | 5, rezultă
l) m) n) o)
5 > a 5 < a a = 5 a = 0
2. Conform unei proprietăți a divizibilității numerelor naturale, dacă 5 | a și a b| , rezultă:
a) b) c) d)
5|b 5⋮b 5|a 5⋮b
3. Cel mai mare divizor comun al numerelor 3 ,4 ,5 aaa , unde a Î {73, 79, 83, 89}, este
s) t) u) v)
3a a 89 73
4. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 şi a este 48, dacă
s) t) u) v)
a = 36 a = 24 a = 48 a = 12
5. În descompunerea în produs de puteri de numere prime a lui 2020 nu apare factorul
r) q) s) t)
37 2 5 101
6. Numărul 35 nu apare în descompunerea în produs de numere prime a lui:
a) b) c) d)
Niciunui număr 35 42 70
7. Dacă o sumă de trei numere distincte este impară, rezultă că:
j) k) l) m)
2 este termen al
sumei
3 este termen al
sumei
2 nu este termen al
sumei
1 este termen al
sumei
1 2 3 4 5 6 7

32
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, în spațiile punctate, scrie cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Descompunerea în factori primi a numărului 24 este … .
2. Numărul a cărui descompunere este 3 2 2 5× este … .
3. Divizorii primi ai numărului 66 sunt … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul din
cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Cel mai mare divizor comun al numerelor 24, 45 și 72 este:
a) 3; b) 3 2 2 3× ; c) 8; d) 360.
2. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 360 și 432 este:
a) 432; b) 72; c) 720; d) 2160.
3. Numerele naturale de forma 53ab divizibile cu 30 sunt:
a) {5322, 5350}; b) 5330; c) {5310, 5340, 5370}; d) {5010, 5310, 5910}.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Aflați cel mai mic număr natural care, împărțit la 6 dă restul 4, împărțit la 8 dă
restul 6 și împărțit la 9 dă restul 7 și câtul nenul.
2. Numerele 3167, 4273, 2481 împărțite la același număr natural nenul dau
resturile 17, 23, respectiv 31. Aflați împărțitorul.
3. Arătaţi că numerele n + 3 şi 2 7 n + , cu nÎ¥ , sunt prime între ele.
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, în spațiile punctate, scrie cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Numărul a cărui descompunere este 3 2 2 3× este … .
2. Cel mai mare divizor comun al numerelor 60 și 195 este … .
3. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 78 și 65 este … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul din
cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Numerele naturale x care verifică relația (x + 2)|(2x +7) sunt:
a) 0; b) 1; c) {1, 2}; d) {1, 3}.
2. Numerele de forma 3 7a b divizibile cu 45 sunt:
a){3375, 3675, 3975}; b){3270, 3570, 3870}; c){3370, 3875}; d){3870, 3375}.
3. Numărul divizorilor lui 360 este:
a) 24 ; b) 12; c) 4; d) 10.
33
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Numerele 167 şi 115, împărţite prin acelaşi număr natural nenul, dau resturile 7
şi, respectiv 5. Aflaţi împărţitorul.
2. Într-o şcoală, mai puţin de 200 de elevi s-au înscris într-o competiţie. Dacă se
formează grupe de câte 6, de câte 7 sau de câte 8 elevi, rămâne mereu un grup
format din 5 elevi. Câţi elevi s-au înscris în competiţie?
3. Arătaţi că numerele n + 4 şi 3 13 n + , cu nÎ¥ , sunt prime între ele.
Teme pentru portofoliu
1. Scrie mulțimea formată din:
a) cifrele numărului 12003891; b) literele cuvântului tenacitate.
2. Stabilește valoarea de adevăr a enunțurilor:
a) 6 {3,6,9} Î ; b) m pilon Î{ ", , } ; c) 0 Î Æ ;
d) 3 2| , 5 { } n ΠΣ n n ¥ ; e) 7 si 5 2 31 Î Î ×-= {xx x ¥ } & .
3. Reprezintă fiecare mulțime prin enumerarea elementelor sale:
M xx x = Î £< { ¥, 1 7} , P xx x { , 10 } * = Î ¥ M ,
S xx x = Î ×+= { ¥, 2 3 41}, T xx x = { Î +£ ¥, 1 6}.
4. Reprezintă fiecare mulțime folosind proprietatea caracteristică a elementelor sale:
A = {3,4,5,...,14}, B = {2,4,8,16,32,64},
C = {1,6,11,16,21} , D = {0,1,4,9,...,49} .
5. Scrie toate submulțimile mulțimii {2 1| , 2} n A nn = -Î £ ¥ .
6. Stabilește dacă mulțimea B kk =× Î {6 | ¥} include mulțimea A =Σ {xx x x ¥ M , 15, 3}.
7. Fie mulțimile: A xx = { divizor prim al lui 8} și B xx = { divizor al lui 10}. Calculează:
A È Ç BA BA B , ,\
8. Fie mulțimile: { } 2 Ax x| 25 * =Î £ ¥ și { } 3 Bx x| 27 * =Î £ ¥ . Calculează: A È Ç BA B , ,
A \ B și B \ A.
9. Efectuează: a) ;
b) ;
c) ;
d) ; e) .
{xx x xx x Î¥ ¥ şi 2 5 şi 7 <£ È Î < } { }
{xx x xx x Î -= Ç Î + = ¥ ¥ şi 1 4 şi 3 2 17 } { }
{ 2 1, şi 3 3 , şi 2 } { } p xx n n n xx p p = + Î <È = Î < ¥ ¥
{xx nn xx n n = ÎÈ =+Î 2 , ¥ ¥ } { 2 1, } {xx nn xx n n = ÎÇ =+Î 2 , ¥ ¥ } { 2 1, }
34
10. Fie mulțimile și . Află numerele și , dacă .
11. Fie mulțimile și . Determină
, astfel încât .
12. Stabilește dacă următoarea egalitate este adevărată {2, 3} {3, 4, 5} È = X , pentru orice
mulțime X.
13. Determină numerele naturale de forma abcd , știind că .
14. Află numărul divizorilor naturali ai numărului:
a) 2 4 3 ·5 ·7 ; b) 364 10 ·4 ·7 ; c) 644000; d) 1245000.
15. Află numerele naturale prime de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 27.
16. Fie numărul natural A n = +++ + ×+ (1 2 3 ... 999) 1000. Determină cel mai mic număr
natural n pentru care numărul A este divizibil cu 106
.
17. Demonstrează că numărul A=++ abc bca cab este divizibil cu 111.
18. Dacă ab este un număr prim, află numărul de divizori ai lui x = abab și y ababab = .
19. Prin împărțirea numerelor 1558, 526 și 1043 la același număr natural, se obțin resturile 58,
26 și respectiv 43. Află cel mai mare număr natural la care au fost împărțite numerele date
pentru a se obține resturile respective.
20. Află perechile de numere naturale care satisfac condițiile:
a) au suma 50 și c.m.m.d.c. este 5; b) au suma 540 și c.m.m.d.c. este 36;
c) au suma 1089 și c.m.m.d.c. este v 121; d) au produsul 2400 și c.m.m.d.c. este 10;
e) au produsul 1215 și c.m.m.d.c. este 9.
21. Află cifra necunoscută, astfel încât numerele din fiecare pereche să fie prime între ele:
a) 35a și 2; b) a27 și 3; c) 7 2x și 5;
d) 135y și 5; e) 97x și 36; f) 4 8a și 18.
22. a) Află cel mai mic număr natural care, împărțit la fiecare din numerele 12, 18 și 40, dă
restul 7.
b) Află cel mai mic număr natural care, prin împărțirea la numerele 12, 18 și 40, să dea
respectiv resturile 11, 17 și 39.
23. Pe o dreaptă, sunt marcate, în același sens, prin puncte albe distanțele de 3 mm și prin puncte
verzi distanțele de 5 mm. Știind că cele două culori se suprapun în zero, află următoarea
distanță unde se suprapun cele două culori.
24. O suprafață dreptunghiulară cu dimensiunile de 14 dm și 6 dm trebuie acoperită cu dale
dreptunghiulare cu dimensiunile de 7 cm și 3 cm. Stabilește cum trebuie așezate și află
numărul necesar de dale pentru acoperirea suprafeței, fără a tăia vreo dală.
25. Determină numerele naturale x dacă:
a) x x( +3) ; b) ( )( ) 2 5 x x + ; c) ( x x + 22 1 ) ( + ); d) ( )( ) 3 12 5 x x + + .
A x = {1, 2, } B = {1, ,3 y } x y A Ç=È BAB
A x x aa = Î ££ Î { ¥ ¥ 1 , } B x ax a = Î ££ Î { ¥ ¥ 6, }
a Î ¥ A B Ç = {4}
ab cd × = 611
35
Capitolul 2. RAPOARTE ŞI PROPORŢII
Unitatea de învățare: Rapoarte și proporții
A1. În tabel sunt prezentate corpurile din sistemul solar și numărul lor
Corpuri în Sistemul Solar
Număr de corpuri în Sistemul Solar
(la data de 18.09.2016 cf. Observatorului astronomic
„Amiral Vasile Urseanu”)
Stele 1
Planete 8
Sateliți ai planetelor 171
Planete pitice 5
Sateliți ai planetelor pitice 8
Aflați valoarea raportului și raportul procentual dintre:
a) numărul planetelor și numărul planetelor pitice din Sistemul Solar (aflați de câte ori sunt mai
multe planete decât planete pitice, respectiv numărul de planete corespunzător la o sută de
planete pitice)
b) numărul de planete pitice și numărul de planete din Sistemul Solar.
Ce înțelegem prin raportul a două mărimi măsurate cu aceeași unitate de măsură și prin valoarea
raportului?
A2. Segmentul din desenul de mai jos, cu lungimea de 6 cm, se divizează în trei segmente cu lungimile
egale, colorate cu roșu, verde, respectiv negru.
a) De câte ori este mai mare lungimea segmentului inițial decât cea a segmentului verde ?
b) În ce raport se află lungimea segmentului roșu cu lungimea segmentului inițial ?
c) Explicați ce se înțelege prin 6 2
3
cm
cm = , (6 :3 2 cm cm = ) și prin 3 0,5 6
cm
cm = (3 : 6 0,5 cm cm = ),
referitor la o pereche de segmente, din figură, cu lungimile de 3 cm, respectiv 6 cm.
A3.
a) Scrieți „1 procent‟, utilizând notația
învățată la matematică, în clasa a V-a.
b) Precizați ce se înțelege prin raport
procentual.
c) Transformați raportul 3
5
în raport
procentual.
d) Transformați raportul 15
100 într-un raport în
care numărătorul și numitorul să fie prime
între ele.
LECȚIA 1. Rapoarte. Procente, probleme în care intervin procente
36
1. Numărul rațional a : b, unde a și b sunt numere raționale pozitive, b nenul, se numește raportul
numerelor a și b și se notează ; a și b se numesc termenii raportului. Numărul rațional pozitiv c,
astfel încât , adică , se numește valoarea raportului .
A4. Într-o clasă a VI-a sunt 30 de elevi, 40% sunt băieți și restul fete.
a) Estimați care dintre numere este mai mare: cel al băieților sau cel al fetelor din acea clasă ?
b) Calculați numărul fetelor din clasă.
A5. Într-o clasă a VI-a sunt 30 de elevi, 18 dintre
aceștia sunt fete și restul băieți. Calculați cât la sută din
numărul elevilor clasei reprezintă fetele și cât la sută
băieții.
A6. 60% din numărul elevilor dintr-o clasă sunt fete și
restul băieți. Calculați numărul elevilor din acea clasă,
știind că numărul fetelor este 18.
A7. Din cei 30 de elevi ai unei clase a VI-a, 10% nu au optat pentru cercul de TIC. Calculați
numărul elevilor care vor merge la acest cerc.
Exemplu: Raportul dintre 36 și 15 este 36
15 , termenii sunt 36 și 15, iar valoarea este 36:15 2,4 = ;
Observație: fracție ordinară este un raport cu numărătorul număr natural și numitorul număr natural
nenul.
Exemplu: Rapoartele 2
3
și 3
2
sunt diferite, deoarece 2 : 3 = 0,(6), iar 3 : 2 = 1,5. Notăm 2 3
3 2
¹
I. Rapoartele și sunt diferite, oricare ar fi numerele raționale pozitive nenule și diferite a, b.
II. Valoarea unui raport nu se schimbă dacă ambii membri ai raportului sunt înmulțiți cu același număr rațional pozitiv nenul. Altfel scris: , unde .
37
Exemplu: Raportul 3
2
are valoarea 1,5 pentru că 3:2 1,5 = . Raportul 3 4
2 4
×
× are aceeași valoare 1,5.
Exemplu: Dacă un dreptunghi are lungimea de 2,4 dm și lățimea de 8 cm, atunci raportul dintre lungime
și lățime este 24 cm =3
8 cm , iar raportul dintre lățimea și lungimea sa este ( ) 8 cm 0, 3 24cm = .
2. Exemple de rapoarte utilizate în practică:
Exemplu: În figura alăturată sunt reprezentate 100 de puncte.
Dacă 3 dintre puncte sunt încadrate într-un dreptunghi, atunci
ne referim la 3 3%
100 = (care se citește „3 la sută” sau „3
procente”) din punctele din figură .
Exemplu: Pe harta județului Dâmbovița, unui segment
care are lungimea de 1 cm îi corespunde o distanță din
teren de 4 km. Scara acestei hărți este
4 cm 1 = 400 000 cm 100 000 și se notează 1:100 000 .
III. Raportul a două mărimi, exprimate prin aceeași unitate de măsură, este raportul măsurilor lor.
a) Raportul care se notează p%, unde p este un număr rațional pozitiv, se numește
raport procentual și se citește „p procente ” sau „p la sută”.
b) Raportul dintre distanța pe o hartă și distanța din
teren se numește scara hărții respective.
c) Raportul dintre masa substanței care se dizolvă și masa soluției este concentrația
soluției respective.
38
Exemplu: 30 g sare se dizolvă în 1470 g apă, pentru a obține saramura pentru castraveți
murați. Concentrația soluției este egală cu 30 30 2 2%
30 1470 1500 100 = == + .
Exemplu: Titlul unui aliaj care conține la 16 g aur, 234 g cupru este 16 16 0,064 16 234 250 = = + .
1. Să calculăm valoarea raportului dintre 136 și 8.
2. Să scriem raportul și raportul procentual determinate de numerele din perechile:
a) 125 și 1000; b) 1000 și 125; c) 12,5 și 250; d) 25 și 12,5.
1. Un elev a depus la bancă suma de 250 lei. Știind că banca oferă dobânda anuală de 1%, iar statul
impozitează dobânda cu 16%, aflați ce sumă va avea elevul după un an de la depunere.
Rezolvare: Calculăm ce sumă de bani reprezintă 1% din 250 lei: 1 250 2,5 100 × = lei. Calculăm impozitul
pe dobândă, adică 16% din 2,5 lei: 16 4 10 2,5 0, 4 100 100
× ×= = lei. Dobânda rămasă după impozitare este:
2,5 – 0,4 = 2,1 lei. Suma avută de elev la bancă, după un an, se obține adăugând dobânda impozitată la
suma depusă: 250 lei + 2,1 lei = 252,1 lei.
2. Prețul de 190 lei al unui obiect se mărește cu 20%. Cu ce procent trebuie să se reducă noul preț, pentru
ca obiectul să coste 193,80 lei?
Rezolvare: Prețul obiectului după scumpirea cu 20% este: 20 190 190 228
100
+×= lei. Noul preț se va
reduce cu x%. Obținem ecuația 228 – x : 100 × 228 = 193,8 ⇔ 228 – 2,28 × x = 193,8 ⇔ 2,28 × x = 228 –
193,8 ⇔ 2,28 × x = 34,2 ⇔x = 3420 : 228 ⇔ x = 15. Așadar, reducerea trebuie să fie de 15%.
1. Scrie rapoartele următoarelor perechi de numere (și efectuează simplificările posibile):
a) 24 și 8; 11 și 55; 169 și 13; 20 și 400;
d) Raportul dintre masa metalului prețios și masa aliajului este titlul aliajului respectiv.
39
b) 20 și 2
3 ; 0,13 și 6,5; 2 5
5
și 9
20 ;
1 100
2
și 1 70
8
;
c) 0,(6) și 0,(3); 1,1(3) și 11,(3); 169
33 și 5,(12); 7 2 și 3 4 .
2. Calculează rapoartele dintre:
35 m și 25 km; 24 dm și 36 mm; 2 t și 400 kg; 12 l și 15 hl;
11 m2
și 132 dm2
; 10 dm3
și 25 cm3
.
3. Un stadion are 44000 de locuri. La un meci de fotbal, 95% din numărul de locuri au fost
ocupate. Câți spectatori au fost la stadion, la acest meci?
4. Află cantitatea de sare care se găsește în 72 kg de soluție cu concentrația de 15%.
5. Ce cantitate de argint se află în 400 g de aliaj cu titlul de 0,325?
6. Lungimea unui segment AB este împărțită de punctul C (situat între A și B) în raportul
2
3
AC
AB = . Reprezintă punctul C pe segmentul AB.
7. Raportul dintre distanța pe hartă și distanța reală este 1 : 1000000. Calculează:
a) Distanța reală dintre două localități, în km, dacă distanța pe hartă este de 2 cm;
b) Distanța în cm dintre două localități pe hartă, dacă distanța reală este de 26 km.
8. Un amator de muzică are 475 de CD-uri. Știind că 56% din acestea conțin melodii internaționale, 32%
melodii românești și restul muzică clasică, află numărul de CD-uri cu muzică clasică. Câte procedee
de calcul poți folosi?
9. După ce s-au vândut 25% din numărul biletelor pentru un spectacol, au rămas 300 de bilete nevândute.
Află numărul total de bilete puse în vânzare pentru spectacol.
10. Dintr-o sumă se cheltuiește în prima zi 40%, iar a doua zi 10% din cât s-a cheltuit în prima zi. Cât la
sută din suma inițială s-a cheltuit a doua zi?
11. Din cei 30 de elevi ai unei clase, rămân 3 corigenți. Află procentul de promovabilitate al clasei.
12. Prețul unui caiet este 12% din prețul unei cărți. Știind că o carte și un caiet costă împreună 8,40 euro,
află: a) prețul cărții; b) costul a 5 caiete.
40
Ce înțelegem prin proporție.
A1. a) Construiți un pătrat cu latura de 2,5 cm și un pătrat cu latura de 4 cm; b) Calculați raportul dintre
lungimea laturii pătratului mic și lungimea laturii pătratului mare și raportul dintre perimetrul pătratului
mic și perimetrul pătratului mare; c) Comparați rapoartele obținute la punctul b); d) Comparați raportul
dintre lungimea laturii pătratului mare și a laturii pătratului mic, exprimate în cm, cu raportul acelorași
lungimi exprimate în mm.
Cum formăm o proporție având date un raport și un număr.
A2. Dacă egalitatea a două rapoarte se numește proporție, formați proporții:
a) Înmulțind ambii termeni ai raportului 3
5
cu 17; b) Împărțind ambii termeni ai raportului 45
6
la 15.
Proprietatea fundamentală a proporției și formarea proporțiilor derivate cu aceeași termeni.
A3. În proporția 2,5 5
4 8 = , termenii 2,5 și 8 se numesc extremi, iar termenii 4 și 5 se numesc mezi.
a) Comparați produsele 2,5 × 8 și 4 × 5 și enunțați o proprietate a proporției; b) În proporția 2,5 5
4 8 = , dacă
schimbați locul extremilor, apoi locul mezilor și în final inversați rapoartele,
ce concluzie trageți?
A4. La schița căsuței pentru păpuși, din desenul alăturat, realizată la scara 1 :
20, s-a folosit ca unitate de măsură 2cm. a) Dacă înălțimea peretelul casei din
schiță este egală cu 5 unități de măsură, aflați înălțimea peretelul jucăriei.
b) dacă înălțimea căsuței este de 60 cm, aflați lățimea căsuței din schiță.
Egalitatea a două rapoarte se numește proporție.
Fiind dată proporția numerele raționale pozitive a, b, c, d, unde b și d sunt nenule, se
numesc termenii proporției.
Termenii a și d se numesc extremi, iar b și c se numesc mezi.
LECȚIA 2. Proporții; proprietatea fundamentală a proporțiilor
41
Exemplu: Egalitatea 5,6 4
14 10 = este proporție pentru că rapoartele au aceeași valoare: 5,6 4 0,4 14 10 = = . În
această proporție termenii 5,6 și 10 sunt extremii, iar termenii 14 și 4 sunt mezii.
Justificare: Într-adevăr, dacă a c
b d
= , unde a, b, c, d sunt numere raționale pozitive, b, d nenule, notăm cu
r valoarea comună a celor două rapoarte. Din a
r
b
= obținem a = br, iar din c
r
d = obținem c=dr. Deci
a× d = bdr și b × c = bdr, de unde rezultă a × d = b × c.
Exemplu: Dacă a și b sunt numere raționale astfel încât 2
13
a
b
= , atunci a b×=× 2 13.
Exemple: a) Determinăm extremul necunoscut din proporția 7 2,8 4 2,8 4 0,4 1,6 4 7
× = Þ= =× = x
x .
b) Determinăm mezul necunoscut din proporția 2 24 1,6 54 5
× =Þ= =
x
x .
1. Să stabilim dacă 2,5 3,125
4 5 = este proporție.
2. Să scriem toate proporțiile posibile care conțin termenii: a) 1; 2; 3; b) 4; 2; 5; 8; c) 10; 20; 40.
1. Se consideră rapoartele 1,75
3 și 1,1(6)
2 . Verificați dacă cele două rapoarte formează o
proporție.
Proprietatea fundamentală a proporției
Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor, în orice proporție.
Dacă , atunci a × d = b × c.
Pentru a determina un termen necunoscut dintr–o proporție folosim relațiile:
,
42
Rezolvare: Arătăm că produsul extremilor este egal cu produsul mezilor (proprietatea
fundamentală a proporției). Rapoartele 1,75
3 și 1,1(6)
2 formează proporția 1,75
3 = 1,1(6)
2 , deoarece
1,75 ∙ 2 = 1,1(6) ∙ 3, adică 1,75 ∙ 2 = 6
7
∙ 3, ceea ce este adevărat.
2. Aflați termenul necunoscut al proporției
3 0 2 2
0,(2) 0, 2
+ = x .
Rezolvare: Proporția se mai scrie sub forma: 9
0,(2) 0, 2
x = . Aplicăm proprietatea fundamentală a
proporției și avem: x ×= × 0,2 0,(2) 9 . De unde, x = 0,(2) 9 : 0,2 × = 2 10 9 10
9 2
× × = .
1. Identifică perechile de
rapoarte care formează
proporții:
2
7
și 6
21
225
900 și 1
4
3
7
și 18
420
1, 2
3 și 1
5
1, 2
3 și 2
5
2. Simplifică raportul dat și
scrie proporția obținută:
99
165
8
3, 2
4, 2
1, 4
0,6
0,36
2
2
2 3
2 3
×
×
3. Amplifică raportul dat
cu 10 și apoi cu 15 și
scrie proporția obținută:
5
7
6
11
0,5
0,3
1,3
1,03
0, (3)
0, 2(3)
4. Arcul de Triumf din Paris are înălțimea de 49,5 m, iar o machetă a sa are înălțimea de 1,98 m.
Verifică dacă scara la care este făcută macheta este de 1: 25.
5. Un automobil parcurge distanța de 170 km în 2 ore. Verifică dacă viteza de deplasare a
automobilului este de 65 km/h.
6. Determină termenul necunoscut din proporțiile următoare:
a) 9
6 27 = x
; b) 2 6
3
= y
; c) 0,5 6
3 = z
; d) 10
1,2 3 = a
;
e) 2,1 7
4 = b ; f) 1,8 1,12
u 2,52 = ; g) 3 5
6 2
x + = ; h) 27 45
42 7 x = × .
7. Înălțimea machetei unui obiect este de 6 cm. Știind că aceasta a fost realizată la scara de
2:300, află înălțimea reală a obiectului.
8. Știind că 4
16 = b
a
, calculează 3 3 a b× , scriind rezultatul sub forma unei puteri cu baza 2.
9. Știind că a c
b d = , demonstrează că numărul 730 a d
b c
× - × este un pătrat perfect.
43
A2. Se dă proporția 15 5
9 3 = , cu numărătorii 15 și 5 și numitorii 9 și 3. Explicați cum s-au obținut rapoartele
din următoarele perechi, pornind de la rapoartele din proporția dată, și verificați dacă ele formează o
proporție. a) 15 9
9
+ și 5 3
3
+
; b) 15 9
9
- și 5 3
3
- ; c) 15
15 9 + și 5
5 3 +
; d) 15
15 9 - și 5
5 3 - ; e) 15 5
9 3
+
+ și 5
3
;
f) 15 5
9 3
-
- și 15
9 ; g) 5
3
q
q
×
× și 15
9 , unde Τ+ q , q ¹ 3.
1. Proporția
inițială Procedeul Proporția derivată cu
aceiași termeni
a c
b d = , unde
a, b, c, Τ+ d
Schimbăm extremii între ei d c
b a =
Schimbăm mezii între ei a b
c d =
Inversăm cele două rapoarte b d
a c =
Exemple: Pornind de la proporția 10 4
15 6 = , obținem, aplicând procedeele de mai sus, proporții derivate
cu aceiași termeni: 10 15
4 6 = , 6 4
15 10 = ,
15 6
10 4 = , 6 15
4 10
= ,
15 10
6 4 = , 4 6
10 15 = , 4 10. 6 15 =
A1. Se dă
proporția 3 12
7 28 = .
Uniți prin săgeți
fiecare enunț din
coloana A cu
regula
corespunzătoare
din coloana B:
A B
Proporția formată cu perechile
de numere indicate de săgețile
numerotate
Proporția formată cu
ajutorul regulii date
○ □
Prin schimbarea
mezilor între ei
○ □
Prin schimbarea
extremilor între ei
○ □
Prin inversarea
(răsturnarea)
rapoartelor
LECȚIA 3. Proporții derivate
44
2. Proporția inițială Procedeul Proporții derivate cu termeni
diferiți
a c
b d = , unde
a, b, c, dΤ+
Înmulțim ambii termeni ai
unui raport cu qΤ+
aq c
bq d
× = × , a cq
b dq
× = ×
Înmulțim ambii numărători/
numitori cu qΤ+
aq cq
b d
× × = ;
a c
bq dq = × ×
Adunăm/scădem numitorii
la/din numărători:
+ + = ab cd
b d , ab cd
b d
- - = ,
a b > , c d > ;
Adunăm/scădem numărătorii
la/din numitori:
a c
ba dc = + + , a c
ba dc = - - ,
b a > , d c > .
1. Să stabilim dacă din 2,5 3,125
4 5 = obținem proporțiile derivate:
2,5 4
3,125 5 = , 5 3,125
8 5 = , 2,5 9,375
4 15 = , 2 3,12
4 5 = .
2. Să scriem cinci proporții derivate din 64 448
256 1792 = , care să aibă în stânga o fracție și
în dreapta un raport de numere care nu sunt naturale.
1. Pe prima a doua linie a tabelului alăturat sunt date lățimile dreptunghiurilor A și B, iar pe a treia linie sunt date lungimile acestor dreptunghiuri, măsurate
cu aceeași unitate de măsură.
a) Arătați că = A B
A B
l l
L L este proporție; b) Apoi formați proporțiile derivate cu
aceiași termeni.
Rezolvare: a) Raportul = A B
A B
l l
L L
se scrie sub forma: 0,5 1,5
0,51 1,53 = . Observăm că 0,5 1,53 0,765 × =
și 0,51 1,5 0,765 × = , de unde deducem că 0,5 1,53 0,51 1,5 ×=× și rezultă că 0,5 1,5
0,51 1,53 = .
b) Schimbăm extremii: 1,53 1,5
0,51 0,5 = , apoi mezii: 0,5 0,51
1,5 1,53 = . Răsturnăm rapoartele: 0,51 1,53. 0,5 1,5 =
A B
l 0,5 1,5
L 0,51 1,53
45
2. Suma a două numere este 30, iar raportul lor este 2
3 . Aflați numerele.
Rezolvare: Notăm cele două numere cu a și b. Suma lor va fi a b + = 30, iar raportul 2
3 = a
b
. Construim
proporția derivată prin adunarea numitorului la numărător 2 3
3
+ + = a b
b . Ținând cont că suma este 30,
obținem 30 5
3 = b , de unde 30 3 18
5
× b = = . Atunci, a = 30 – b = 30 – 18 = 12.
1. Scrie toate proporțiile derivate cu aceiași termeni: a) 10 1,6
7,5 1,2 = ; b) 7 9
5,6 7,2 = ; c) 2,4 2,1
3,6 3,15 = .
2. Fiind dată proporția 4
5 = x
y
, completează spațiile pentru a obține proporții:
a) 2 ...
...
= x
y
; b) 3 ...
2 ... = x
y
; c) 5 ...
3 ... = y
x .
3. Se dă proporția 1
2 = x
y
, cu x y, Τ+ . Află numerele x și y, știind că:
a) x y + =6; b) y x - =6; c) 3 2 42 x y + = ; d) 236 y x - = .
4. Se dă proporția 1,2
9,6 = m
n
, cu m n, Τ+ . Află m și n, știind că: a) m n+ =48,6; b) n m- =37,8.
5. Punctul C împarte segmentul AB cu lungimea de 15 cm, în
două segmente AC și CB, cu lungimile a, respectiv b. Știind că
2
3 = a
b , determină lungimile segmentelor AC și CB.
6. Bunica împarte suma de 48 lei celor doi nepoți ai săi. Știind că raportul sumelor de bani
primite de cei doi nepoți este 7
5
= x
y
, află cele două sume de bani.
7. Știind că 3
2 = x
y
, determină valoarea rapoartelor: a) 2 3
7 4
+
-
x y
x y
; b) 7 4
2
-
+
x y
x y
; c) 3 5
2 7
+
+
x y
x y
.
8. Determină x din egalitățile: a) 2 9
7
+ = x
x
; b) 2
1 13
= +
x
x
; c) 2 . 5 25
+ = x x
9. Fie numerele naturale nenule a, b și c și proporțiile: 2
3 = a
b , 3
5
= b
c
. Dacă 372
235
++=
abc ,
determină numerele a, b și c.
46
A1. Ana a cumpărat pentru magiun și compot 5 kg de prune cu 8,75 lei, apoi 6 kg de prune cu 10,5
lei și a treia oară 4 kg de prune cu 7 lei. a) Arătați că, de fiecare dată, Ana a cumpărat prunele cu același preț pe kilogram; b) Care este prețul unui kilogram de prune?
A2. a) Considerăm raportul 2
5
. Amplificați acest raport cu 2, cu 3 și apoi cu 4. Scrieți egalitatea celor
patru rapoarte, adică șirul de rapoarte egale; b) Verificați dacă rapoartele 6
10 , 1,5
2,5 , 6 1,5
10 2,5
+
+ ,
6 1,5
10 2,5
-
- sunt egale, adică dacă formează un șir de rapoarte egale. Scrieți acest șir, dacă este cazul.
c) Arătați că 4,8 12 24 4,8 5 12 6 24 7
4 10 20 4 5 10 6 20 7
×+ ×+ × == = ×+ ×+ × .
Exemplu: Rapoartele: 3
2
, 7,5
5 ,
12
8 au aceeași valoare 1,5. Deci ele formează un șir de rapoarte
egale și scriem 3 7,5 12
25 8 = = .
Observație: Oricare două rapoarte dintr-un șir de rapoarte egale formează o proporție.
1. Trei sau mai multe rapoarte care au aceeași valoare formează un șir de rapoarte egale.
În general, dacă , , , ..., , atunci aceste n rapoarte formează șirul
de rapoarte egale .
2. Dacă , atunci fiecare raport este egal cu .
LECȚIA 4. Șir de rapoarte egale
47
Într-adevăr, dacă valoarea fiecărui raport este k, atunci a bk 1 1 = × , a bk 2 2 = × , ..., = × n n a bk ,deci
123 1 2 3 ( ) 123
123 123 123
... ... ...
... ... ...
+ + + + ×+ ×+ ×+ + × + + ++ × = == + + ++ + + ++ + + ++
n n n
nn n
a a a a bk b k bk b k bb b b k
k
bb b b bb b b bb b b .
Exemplu:
2 5 3 2 5 3 10
3 7,5 4,5 3 7,5 4,5 15
+ + === = + + .
3. Dacă 1 2
1 2
... n
n
a a a
bb b = == , atunci fiecare raport este egal cu 11 2 2
11 2 2
...
...
n n
n n
ak a k a k
bk b k b k
×+ × ++ ×
×+ × ++ × ,
unde 1k , 2k , 3k , ..., nk sunt numere raționale pozitive, nu toate nule.
Exemplu:
2 5 3 2 2 5 4 3 6 42
3 7,5 4,5 3 2 7,5 4 4,5 6 63
×+×+× === = ×+ ×+ × .
1. Să scriem un șir de fracții subunitare egale, cu cel mai mare numitor egal cu 9.
2. Să se scrie un șir de cinci rapoarte egale cu raportul 4
3
.
1. Ştim șirul de rapoarte egale 345
abc = = și suma abc ++= 6 , abc , , Τ+ . Aflați numerele raționale
a, b și c.
Rezolvare:
Metoda 1: Pornim de la relația 3 4 5 345
+ + === + +
a b c abc și, ținând cont de suma abc ++=6, obținem
6
3 4 5 12
=== Þ
abc 1
3452 === abc . Egalăm succesiv fiecare dintre primele trei rapoarte cu 1
2
și obținem:
1 3 2 3
32 2
= Þ =Þ =
a
a a ;
1 24 2
4 2
=Þ =Þ=
b b b și 1 2 5
5 2
= Þ =Þ
c
c
5
2
c = .
Metoda 2: Cum cele trei rapoarte sunt egale, putem scrie 345 === abc k , unde Τ+ k . Egalăm fiecare
raport cu k și obținem 3
3
=Þ=
a kak , 4
4
=Þ=
b kbk și 5
5
=Þ=
c kck . Înlocuim în suma dată
valorile lui x, y și z obținute în funcție de k, și avem: abc k k k ++=Þ + + =Þ 6345 6
48
Þ
6 1 12 6
12 2
k k =Þ= = . Revenim la relațiile care exprimă a, b, c în funcție de k și obținem
1 3 3 , 2 2
a =× = 1 4 2
2
b =× = și 1 5 5
2 2
c =× = .
2. Dacă
3
5 === abc
xyz
, calculați
235
235
+ +
+ +
abc
x y z .
Rezolvare: Din proprietățile rapoartelor și proporțiilor avem următoarele relații: 32 3
525
=Þ =
a a
x x
;
333
53 5
=Þ =
b b
y y
și 353
555 = Þ =
c c
z z
. De aici deducem că
2353
2355 = = = abc
xyz
și, din proprietatea
șirului de rapoarte egale, obținem
2 3 5 235 3
2 3 5 235 5
+ + === = + +
a b c abc
x y z xyz .
1. Află termenii necunoscuți din șirurile de rapoarte egale:
a)
123
10 20
= == z
x y
; b) 3,6 1,8
1 4,8 5,2
x z
y = == ; c) 9 8 22
22,5 75
z
x y == = .
2. Calculează
+ +
+ +
ace
bd f , știind că
1
10 = = = ace
bd f .
3. Suma numerelor x, y și z este 78000. Determină numerele x, y și z, dacă
265 = = x y z .
4. Suma numerelor x, y și z este 24,5. Află numerele x, y și z, știind că 1,6 3 5,2 = = x y z .
5. Dacă 4 abcd
ef gh ==== , atunci calculează 10 abcd
ef gh
+ + + - + + + .
6. Știind că 235
354 = = x y z și că x ++= y z 1, determină numerele x, y și z.
7. Află numerele a, b și c din șirul de rapoarte 5 11 9 = = abc , știind că 4a + 3b + 2c = 284.
8. Dacă 3 a
x = și x y z
abc = = , atunci calculează:
a)
abc
x y z
+ +
+ +
; b)
234
234
abc
x y z
+ +
+ +
; c)
2 22
222
x y z
abc
+ +
+ + .
49
Modelează scenariul: Pe un fundal albastru cu titlul „Proporții”, 4 personaje identice
(Stânga-sus, Stânga-jos, Dreapta-sus, Dreapta-jos), afișează 4 numere aleatoare, la
distanță de 1 secundă. Apoi apare „Big M”, care întreabă: „Este proporție ? (D/N)” și
așteaptă răspunsul, urmând comentariul adecvat „Bravo !” sau „Of !”.
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului
corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. Un șir de rapoarte egale se poate completa cu:
p) q) r) s)
Raportul dintre
produsul numărătorilor
și produsul numitorilor
Raportul dintre suma
numărătorilor și suma
numitorilor
Raportul dintre triplul
sumei primilor doi
numărători și triplul
sumei primilor doi
numitori
Raportul dintre suma
primului numărător cu
dublul sumei celui deal
doilea numărător și
suma primului numitor
cu dublul celui de-al
doilea numitor
2. Din proporția 4
9
a
b = derivă
o) p) q) r)
9 4
9 9
a
b
- = -
4 4
4 9
a
b
+ = +
4
13
a b
b
+ = 8
18
a
b =
3. Termenul necunoscut al proporției 15 60
x 160 =
n) o) p) q)
640 40 5 1
4. Raportul dintre 1,(2) și 2,2 are valoarea
c) d) e) f)
45 5
9 0,5 1 2
2 2
1 2 3 4 5 6 7

50
5. Procentul pe care îl reprezintă 30 din 200 este
e) f) g) h)
15 15% 1,5 30
6. După creșterea cu 20% numărul 17,(3) devine
n) o) p) q)
20,8 3,4(6) 34,(6) 20,(8)
7. O creștere cu 100% a unei cantități înseamnă
s) t) u) v)
păstrarea cantității dublarea cantității înjumătățirea
cantității triplarea cantității
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Raportul dintre numerele 18 și 15 este … .
2. Dacă raportul lungimilor laturilor a două pătrate este 3
5 , atunci raportul
perimetrelor lor este … .
3. Dacă 20% dintr-un număr este 15, atunci numărul este … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul din
cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Dacă
2
3
x
y = , atunci
6
9 3
x y
x y
+
+
este:
a) 5
9 ; b) 7
12 ; c) 2
3 ; d) 6
9 .
2. Știind că
7
5
ace
bd f === , atunci
ace
bd f
+ +
+ +
este:
a) 3; b) 1; c) 7
5 ; d) 11
16 .
3. Valoarea lu x din proporția 1 2 3 ... 100
25 3
+++ + x = este:
a) 101; b) 100; c) 606; d) 51.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Într-o clasă sunt 24 de elevi. Ştiind că o treime dintre elevi sunt băieţi şi că 50%
dintre fete joacă volei, aflaţi câte fete joacă volei.
2. Raportul dintre distanța pe hartă și distanța reală este 1:1.000.000. Calculați:
a) Distanța reală dintre două localități, în km, dacă distanța pe hartă este de 4 cm;
b) Distanța pe hartă dintre două localități, în cm, dacă distanța reală este de 52 km.
3. Calculați raportul numerelor: 2
a = -- 10 10 9 și b =× +++ + 2 (1 2 3 ... 9) .
51
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie înscrise în spațiile punctate, cuvintele sau rezultatele
care fac enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Termenul necunoscut al proporției 2 ...
3 30 = este … .
2. Dacă raportul lungimilor laturilor a două pătrate este 2
7 , atunci raportul ariilor
lor este … .
3. 15% din 400 este … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul din
cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Dacă 5 8
6 3
x - = , atunci x este:
a) 16; b) 21; c) 43
3
; d) 6.
2. Știind că
23 7
6 5
x y
x y
+ = - , atunci x
y
este:
a) 3; b) 1; c) 7
5 ; d) 11
16
3. Știind că 1
3
ace
bd f === , atunci 234
23 4
ace
bd f
+ +
+ +
este:
a) 1
3
; b) 3; c) 5
3
; d) 1.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Înălțimea machetei unui clădiri este de 60 cm. Știind că aceasta a fost realizată
la scara de 2
300 , află înălțimea reală a obiectului.
2. Determinați numerele x și y, știind că 5
3
x
y = și x + y = 16.
3. După două scumpiri succesive de 10%, un produs costă 484 lei. Care a fost
preţul iniţial al produsului? Cu cât la sută s-a mărit preţul produsului în urma celor
două scumpiri?
52
Unitatea de învățare: Mărimi
A1. Ce înțelegem prin mărimi direct proporționale?
Ana a parcurs cu bicicleta, mergând cu viteză constantă, în
prima zi de vacanță 28 km în 2 h, iar în a doua zi de vacanță
56 km în 4h, mergând cu aceeași viteză ca în prima zi.
a) Folosind valoarea comună a rapoartelor din perechile:
4 56 ,
2 28
æ ö ç ÷ è ø și 2 28 ,
4 56
æ ö ç ÷ è ø, stabiliți valoarea de adevăr a afirmației:
„Dacă timpul de deplasare, cu viteză constantă, se mărește (se micșorează) de un număr de ori,
atunci și distanța parcursă se mărește (se micșorează) de același număr de ori”;
b) Observând proporțiile: 28 56
2 4 = și 2 4
28 56 = , precizați cum se numesc două mărimi variabile,
care depind una de alta, astfel încât raportul măsurilor lor (măsurat cu aceeași unitate de măsură)
este constant. Cum recunoaștem două mărimi direct proporționale ?
Exemplu: Lungimea laturii, (mărimea M1) și perimetrul pătratului, (mărimea M2), măsurate în
cm, sunt mărimi direct proporționale.

: 4
Latura pătratului 3 5 7 ×4
Perimetrul pătratului 12 20 28
Timpul
(h)
Distanța
(km)
Ziua I 2 28
Ziua II 4 56
M1 M2
3 5 71
12 20 28 4 === 3 12
5 20
7 28
1. Două mărimi variabile, care depind una de alta, astfel încât raportul măsurilor lor este
constant, se numesc mărimi direct proporționale.
2. Între două mulțimi ordonate de numere nenule și
există o proporționalitate directă dacă , unde k se numește coeficient
de proporționalitate.
LECȚIA 5. Mărimi direct proporționale
53
Exemplu: Un pahar cu 150g de iaurt conține 0,15 g de calciu. Află masa calciului dintr-un
pahar cu 200g de iaurt.
Rezolvare:
Mărimile: masa iaurtului (M) și masa
calciului (m) sunt direct proporționale.
Atunci procedăm ca în tabel:

4 44 Pa b (,)
3 33 Pab (,)
2 22 Pa b (,)
1 11 Pab (,)
1. Să stabilim dacă perechile de mărimi date sunt direct proporționale:
a) Lungimea laturii cubului și volumul acestuia;
b) Timpul și cantitatea de apă ce curge, printr-un robinet, cu debit constant.
2. Să aflăm x, știind că perechea de numere de pe prima linie și perechea de
numere de pe a doua linie a tabelului sunt în relație de proporționalitate directă.
1. Suma de 400 lei alocată cumpărării cărților de premii pentru cele trei clase a VI-a se împarte proporțional
cu numărul de premianți din fiecare clasă. Aflați ce sumă primește fiecare clasă pentru cărți, dacă în prima
clasă sunt 6 premianți, în a doua sunt 8, iar în cea de-a treia sunt 11.
M m 150 0,15 200 0,15 0, 2 200 150
x
x
× = Û= = .
În paharul mare se află 0,2 g calciu.
150
200
0,15
x
4 10
x 24
3. Regula de trei simplă se aplică la rezolvarea problemelor cu mărimi proporționale, în
care sunt date două valori ale uneia dintre mărimi și o valoare a celeilalte. Valoarea
necunoscută se numește al patrulea proporțional și se află astfel:
- Se identifică relația de proporționalitate directă;
- Se înregistrează valorile celor două mărimi ca în exemplul dat și se află necunoscuta
din proporție.
4. Într-un sistem de axe de coordonate,
punctele cu coordonate reprezentate de perechi de
numere corespunzătoare unei relații de
proporționalitate directă, sunt coliniare și dreapta
care le conține trece prin originea sistemului de
axe.
54
Rezolvare: Notăm cu x, y și z sumele pentru prima, a doua și, respectiv, a treia clasă. Din
proporționalitatea directă a mulțimilor ordonate (x, y, z) și (6, 8, 11), avem 6 8 11
x y z = = , iar din
proprietatea șirului de rapoarte egale rezultă 6 8 11 6 8 11
x y z xyz + + == = + +
. Prin înlocuirea sumei x + y + z cu
400 obținem 400 16
6 8 11 25 6 8 11
xy z xy z == = Þ== = . Apoi, x = 6 × 16 = 96 lei, y = 8 × 16 = 128 lei și
z = 11 × 16 = 176 lei. Deci clasa cu 6 premianți primește 96 lei, cea cu 8 premianți primește 128 lei, iar cea
cu 11 premianți primește 176 lei.
1. Determină dacă cele două mărimi din problemă sunt mărimi direct proporționale:
a) Dacă 2 cutii de chibrituri conțin 80 de bețe, atunci 7 cutii de același fel conțin 280 de bețe;
b) Dacă 3 litri de carburant costă 12,60 lei, atunci 1,5 litri costă 6,30 lei;
c) Dacă un robinet umple un rezervor de 130 litri în 2 h, atunci el umple un rezervor de 520 litri în 8 h;
d) Dacă 2 muncitori termină o lucrare în 3 zile, atunci 4 muncitori termină aceeași lucrare în 1,5 zile.
2. Stabilește formula de proporționalitate pentru tabelele următoare:
3. Precizează dacă numerele din mulțimea perechilor ordonate sunt proporționale:
a) {(1; 8), (5; 40), (7,5; 60)}; b) {(4; 40), (6,5; 60), (9,2; 90)}; c) {(12; 30), (6; 15), (4; 10)}.
4. Dacă 3 l de lapte costă 17,40 lei, află cât costă 5,5 l lapte.
5. Dacă în 100 l de aer sunt 21 l de oxigen, află câți litri de oxigen sunt în 550 l de aer.
6. O persoană împarte suma de 100 lei în părți direct proporționale cu numerele 1,5 și 6,5 pentru a cumpăra
produsele X și Y.
a) Pentru care dintre cele două produse persoana alocă o sumă mai mare de bani?
b) Află suma de bani alocată de acea persoană pentru produsele X și Y.
7. Dacă un angajat câștigă 540 lei în 6 zile, află cât va câștiga angajatul în 4 zile.
8. Află numerele a și b, știind că sunt direct proporționale cu numerele 2 și 7 și 2b – 5a = 28.
9. Un obiect are înălțimea de 65 cm, iar macheta sa are înălțimea de 1,3 cm. Ce înălțime are macheta unui
obiect înalt de 412, 5 cm dacă este realizată la aceeași scară?
10. Află câte procente reprezintă numărul a din numărul b, știind că a și b sunt direct proporționale cu
numerele 12 și 15.
11. Numerele de pe prima linie a tabelului alăturat sunt proporționale cu numerele de pe a
doua linie. Formulează o problemă cu datele din tabel, care se rezolvă cu ajutorul direct
proporționalității a două mărimi.
x 4 10 18 x 4 7,5 13 x 4 6,5 13 x 4 6,4 12
y 1 2,5 4,5 y 1,6 3 5,2 y 16 26 52 y 10 16 30
3 x
6 14
55
Ce înțelegem prin mărimi invers proporționale?
A1. Un arheolog poate parcurge distanța de la Timișoara la localitatea antică Zurobaro, cu bicicleta sau cu mașina, pe drumul spre Arad.
a) Arătați că velo velo auto auto vt vt ×= × , folosind valorile
vitezelor medii și ale timpilor din tabelul alăturat.
b) Observând că valoarea raportului vitezelor medii este
50 2
25 = și valoarea raportului timpilor de deplasare este
0,4 1
0,8 2 = , răspundeți la următoarele întrebări:
– Dacă vauto este de două ori mai mare decât vvelo, de câte ori este mai mic tauto față de tvelo,
pe aceeași distanță?
– Raportul 50
25 al vitezelor medii și inversul raportului timpilor de deplasare
0, 4
0,8
formează
proporția 50 0,4
25 0,8 = echivalentă cu egalitatea 25 ∙ 0,8 = 50 ∙ 0,4?
– Sunt invers proporționale viteza și timpul de deplasare pe o distanță dată ?
Altfel spus, două mărimi sunt invers proporționale dacă raportul dintre două măsuri ale uneia
este egal cu inversul raportului măsurilor corespunzătoare ale celeilalte mărimi, măsurate cu
aceeași unitate de măsură.
Exemplu: Lungimea și lățimea unui
dreptunghi cu aria de 60 cm2 sunt mărimi
invers proporționale.
Cu
bicicleta
Cu
mașina
Viteza
medie(km/h)
25 50
Timpul (h) 0,8 0,4
L (cm) l (cm) 10 5
1 1
6 12
= sau
10 12
5 6 =
Deci 10 × 6 = 12 × 5
10 6
5 12
1. Două mărimi variabile, care depind una de alta, se numesc mărimi invers proporționale,
dacă produsul dintre măsurile uneia și produsul măsurilor corespunzătoare ale celeilalte,
măsurate cu aceeași unitate de măsură, este constant.
LECȚIA 6. Mărimi invers proporționale
56
3. Regula de trei simplă
Exemplu: Dacă 15 camioane, de același tonaj, transportă o cantitate de marfă în 6 zile, aflați în
câte zile transportă aceeași cantitate de marfă 12 camioane de același tonaj cu primele 15.
Dacă mărimile M (numărul de camioane) și t (timpul) sunt invers proporționale, atunci:
1. Ana, Bia, Mia și Pia au în buzunar sumele: a, b, c, respectiv d. Să scriem că sumele Anei, Biei,
Miei și Piei sunt invers proporționale, respectiv cu numerele 2, 5 ,7 și 13.
2. Dacă prețul unui bec economic este 12 lei, o familie cumpără 8 becuri. Câte becuri de același fel
ar putea cumpăra familia, cu aceeași sumă, dacă prețul becului ar fi 16 lei?
Trei mobile parcurg aceeași distanță. Primul mobil, cu viteza de 75 km/h, parcurge distanța în 4 ore. Al
doilea circulă cu viteza de 60 km/h, iar al treilea parcurge distanța în 3 ore și 20 minute. Aflați:
a) timpul în care al doilea mobil parcurge distanța; b) viteza medie a celui de-al treilea mobil.
Rezolvare: Notăm cu a, b, respectiv c vitezele și cu x, y, respectiv z, timpii necesari celor trei automobile
pentru a parcurge distanța. Pentru că viteza de deplasare și timpul necesar sunt mărimi invers
proporționale, avem proporțiile: = a y
b x și a z
c x = . Prin înlocuirea literelor, obținem 75
60 4
y = , respectiv
75 200
c 240 = . De unde, 75 4 5
60 y × = = ore și 75 240 90
200
c × = = km/h.
M t
Deci, mai puține camioane transportă
marfa în 7,5 zile (mai multe zile).
15 6
12 x
15 15 6 7,5 12 6 12
x
x × =Þ= =
2. Între două mulțimi ordonate de numere nenule și există o
proporționalitate inversă dacă , adică dacă .
57

1. Determină dacă cele două mărimi din problemă sunt mărimi invers proporționale:
a) Depozitarea unei cantități de lichid necesită 18 sticle de 900 ml sau 36 sticle de 450 ml;
b) Dacă 4 zidari fac un zid în 12 zile, atunci 6 zidari, cu aceeași normă, fac zidul în 8 zile;
c) O pompă cu puterea de 4 kW ridică o cantitate de apă la 6 m înălțime, iar o pompă cu puterea de
6 kW ridică aceeași cantitate de apă la 9 m înălțime;
d) Dacă un dreptunghi are lungimea de 7,5 m și lățimea de 2 m, atunci un alt dreptunghi, cu aceeași
arie cu primul, are lungimea de 5 m și lățimea de 3 m.
2. Determină dacă numerele din linia I și din linia a II-a sunt valori ale unor mărimi invers proporționale:
a) 2 3 4 2,5 b) 1,2 4 1,5 c) 5 15 3
12 8 6 9,6 30 9 24 27 9 45
3. Stabilește dacă mărimile din tabel sunt invers proporționale și în caz afirmativ scrie formula de
proporționalitate:
a)
4. Cățeluşul Rex parcurge 6 km, deplasându-se cu viteză constantă, în 45 de minute. În cât timp
parcurge Rex aceeași distanță, în alergare, cu viteză dublă ?
5. Suma de 350 lei se împarte în două părți, x și y, invers proporționale cu numerele 2 și 5.
a) Care dintre cele două numere x și y este mai mare? b) Află numerele x și y.
6. Dacă un automobil cu viteza constantă de 90 km/h parcurge o distanță în 3 ore,
a) un automobil cu viteza constantă de 60 km/h parcurge aceeași distanță într-un timp mai
lung sau mai scurt? b) află timpul în care parcurge distanța respectivă automobilul care
merge cu viteza de 60 km/h.
7. Află numerele naturale a și b, știind că sunt invers proporționale cu numerele 3 și 2, iar
diferența lor este 17.
8. Află valoarea raportului 4
2 3
a b
a b
-
+
, știind că numerele a și b sunt invers proporționale cu
numerele 6 și 5.
9. Dacă un dreptunghi are lungimea de 12 m și lățimea de 9 m, află lățimea dreptunghiului cu
lungimea de 36 m și aceeași arie ca și dreptunghiul dat.
10. Numerele de pe prima linie a tabelului alăturat sunt invers proporționale cu
numerele de pe a doua linie. Formulează o problemă cu datele din tabel, care se rezolvă cu
ajutorul invers proporționalității a două mărimi.
x 60 80 100 b) x 5 4 2 c) x 3 2 5
y 40 30 24 y 3 3,75 7,5 y 7 10,5 4,2
6
4 3
x
58
Cum organizăm și clasificăm informațiile culese?
Înregistrați datele din acest tabel, în tabelul următor, folosind modelul dat:
O grupă a clasei observă graficul a), iar cealaltă graficul b) și fiecare răspunde la întrebarea: Graficul
este un mod de prezentare a datelor înregistrate de profesorul diriginte?
Cum interpretăm datele înregistrate?
Dacă mulțimea elevilor clasei asupra căreia se face studiul statistic despre proprietatea elevilor de a avea
un număr de frați se numește populație, atunci elevii clasei se numesc elementele populației, numărul lor
se numește efectivul total (N) al populației, numărul ni al elevilor din clasă care au un număr vi,
iÎ{0,1, 2, 3, 4}, de frați se numește efectivul ni, iar vi este valoarea efectivului ni.
Folosind unul dintre modurile de înregistrare și prezentare de mai sus, scrieți:
a) numărul elevilor care nu au frați (efectivul n0 corespunzător valorii v0);
b) numărul total al elevilor asupra căruia se face studiul (efectivul total al populației);
c) care dintre cele patru moduri de înregistrare a datelor furnizează informația, cel mai simplu și rapid.
A1. Pentru a-și forma o imagine asupra
populației școlare viitoare, profesorul
diriginte înregistrează numărul fraților
fiecărui elev al clasei, în tabelul numit prin
sortare:
Numărul
fraților 0 1 2 3 4
Numărul
elevilor
Numărul fraților 0 1 2 3 4
Numărul elevilor 5
a) grafic cu segmente b) grafic cu coloane
11
9
5
3
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Numărul fraţilor
Numărul
elevilor
0 1 2 3 4 5
LECȚIA 7. Elemente de organizare a datelor; probabilități
59
Cum analizăm datele dintr-o înregistrare statistică?
Dacă raportul fi= i n
N se numește frecvența efectivului ni, stabiliți cea mai mare frecvență din tabel:
Numărul fraților (vi) 0 1 2 3 4
Numărul elevilor (ni) 11 9 5 3 2 N=30
Frecvența (fi) 0,37 0,30 0,17 0,10 0,06 1
Cum interpretăm media unui set de date?
Calculați media aritmetică ponderată ma a valorilor vi raportată la efectivele ni, unde
0 0 11 2 2 33 4 4
01234
a
nv nv nv nv nv
m
nnnnn
×+×+ × + ×+ × = ++++
. Determinați între ce numere naturale este cuprinsă
media aritmetică a numărului de frați.
A2. În experiența aruncării, o singură dată, a unui zar, este posibil să apară, la
întâmplare, oricare dintre numerele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6. Adică există 6 cazuri
posibile. Dacă se urmărește apariția unuia dintre numerele de pe fețele zarului,
spunem că avem un caz favorabil.
a) Scrieți raportul procentual dintre numărul cazurilor favorabile apariției numărului 5
(evenimentul numărul 5) și numărul cazurilor posibile, la o singură aruncare a zarului;
b) Dacă la o singură aruncare a unui zar, raportul procentual dintre numărul cazurilor favorabile
apariției numărului 5 și numărul cazurilor posibile se numește probabilitatea apariției
numărului 5, scrieți procentual probabilitatea apariției numărului 5.
A3. Șase cartonașe identice sunt numerotate cu divizorii naturali ai numărului 12. Se extrage la
întâmplare un cartonaș. Scrieți:
a) Numărul cazurilor posibile; b) Numărul cazurilor favorabile pentru apariția unui pătrat
perfect; c) Probabilitatea realizării evenimentului „pătrat perfect”.
Zilnic primim informații sub diferite forme. Pentru a putea fi ușor interpretate, ele trebuie
organizate statistic.
» » »
Dacă într-o experiență (în producerea unui fenomen întâmplător, care se poate repeta în
condiții date), există un număr de evenimente posibile echiprobabile, cazuri posibile (p) și
un eveniment așteptat să se realizeze de (f) cazuri favorabile, atunci probabilitatea
realizării evenimentului așteptat dintr-o mulțime de evenimente posibile este raportul:
.
De remarcat: a) 0 £ P £ 1; b) Dacă P = 0 spunem că evenimentul este imposibil, iar dacă
P = 1 spunem că evenimentul este sigur.
60
În carnetul de elev al lui Dan, citim următoarele note, în ordine cronologică:
6 – 4 – 5 – 8 – 5 – 5 – 6 – 4 – 4 – 8 – 5 – 6.
a) Completați tabelul;
b) Realizați diagrama cu coloane a datelor înregistrate ;
c) Calculați media notelor;
d) Calculați probabilitatea obținerii notei 8
1. Dintr-o urnă cu bile identice, numerotate de la 1 la 20, se extrage o bilă. Să se calculeze
probabilitatea ca bila extrasă să fie numerotată cu un multiplu de 3.
Rezolvare: Observăm că experiența constă în extragerea,
o singură dată, a unei bile din urnă, numărul cazurilor
posibile este 20, iar numărul cazurilor favorabile
evenimentului „apariția unui multiplu al lui 3” este
cardinalul mulțimii {3, 6, 9, 12, 15, 18}, adică 6. Atunci,
probabilitatea apariției bilei numerotate cu un multiplu al
lui 3 este 6 3 0,3 30% 20 10
P === = .
2. O asociație de consumatori a testat durata de funcționare a 20 de modele de baterii.
Rezultatele, exprimate în ore de funcționare, sunt: 65–58–65–76–68–25–77–67–75–78–58–
68–73–75–76–60–65–75–77–81. Reprezentați datele culese, calculați media timpului de
funcționare și sugerați o rezoluție.
Rezolvare:
Sortare
Durata de funcționare în h
(valoarea vi a efectivului) 25 58 60 65 67 68 73 75 76 77 78 81
Număr modele
(efectivul ni) | ∟ | ⊏ | ∟ | ⊏ ∟ ∟ | |
Tabel de date
Durata de funcționare în h 25 58 60 65 67 68 73 75 76 77 78 81
Număr modele 1 2 1 3 1 2 1 3 2 2 1 1 N=20
i
i
n f N = 5
100
10
100
5
100
15
100
5
100
10
100
5
100
15
100
10
100
10
100
5
100
5
100
1
Nota 4 5 6 8
Numărul de
note
61
- Din prezentările statistice, remarcăm un singur model de baterie de foarte slabă calitate și unul
de foarte bună calitate. Fiecare dintre aceste modele reprezintă 5% din totalul bateriilor.
- Dacă vom calcula media duratei de funcționare a unei baterii, adică:
1 25 2 58 1 60 3 65 1 67 2 68 1 73 3 75 2 76 2 77 1 78 1 81 68
20
ma
× + × +× + × +× + × +× + × + × + × +× +× = = ,
observăm că durata medie de funcționare a unei baterii este de 68 ore și că, peste medie, sunt
10 modele de baterii, iar sub medie sunt tot 10 modele. Deci, producătorul trebuie să renunțe la
10 modele de baterii.
1. Răspunsurile elevilor la un sondaj privind numărul
cărților citite, într–o perioadă, sunt prezentate în tabel:
a) Completează tabelul: b) Realizează diagrama cu coloane:
c) Precizează câți elevi au citit cel puțin 3 cărți și câți elevi au citit cel mult două cărți;
d) Calculează probabilitatea ca, alegând la întâmplare un elev, acesta să fi citit 5 cărți.
2. Se consideră experiența aruncării unui zar, o singură dată. Calculează probabilitatea pentru:
a) Apariția unui divizor al lui 6; b) Apariția unui număr par; c) Apariția unui număr prim.
3. Se consideră experiența alegerii unei cifre. Calculează probabilitatea ca aceasta să fie:
a) pătrat perfect; b) cel puțin egală cu șapte; c) cifră impară.
4. Calculează probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea primelor 30 de numere naturale de două
cifre, acesta să nu conțină cifre pare.
5. Calculează probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea primelor 30 de numere naturale mai mari
ca 23, acesta să nu conțină cifra 8.
6. Un elev are de pregătit 12 teme, dintre care va fi aleasă una pentru prezentare. Câte teme trebuie să
pregătească elevul pentru ca probabilitatea alegerii unei teme pregătite să depășească 70%.
7. Determină numărul natural n, cu 43 < n < 67, astfel ca probabilitatea alegerii un număr din mulțimea
{38, 39, 40, ..., n} și acesta să nu fie multiplu de 10, să fie maximă.
0 2 6 2 5 1 3 0
1 2 5 1 3 1 3 1
2 0 2 2 4 1 2 2
Număr cărți
citite 0 1 2 3 4 5 6
Număr elevi N=24
Procentajul
elevilor 0
1
2
3
4
0123456
62
Modelează în Scratch următorul scenariu: Pe un fundal roz cu titlul „Probabilități”, un
personaj spune „Spune-mi, te rog! Probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea {1,
2, . ", 92}, acesta să fie multiplu de 6 este „(unde 92 este ales aleatoriu până la 100, iar 6
tot aleatoriu până la 10). Și așteaptă răspunsul (cu două zecimale exacte), urmând
comentariul adecvat „Bravo !” sau „Of ! Trebuia …” (urmat de valoarea corectă, la noi
ar fi 0.16).
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. Probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă ultima cifră ,1 este
l) m) n) o)
0,5 0,1 1% 0,05
2. Volumul unui balon de cauciuc nu este direct proporțional cu:
ă) b) c) d)
densitatea
conținutului masa conținutului dimensiunile
balonului
dimensiunile
conținutului
3. Un autobuz transportă x pasageri în h ore, pe o distanță d km, consumând b litri de
combustibil. Mărimile care nu sunt proporționale sunt
r) s) t) u)
numărul de
pasageri și distanța
timpul cursei și
distanța
timpul cursei și
cantitatea de
combustibil
distanța și
cantitatea de
combustibil
4. Cu cinci cutii de vopsea, 3 vopsitori acoperă 80 mp în 3 ore. În cât timp ar acoperi 80 mp 4 vopsitori?
e) f) g) h)
2 ore și 15 minute 4 ore 2 ore 2 ore și 20 minute
5. Cu cinci cutii de vopsea se acoperă 80 mp. Câți mp se acoperă cu 8 cutii de vopsea?
g) h) i) j)
50 64 128 250
1 2 3 4 5 6 7

63
6. Cu cinci cutii de vopsea, 3 vopsitori acoperă 80 mp în 3 ore. Câți mp se acoperă cu 9 cutii?
m) r) n) o)
144 128 81 44,(4)
7. În diagrama alăturată, Seria 2 la Categoria 3 are valoarea
a) b) c) d)
2 3 4 1

Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, în spațiile punctate, scrie cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Numerele 18 și 15 sunt ... proporționale cu numerele 6 și 5.
2. Dacă, mergând cu 60 km/h, un automobil parcurge o distanță în 50 min, atunci
mergând cu 30 km/h parcurge aceeași distanță în … .
3. Probabilitatea ca, aruncând un zar, să se obțină o față număr prim este ... .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Suma de 100 lei se împarte în două părți invers proporționale cu 3 și 7. Cel mai
mare dintre numere este:
a) 70; b) 30; c) 21; d) 7.
2. Dacă latura unui pătrat se mărește de două ori, atunci perimetrul său se mărește
de x ori. Valoarea lui x este:
a) 16; b) 8; c) 4; d) 2.
3. Probabilitatea ca, alegând un număr al mulțimii { } | ,8 2 64 n A nn = Î ££ ¥ , acesta
să fie prim este:
a) 1; b) 0,25; c) 0,5; d) 0,75.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Află trei numere invers proporționale cu 2, 3 și 4, dacă produsul lor este 72.
2. Trei robinete pot umple un bazin în 12 ore. În câte ore pot umple acelaşi bazin
patru robinete, cu acelaşi debit?
3. Reprezentați printr-un grafic cu coloane datele din tabelul următor și calculați
media clasei la matematică:
Nota la matematică 5 6 7 8 9 10
Număr de elevi 3 4 6 9 5 3
0246
Categoria 1
Categoria 2
Categoria 3
Categoria 4
Serie 3 Serie 2 Serie 1
64
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Numerele 6 și 3 sunt ... proporționale cu 8 și 16.
2. Dacă pentru 3 creioane se plătesc 3,6 lei, pentru 9 creioane se plătesc ... .
3. Probabilitatea ca, extrăgând un număr din mulțimea M = {1, 2, 3, …, 9}, acesta
să fie divizibil cu 3 este … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Diferența a două numere direct proporționale cu 2 și 9 este 70. Cel mai mic
dintre numere este:
a) 90; b) 20; c) 40; d) 18.
2. Dacă latura unui pătrat se micșorează de trei ori, atunci perimetrul său se
micșorează de x ori. Valoarea lui x este:
a) 9; b) 12; c) 6; d) 3.
3. În graficul următor sunt înregistrate notele la teza la matematică ale elevilor unei
clase.
Numărul elevilor care au obținut cel puțin nota 7 la teză este:
a) 20; b) 13; c) 7; d) 17.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Zece tractorişti ară o suprafaţă de teren în 12 ore. În cât timp vor ara, aceeaşi
suprafaţă, 6 tractorişti?
2. Într-o urnă sunt bile numerotate de la 1 la 90. Se extrage o bilă. Care este
probabilitatea ca numărul scris pe bilă să fie pătrat perfect?
3. Determinați trei numere a căror sumă este egală cu 180 și care sunt direct
proporționale cu 2, 3 și 4.
65
Teme pentru portofoliu
1. Cum se modifică un raport dacă:
a) mărim numărătorul de 3 ori; b) micșorăm numărătorul de 5 ori;
c) mărim numitorul de 4 ori; d) micșorăm numitorul de 10 ori;
e) mărim ambii termeni de 7 ori; f) micșorăm ambii termeni de 2 ori?
2. Pe un segment AD cu lungimea de 10,6 cm, se consideră punctele B și C, astfel încât AB = 3,4 cm și
BC = 44 mm.
a) Determină lungimea segmentului CD în dm.
b) Scrie rapoartele lungimilor: AB
AD , AB
BC , AB
CD , BC
AB ,
BC
CD , BC
AD , CD
AB , CD
BC , CD
AC , CD
AD .
3. Radu a economisit într-o săptămână a lei, iar sora sa, Ana, a economisit în aceeași perioadă b lei.
Raportul dintre suma economisită de Radu și cea economisită de Ana este 0,7 a
b = .
a) Stabilește care dintre cei doi frați a economisit mai mulți bani.
b) Dacă Ana a economisit 20 lei, câți lei a economisit Radu?
c) Dacă Radu a economisit 14 lei, câți lei a economisit Ana?
4. Scrie următoarele rapoarte sub formă de raport procentual:
a) 5
4 ; b) 4
5 ; c) 3
4 ; d) 0,25;
e)12,5; f) 3
25 ; g) 7
20 ; h) 9
10 .
5. Scrie raportul procentual sub formă de raport în care termenii acestuia sunt numere prime între ele:
a) 12%; b) 5%; c) 20%; d) 150%;
e) 3 %
4 ; f) 0,(3)%; g) 200%.
6. Calculează:
a) 4,5% din 100, din 360, respectiv din 80; b) 18,6% din 100, din 250, respectiv din 40;
c) 140% din 100, din 350, respectiv din 60.
7. Dintre cei 3600 de elevi ai unui liceu, 1980 studiază engleza, 720 franceza, 630 spaniola și restul
germana. Determină procentul de elevi care studiază engleza, franceza, spaniola, respectiv germana.
8. Determină cu ce procent se ieftinesc prețurile, știind că: a) un obiect de 130 lei s-a ieftinit cu 13 lei;
b) un obiect de 200 lei s-a ieftinit cu 50 lei; c) un obiect de 1000 lei s-a ieftinit cu 200 lei;
d) un obiect de 95 lei s-a ieftinit cu 9,50 lei; e) un obiect de 75 lei s-a ieftinit cu 35 lei.
9. Raportul lungimilor laturilor a două pătrate este 2
5 . Află raportul perimetrelor celor două pătrate.
66
10. Raportul perimetrelor a două pătrate este 3
7 . Află raportul lungimilor laturilor celor două pătrate.
11. Raportul lungimilor laturilor a două pătrate este 3
4 . Află raportul ariilor celor două pătrate.
12. Raportul lungimilor laturilor a două cuburi este 3
2 . Calculează raportul volumelor celor două cuburi.
13. La o secție de votare în care candidează trei persoane, X, Y și Z, sunt 800 de votanți. Știind că pentru
candidatul X au votat 42,5% din alegători, pentru domnul Y au votat 30% și pentru domnul Z au votat
25%, iar restul voturilor au fost anulate, află numărul de voturi anulate.
14. Dintre 55,8 milioane de francezi, 62,5% merg vara în vacanță, iar dintre aceștia, 44% merg la mare.
Câți francezi merg vara la mare?
16. În cadrul unui experiment de laborator, se fierb într-un vas 1,2 l de soluție de apă cu sare având
concentrația de 16%. La finalul experimentului se măsoară cantitatea de soluție și se observă că s-au
evaporat 0,4 l. Află concentrația soluției rămase.
17. Cu ce cantitate de aliaj cu titlul de 0,65 trebuie să se amestece 24 g de aliaj cu titlul de 0,85 pentru a
obține un aliaj cu titlul de 0,70?
18. Panteonul din Atena are înălțimea de 18 m, iar o machetă a sa are înălțimea de 72 cm. Află scara la
care este făcută macheta.
19. Localitatea A, cu suprafața de 3 km2
, are 750 locuitori, iar localitatea B, cu suprafața de 4 km2
, are
1000 de locuitori.
a) Dacă prin densitatea populației unui teritoriu se înțelege raportul dintre numărul de locuitori și
suprafața teritoriului, află densitățile populației celor două localități și verifică dacă cele două rapoarte
formează o proporție;
b) Scrie raportul dintre numărul locuitorilor celor două localități și raportul dintre suprafețele lor, apoi
verifică dacă cele două rapoarte formează o proporție.
20. Un automobil parcurge distanța de 170 km în 2 ore. Verifică dacă viteza de deplasare a automobilului
este de 65 km/h.
21. Determină termenul necunoscut din proporțiile următoare:
a)
5
7 3
0,6 d = ; b)
1 4
3 2,5
0,(3) c = ; c)
1 1 2
3 3
x 4 = ; d) 0,5 4,5
0,4 1,2
× x = ; e) 1,3 2,(3)
13 0,1(6) x
= × .
22. Din proporția 1,1 2,2
1,65 3,3 = formează cinci proporții derivate cu alți termeni și probează dacă sunt corect
formate, cu ajutorul proprietății fundamentale a proporțiilor.
67
23. Fie proporțiile: 1
2
a
b = și 3
2
c
b = , cu * abc , , Υ .
a) Demonstrează că 2 4 a bc
b
+ + = ; b) Știind că a c + = 6 , află numărul b.
24. Dacă 3 ", 0 11
abc
xyz
xyz
=== ¹ calculează 11 3 abc
x y z
+ + × - + + .
25. Ştiind că 326
537
x y z = = și că xyz ××=630, determină numerele x, y și z.
26. Suma numerelor x, y și z este 14400. Determină numerele x, y și z dacă
345
x y z = = .
27. Din 3 kg de portocale se obțin 1,2 litri de suc.
a) Află câți litri de suc se obțin din 10 kg de portocale;
b) Află de câte kilograme de portocale este nevoie pentru a obține 5 litri de suc.
28. Segmentul AB, cu lungimea de 25 cm, este împărțit de punctul M din interiorul său în două segmente,
AM și MB, ale căror lungimi sunt direct proporționale cu numerele 2 și 3.
a) Care dintre cele două segmente este mai lung?
b) Află lungimea fiecărui segment.
29. Află numerele a, b și c, dacă sunt proporționale cu numerele: 3, 4 și 6 și abc × × = 576 .
30. Bunica are 200 lei şi dorește să-i împartă celor doi nepoței ai săi, invers proporțional cu vârstele lor.
Află câți bani primește fiecare copil, știind că unul are 3 ani, iar al celălalt are 7 ani.
31. Segmentul AB, cu lungimea de 45 cm, este împărțit de punctul M din interiorul său în două segmente,
AM și BM, cu lungimile invers proporționale cu numerele 2 și 3.
a) Care dintre cele două segmente este mai lung? b) Află lungimea fiecărui segment.
32. Află câte procente reprezintă numărul a din numărul b, dacă a și b sunt invers proporționale cu
numerele 12 și 15.
33. Dacă 30 de creioane costă 60 lei, aflați cât costă 7 creioane.
34. 4 zugravi pot renova clasele unei școli în 12 zile. În câte zile pot termina de renovat clasele 6 zugravi?
35. Dacă un automobil care se deplasează uniform parcurge 1200 km în 15 h, află în cât timp va parcurge
automobilul 560 km.
36. Dacă 3 robinete umplu un bazin în 34 ore, află în cât umplu bazinul doar 2 dintre robinete.
37. Dacă 8 muncitori termină o lucrare în 21 zile,
a) 6 muncitori, cu aceeași normă zilnică, termină lucrarea într-un timp mai lung sau mai scurt?
b) află în cât timp termină lucrarea cei 6 muncitori.
38. Un automobil parcurge distanța de 250 m în 9 secunde, deplasându-se cu viteză constantă.
a) Ce distanță parcurge automobilul în 12 minute? b) În cât timp parcurge automobilul 12 km?
39. Calculează probabilitatea ca, alegând un număr natural de două cifre, acesta să aibă cifrele egale.
40. La un test un elev ia nota 4, 3 elevi iau nota 5, 4 elevi iau nota 6, 6 elevi iau nota 7, 4 elevi iau nota 8,
5 elevi iau nota 9 și 2 elevi iau nota 10.
a) Notează datele problemei într-un tabel; b) Calculează media clasei la acest test.
68
Capitolul 3. MULŢIMEA NUMERELOR ÎNTREGI
Unitatea de învățare: Numere întregi 1
A1. Tabelul alăturat conține temperaturile maxime înregistrate în luna decembrie în șapte orașe.
a) Precizați orașele unde temperaturile maxime înregistrate sunt pozitive şi oraşele unde temperaturile
sunt negative;
b) Reprezentați pe axa numerelor temperaturile din tabel, luând ca unitate de măsură 0,5 cm;
c) Identificați orașul corespunzător celei mai mari temperaturi negative și pe cel cu cea mai mică
temperatură pozitivă;
d) Care dintre temperaturile înregistrate la Moscova și Quebec este mai mare? Cum este poziționată pe
axa numerelor temperatura de la Moscova față de cea de la Quebec?
1. Din considerente practice (măsurarea temperaturii, realizarea de hărți atât ale regiunilor muntoase, cât
și ale fundului oceanelor, prezentarea momentelor istorice remarcabile) oamenii au adăugat mulțimii
numerelor naturale = {0, 1, 2, 3, … , n, …} mulțimea numerelor întregi negative
{ } ..., ,..., 3, 2, 1 - --- n , obținându-se:
D B O I A C

– 4 – 1 0 1 3 4

mulțimea numerelor întregi negative mulțimea numerelor întregi pozitive
¥
Mulțimea numerelor întregi .
Mulțimea numerelor întregi nenule se notează .
Notăm cu mulțimea numerelor întregi pozitive; .
Notăm cu mulțimea numerelor întregi negative; .
LECȚIA 1. Mulțimea numerelor întregi
69
Pe axa numerelor din desenul de mai sus punctele O (originea), I, A, B, C și D au abscisele 0, +1, +3, –1,
+4, respectiv –4 și notăm O(0), I(+1), A(+3), B(–1), C(+4), D(–4).
Exemplu: +4 și –4 sunt numere întregi opuse și punctele C, respectiv D, prin care sunt
reprezentate pe axă sunt simetrice în raport cu originea O (sau O este mijlocul segmentului CD).
Observație: Opusul numărului 0 este 0.
Exemplu: În figura de mai sus modulul numărului +4 este egal cu distanța de la O la A și scriem |+4| =
4, iar modulul opusului său, – 4, este egal cu distanța de la O la B și |–4| = 4.
La fel obținem |0| = 0, |–1| = |+1|, |+3| = 3.
Observație: Modulele a două numere opuse sunt egale pentru că punctele care le reprezintă pe axa
numerelor sunt egal depărtate de origine.
Exemple:
a) –3 > –5 pentru că |–3| = 3 < 5 = |–5|.
b) –5 < +3 pentru că punctul C este la dreapta punctului E’ pe axă sau pentru că -5 este negativ și +5
este pozitiv.
E’ D’ C’ B’ A’ O A B C D E
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
... < – 4 < –3 < –2 < –1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < ...
3. Două numere întregi, care diferă doar prin semnul lor, se numesc opuse.
Pe axa numerelor ele se reprezintă prin două puncte simetrice față de originea O.
4. Distanța de la origine la punctul prin care este reprezentat un număr întreg a , pe axa numerelor, se
numește modulul numărului a și se notează |a|.
5. Dintre două numere întregi diferite mai mare este cel care pe axă este reprezentat în dreapta.
Dintre două numere întregi pozitive (negative) este mai mare cel care are modulul mai mare (mic).
Orice număr pozitiv este mai mare decât orice număr negativ.
2. Fiecărui număr întreg îi corespunde pe axa numerelor un punct. Numărul asociat
punctului este abscisa (coordonata) sa.
70
1. Dintre doi cetățeni care au datorii la bancă, unul 1000 și celălalt 2000 unități bancare,
care ar trebui să fie mai liniștit ? Să modelăm informația în limbajul numerelor întregi.
2. Doi cetățeni au, unul un depozit de 1000 la bancă, iar celălalt un credit de 1000. Care
ar trebui să fie mai liniștit ? Să modelăm informația în limbajul numerelor întregi.
1. Copiați și reprezentați pe axă punctele A’, B’, C’, D’, ale căror abscise sunt, respectiv opusele
absciselor punctelor A, B, C, D din desenul dat.
D B O A C
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Rezolvare: C’ D A’ B O B’= I A D’ C
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Abscisa punctului A este 2 și opusul lui 2 este – 2, deci vom reprezenta punctul A’ de abscisă – 2. Analog,
punctul B are abscisa – 1, iar opusul lui – 1 este 1 și vom reprezenta punctul B’ de abscisă 1; punctul C are
abscisa 4 și opusul lui este – 4 și vom reprezenta punctul C’ de abscisă – 4; punctul D are abscisa – 3 și
opusul lui este 3 și vom reprezenta punctul D’ de abscisă 3. Astfel, se obțin punctele A’(–2), B’(1), C’(–4)
și D’(3).
2. Determinați mulțimile:
A xx x =Î £ { } | , | | 2 ¢ ; B yy y =Î < { } | , | | 4 ¢ și C zz z =Î > { } | , | | 0 ¢ .
Rezolvare: Numerele întregi x a căror distanță pe axă este mai mică sau egală cu 2 sunt cele pozitive 1 și
2, dar și cele negative –2 și –1, cât și numărul întreg 0. Deducem că A = {–2, –1, 0, 1, 2}.
Dacă |y| < 4, atunci numerele întregi y sunt cele pozitive 1, 2 și 3, cele negative – 1, – 2 și – 3, dar și 0.
Obținem B = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3}. Cum |z| > 0, pentru orice număr întreg nenul, deducem că * C=¢ .
1. Copiază și notează cu (A) pentru enunț adevărat și cu (F) pentru enunț fals:
a) - Î 37 ¢ ; b) 59Î ¥ ; c) 59΢+ ; d) * 59΢ ;
71
e) 13 - ΢- ; f) - Î 27 ¥ ; g) 2
3
΢; h) 0,72΢- ;
i) 3- Ϣ- ; j) 5Ϣ- ; k) 24Ϣ; l) 125Ϣ+ ;
m) 0΢- ; n) 0΢+ .
2. Copiază și completează șirul cu numerele întregi lipsă:
a) – 8, – 6, – 4, …, …, …, 4; b) 15, 12, …, 6, 3, …, …;
c) – 7, – 12, …, – 22, …, …, – 37; d) 9, 5, …, – 3, – 7, …, – 15.
3. Copiază și notează cu (A) pentru enunț adevărat și cu (F) pentru enunț fals:
a) – 27 și 27 sunt numere opuse; b) 15 și – 15 sunt numere opuse;
c) – 3 și 0 sunt numere opuse; d) 7 și – 6 sunt numere opuse;
e) 49 și 49 sunt numere opuse.
4. Compară numerele din perechile:
a) – 1 și – 3; b) – 6 și – 5; c) – 3 și – 4; d) 2 și 5;
e) 3 și 1; f) 4 și 3; g) – 1 și 4; h) – 3 și 1;
i) – 2 și 0; j) 0 și 3, folosind reprezentarea acestora pe axa numerelor.
5. Scrie numărul întreg care are predecesorul și succesorul dați:
a) – 3, – 1; b) –125, – 123; c) – 79, – 77 ; d) – 2, 0;
e) – 1, 1; f) 2, 4; g) 127, 129.
6. Ordonează crescător elementele mulțimii {– 30; 50; – 90; 0; – 50; 80}.
7. Ordonează descrescător elementele mulțimii {– 760; 670; – 450; 0; – 670; 540}.
8. Scrie mulțimile definite de următoarele egalități:
a) x =1; b) x = 29 ; c) x = 0 ; d) x = -3.
9. Calculează:
a) |– 4| + |5| + |–11|; b) |–27| – |– 13| + |16|; c) |–14| × |–2| – |–8|;
d) |28| : |–14| + |8|; e) ( ) ( ) ( ) 86 2 | 2| : |2| | 2| - -- ; f) ( )
2
| 5 2 | :| 3| | 3| - - -- .
10. Determină mulțimile de numere:
și ; și ;
și ; și ;
și ; și ;
și .
A xx = Î { ¢ -£ < 2 3 x } B xx = { Î ¢ -2 2 < C xx = Î { ¢ -< £ 1 2 x } D xx = { ΢ 0 0 £ x £ }
E xx x =Î< { ¢, 0 x>0} F xx = { ΢ x = 3}
G xx = Î { ¢ x = -2}
72
A1. Pe plăcuța ascensorului unui bloc, parterul, cele 10 etaje și cele 4 nivele de la
subsol sunt marcate ca în desenul alăturat.
a) Dacă ascensorul pornește de la etajul 2, urcă 3 etaje și se oprește, indicați etajul la
care a ajuns. Calculați (+ 2) + (+ 3) și formulați o regulă de adunare a două
numere întregi pozitive, cunoscând modulele lor: |+2| = 2 și |+3| = 3;
b) Dacă ascensorul pornește de la nivelul – 1, coboară 2 nivele și se oprește, indicați
nivelul la care a ajuns. Calculați (– 1) + (– 2) și formulați o regulă de adunare a
două numere întregi negative, cunoscând modulele lor: |–1| = 1 și |–2| = 2;
c) Dacă ascensorul pornește de la nivelul – 3, urcă 7 nivele și se oprește, indicați
etajul la care a ajuns. Calculați (– 3) + (+ 7) și formulați o regulă de adunare a
două numere întregi, de semne diferite, știind că modulul numărului negativ este
mai mic decât modulul numărului pozitiv;
d) Dacă ascensorul pornește de la nivelul – 3, urcă 3 nivele și se oprește, indicați
nivelul la care a ajuns.
Calculați (– 3) + (+ 3) și formulați o regulă de adunare a două numere întregi
opuse;
e) Dacă ascensorul pornește de la nivelul – 3 , urcă 2 nivele și se oprește, indicați
etajul la care a ajuns. Calculați (– 3) + (+ 2) și formulați o regulă de adunare a
două numere întregi, de semne diferite, știind că modulul numărului negativ este
mai mare decât modulul numărului pozitiv.
1. Suma a două numere întregi este tot un număr întreg.
Exemple:

(+ 2) + (+ 3) = |+2| + |+3| = 2 + 3 = 5;

(– 1) + (– 2) = –(|–1| + |–2|) = –(1 + 2) = –3;
Suma a două numere întregi cu același semn este egală cu suma modulelor lor,
precedată de semnul comun al numerelor.
LECȚIA 3. Adunarea numerelor întregi; proprietăți
73
Exemple:
2. Proprietățile adunării numerelor întregi:
1. Dacă a = –18, b = –3, c = 3, d = 14, e = 19, să calculăm sumele dintre a și a, b, c, d și
e. Apoi dintre b și a, b, c, d și e.
2. Să calculăm rapid: (–45 + 55 + 15 – 25) + (23 – 46 + 69 – 45).
3. Să calculăm cât se poate de rapid: (–25+24–23+22–21+…+2–1)+(1–2+3–4+…+25).
4. Liftul de la activitatea A1, pornind de la etajul 5, urcă 3 etaje, coboară 4, urcă 2 și
coboară 4. Să stabilim la ce etaj a ajuns.
1. Aflați suma dintre cel mai mic număr întreg pozitiv format din trei cifre distincte și cel mai
mic număr întreg negativ format din trei cifre distincte.
Rezolvare: Cel mai mic număr întreg pozitiv format din trei cifre distincte este 102, iar cel mai
mic număr întreg negativ format din trei cifre distincte este – 987.
Suma lor este: 102 + (–987) = –885.
2. Calculați, cât mai simplu, suma: A = 197 + (–326) + 250 + (–124) + 3.
Rezolvare: Aplicând proprietățile de comutativitate și asociativitate, obținem:
A= + + + - +- = + +- = +- = (197 3 250) [( 326) ( 124)] (200 250) ( 450) 450 ( 450) 0.
Proprietatea Exemplu Oricare ar fi
Comutativitatea adunării (–5) + (+11) = (+11) + (–5) a + b = b + a
Asociativitatea adunării [(–10) + (+3)] + (–7) =
(–10) + [(+3) + (–7)] (a + b) + c = a + (b + c)
0 element neutru la adunare (–4) + 0 = 0 + (–4) = –4 a + 0 = 0 + a = a
Suma a două numere opuse este 0 (+9) + (–9) = (–9) + (+9) = 0 a + (–a) = (–a) + a =0
abc , , ΢
(- + + =+ + - - =+ - =+ = 3 7 7 3 73 44 ) ( ) ( ) ( ) (-3 2 3 2 32 1 ) + + =- - - + =- - =- ( ) ( ) ( )
Suma a două numere întregi de semne contrare este egală cu diferența dintre modulul
mai mare și modulul mai mic, precedată de semnul numărului cu modulul mai mare.
74
1. Reprodu și completează tabelul, efectuând calculele mintal:
a 15 –4 –9 –19 0 9 a 9 7 0 –6 –9 20
a+(+9) a+(–9)
2. Termometrul A indică +5o
C, B indică – 15o
C, C indică – 20o
C și D indică +35o
C. Află
temperatura pe care o indică fiecare dintre cele 4 termometre, după:
a) o creștere a temperaturii cu 7o
C; b) o scădere a temperaturii cu 12o
C.
3. Calculează sumele:
; ; ; ;
; ; ;
; ; .
4. Reprodu și completează tabelul 1 cu coloanele: a + b, b + a, a + 0, b + c, a + (b + c), (a + b) + c.
a b c
– 6 4 – 9
– 8 – 10 18
18 11 6
– 15 – 25 – 30
17 – 17 13
21 – 15 – 25
Tabel 1 Tabel 2
5. Reprodu și completează tabelul 2.
6. Calculează sumele:
; ; ; ;
; ; .
7. Găsește greșeala în următoarele calcule:
a) (+13) + (–7) = +6; b)(–10) + (+24) = –34; c) (+9) + (–16) = –5;
d) (–25) + (+10) = –15; e) (–18) + (–16) = –2; f) (–18) + (–19) = –37.
8. Calculează sumele, grupând termenii cu același semn:
A = (–8) + (+15) + (–13) + (+25); B =12 + (–37) + (+45) + (–13);
C = 38 + (–47) + (–31) + (+16); D = (–7) + (+82) + (+38) + (–12).
9. Calculează sumele cât mai ușor posibil, folosind proprietățile adunării numerelor întregi:
A = –8 + (+15) + (– 2) + (+5); B = (+28) + (–64) + (+72) + (–26);
C = (+12) + (– 37) + (+45) + (–13); D = (–36) + (+38) + (+12) + (–64) + (+40);
E = 85 + (– 37) + (+25) + (– 33) + (– 35).
A =+ ++ ( )( ) 7 5 B =- +- ( ) 6 9 ( ) C =(- +- 11 8 ) ( ) D =- +- ( )( ) 14 19
E =+ ++ ( 35 47 ) ( ) F =+ ++ ( ) 145 5 ( ) G =- +- ( 315 685 ) ( ) H =+ ++ ( 476 224 ) ( )
I =- ++ ( 47 47 ) ( ) J = +- 358 358 ( ) K =(- + 1035 0 )
A = + 4 3 B =- +5 7 C = - -9 3 D =- + 25 13
E = - 59 37 F =- - 27 14 G = - + 35 0
a a+b –a –b (–a)+(–b) –(a+b)
3 – 8
– 5 9
4 7
– 6 0
b
75
A1. Tabelul alăturat conține temperaturile medii, în grade Celsius (o
C), înregistrate în primele
șase luni ale anului, la Sinaia.
Luna ianuarie februarie martie aprilie mai iunie
Temperatura medie
1. Stabiliți cu câte grade a coborât temperatura medie în luna februarie față de cea din luna ianuarie și aflați
termenul necunoscut din egalitatea (– 11) + ? = – 13, în care cunoaștem suma și unul dintre termeni.
Apoi verificați rezultatul obținut, folosind deplasarea furnicii reprezentate prin săgeți, pe axă. Folosind
rezultatul obținut, remarcați egalitatea
(–13) – (–11) = (–13) + (+11) = –2 și stabiliți
valoarea de adevăr a afirmației: Diferența a două
numere întregi se obține prin adunarea
descăzutului cu opusul scăzătorului.
2. Stabiliți cu câte grade a urcat temperatura
medie din luna mai față de temperatura
medie din luna aprilie și aflați termenul
necunoscut din egalitatea (+4) + ? = + 15.
Apoi verificați rezultatul obținut, folosind deplasarea furnicii reprezentate prin săgeți, pe axă.
Folosind rezultatul obținut, remarcați egalitatea (+15) – (+4) = (+15) + (–4) = +11, stabiliți dacă la scăderea
(+15) – (+4) se aplică regula de calcul a diferenței a două numere întregi, enunțată la 1.
3. Stabiliți cu câte grade a urcat temperatura medie din luna aprilie față de cea din luna martie și aflați
termenul necunoscut din egalitatea (–3) = ? = +4. Apoi verificați
rezultatul obținut, folosind deplasarea furnicii reprezentate prin
săgeți, pe axă.
Folosind rezultatul de la punctul a), remarcați egalitatea
(+ 4) – (–3) = (+ 4) + (+3) = +7, stabiliți dacă la scăderea (+ 4) –
(–3) se aplică regula de calcul a diferenței a două numere întregi,
enunțată la 1.
( C) o -11 -13 -3 +4 +15 +20
LECȚIA 3. Scăderea numerelor întregi
76
1. Diferența a două numere întregi este tot un număr întreg.
Exemple: a) (+3) – (–4) = (+3) + (+4) = +7;
b) (–5) – (+6) = (–5) + (–6) = –11.
2. Pentru efectuarea unui calcul, care presupune o succesiune de adunări și de scăderi de
numere întregi, transformăm fiecare scădere în adunare cu opusul scăzătorului și
efectuăm calculele de la stânga la dreapta, regrupând termenii cu același semn.
Exemplu: (–9) – (+10) + (–11) – (–20) = (–9) + (–10) + (–11) + (+20) = (–30) + (+20) = –10.
Pentru efectuarea unui calcul, care presupune o succesiune de adunări și de scăderi de
numere întregi, se elimină parantezele precedate de semnul „+”, scriind termenii din
paranteze cu semnele lor și parantezele precedate de semnul „–”, scriind termenii din
paranteze cu semne contrare. Apoi se calculează suma algebrică, aplicând regula semnelor
de la adunarea numerelor întregi.
Exemplu: (+6) + (–9) – (+1) – (–2) = +6 – 9 – 1 + 2 = +6 + 2 – 9 – 1 = +8 – 10 = –2.
1.Dacă a = –18, b = –3, c = 3, d = 14, e = 19, să calculăm diferențele dintre a și a, b, c, d
și e. Apoi dintre b și a, b, c, d și e.
2.Să calculăm rapid: (–45 + 55 + 15 – 25) – (23 – 46 + 69 – 45).
3.Să calculăm și mai rapid: (–25+24–23+22–21+…+2–1) – (1–2+3–4+…+25).
4.Aveam o datorie de 1000 lei. Am plătit 400 lei, am mai făcut o datorie de 800 lei și cu
2000 lei câștigați ulterior am plătit toată datoria. Câți bani mi-au rămas?
1. Fie punctele: A(4) și B(–3).
a) Reprezentați punctele A și B pe axa numerelor, luând ca unitate de măsură 1cm;
b) Determinați lungimea segmentului AB (distanța dintre punctele A și B).
Rezolvare: a)
B(-3) 0 A(4)
Diferența a două numere întregi se obține prin
adunarea descăzutului cu opusul scăzătorului.
a – b = a + (–b), unde a, b Î ℤ
77
b) Lungimea segmentului AB (distanța dintre punctele A și B) este egală cu modulul diferenței
absciselor punctelor A și B, astfel
AB = d(A,B) = |4 – (–3)| = |4 + 3| = |7| = 7, deci AB = d(A,B) = 7cm.
2. Determinați opusul numărului a = (–200) – (–125).
Rezolvare: a = (–200) – (–125) = –200 + 125 = – 75. Atunci – a = – ( – 75) = 75.
1. Reprodu și completează tabelul, efectuând calculele mintal:
2. Termometrul A indică +5o
C, B indică – 12o
C, C indică + 17o
C și D indică +2o
C. Află cu câte
grade a scăzut temperatura în fiecare dintre cele 4 termometre, dacă termometrul A indică
0o
C, B indică – 17o
C, C indică + 12o
C și D indică – 3o
C.
3. Calculează diferențele:
A = 2 – (+8); B = 5 – (–2); C = (–3) – (–5); D = 11 – (–2); E = (–2) – (+5);
F = (–7) – (–4); G = 1 – (+10); H = –3 – 0; I = 0 – (–3); J = 0 – (+3).
4. Reprodu și completează tabelul:
5. Calculează în două moduri:
A = –2 – (4 – 6); B = –3 – (–2 – 5) – (8 – 10);
C = –25 – (–12 + 8) – (–5 + 11); D = 14 – (7 – 3 + 14) – (–10 + 5).
6. Calculează:
A = (4 – 7) – (–11 + 19); B = – (6 – 2) + 11 – 19;
C = 27 – (+49) – (18 – 27) + (–28); D = 1 – (2 – 3) – (4 – 5) – (6 – 7) – (8 – 9)
; .
7. Află numărul necunoscut:
a) x+- = ( 3) 5; b) 7 3 + =- b ; c) -4 1 + =y ; d) z +( 4) 5 - =- ; e) x + =- 0 2 .
8. Află numărul necunoscut:
a) 15 7 - = x ; b) 13 2 - =- b ; c) -8 5 - =y ; d) -4 6 - =- u ; e) 0 6 - = u .
9. Află numărul necunoscut: a) x - = 4 2 ; b) y-( 3) 4 - = ; c) z-( 1) 0 - = ; d) a-+ = ( 9) 7.
10.Află distanța dintre punctele A și B, știind că:
a) A(5), B(8); b) A(–2), B(–5); c) A(–3), B(+1); d) A(3), B(–4).
E = -+ - - +- 27 49 18 27 28 ( )( )( ) F = 1 23 45 67 89 -------- ( ) ( )( )( )
a 13 7 – 2 9 – 9 0 a 7 –6 10 – 9 9 0
a – (+9) a – (–9)
A 16 – 8 – 14 – 6 – 7 – 16 – 100 – (– 50)
B 25 13 22 18 – 4 18 – 20 + 30
a – b
78
A1. Ioana primește 3 € pe zi de la mama sa.
a) Calculați suma de bani primită de Ioana de la mama
sa, în două zile consecutive;
b) Folosind rezultatul de la punctul a), finalizați calculul
(+2) ∙ (+3) = +(|+2| ∙ |+3|) = +(2 ∙ 3) =. .. și verificați dacă
produsul obținut este corect, folosind deplasarea reprezentată
prin săgeți, pe axă.
A2. Sergiu cheltuiește zilnic 2 €.
a) Calculați suma de bani cheltuită de Sergiu în trei zile.
b) Folosind rezultatul de la punctul a), finalizați calculul:
(+3) ∙ (–2) = –(|+3| ∙ |–2|) = –(2 ∙ 3) și verificați dacă
produsul obținut este corect, folosind deplasarea reprezentată
prin săgeți, pe axă.
A3. Cosmin a împrumutat de 2 ori câte 3 € de la tatăl său.
Când Cosmin a luat o notă mare la un test, tatăl său i-a șters
această datorie. a) Calculați ce sumă de bani a câștigat astfel
Cosmin de la tatăl său; b) Folosind rezultatul de la punctul
a), finalizați calculul: (–2) ∙ (–3) = +(|–2| ∙ |–3|) = +(2 ∙ 3) și
verificați dacă produsul obținut este corect, folosind
deplasarea reprezentată prin săgeți, pe axă.
Exemple: ; .
Exemple: ; .
(+ × + =+ × = 12 5 12 5 60 ) ( ) ( ) (-8 3 8 3 24 )× - =+ × = ( ) ( )
( )( ) ( ) + × - =- × =- 5 7 5 7 35 (-13 4 13 4 52 )× + =- × =- ( ) ( )
Produsul a două numere întregi, cu același semn, este egal cu produsul modulelor lor, precedat de
semnul „+”.
LECȚIA 4. Înmulțirea numerelor întregi; proprietăți
Produsul a două numere întregi cu semne contrare este egal cu produsul modulelor lor, precedat
de semnul „ ”.
79
Proprietățile înmulțirii numerelor întregi sunt:
Proprietatea Exemplu Oricare ar fi
comutativitatea a × b = b × a
asociativitatea
[( 4) ( 6)] ( 5) - ×+ ×-
1 este element neutru a × 1 = 1 × a = a
distributivitatea față de
adunare
produsul cu un factor nul
este nul
a a ×=×= 00 0
1. Dacă a = –18, b = –3, c = 3, d = 14, e = 19, să calculăm produsul dintre b și a, b, c, d
și e. Apoi dintre c și a, b, c, d și e.
2. Să calculăm rapid: (–5) × (–4) × (–3) × … × 10.
3. Să calculăm mai rapid: (–3 + 2 – 1) × ( –2 + 1 – 0) × (–1 + 0 – 1) × (–0 + 1 – 2).
4. Un împrumut cu camătă cere ca, după fiecare an, să se plătească dublul sumei restante. Să
calculăm ce sumă am datora, după 3 ani, dacă am efectua un asemenea împrumut de 500 unități.
1. Calculați produsul următor, grupând convenabil termenii P =- × × - × - 5 7 ( 4) ( 11).
Rezolvare: Aplicând comutativitatea și asociativitatea înmulțirii numerelor întregi, putem
rescrie astfel: P =- ×- × ×- [ ][ ] 5 ( 4) 7 ( 11) . Apoi P = × - =- 20 ( 77) 1540 .
2. Calculați, utilizând factorul comun: A = ×- + × - × + ×- 31 ( 12) 31 56 31 13 31 ( 131).
abc , , ΢
(- ×+ =+ ×- 18 5 5 18 ) ( ) ( ) ( )
= (- ×é + × - ù 4 65 ) ( ) ( ) ë û
(ab c a bc × )×=× × ( )
(-411 4 4 )× = × - =- ( )
(-537 )×é + + - ù= ( ) ( ) ë û
=(- ×+ +- ×- 53 57 ) ( ) ( ) ( )
a b c ab ac ×( + =×+× )
(-2034 0 0 2034 0 )× = ×- = ( )
3. Produsul unui număr par de factori negativi este un număr întreg pozitiv.
4. Produsul unui număr impar de factori negativi este un număr întreg negativ.
5. Produsul oricărui factor şi –1 este opusul factorului: oricare ar fi a Î ℤ;
.
6. Mulțimea multiplilor unui număr întreg a este .
80
Rezolvare: Observăm că factorul comun tuturor termenilor este 31. Atunci,
A = × - + - +- 31 ( 12) 56 13 ( 131) [ ].
1. Calculează produsele:
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; .
2. Calculează produsele:
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ;
.
3. Înmulțește numerele – 6, 3 și – 4, două câte două. Câte posibilități sunt?
4. Reprodu și completează tabelul alăturat, cu coloanele
a × b, b × a, b × c,(a × b) × c, a × (b × c), a × (b + c), ab + ac:
5. Calculează mintal:
A=- ×- ×- ×- ( 1) ( 2) ( 3) ( 4); B=-×+ ×- ×- 2 ( 7) ( 1) ( 3);
C = ×- ×- × 5 ( 8) ( 3) 4; D=( 12) ( 4) ( 3) ( 10) - ×- ×+ ×- ;
E =- × ×- × ( 23) 56 ( 42) 0.
6. Calculează:
a) |+3| × |7 – 2|; b) |6 – 7| × |–4|; c)|5 – 8| × (–2)× |6 – 4|; d) (–|13 – 17|) × |29 – 30|;
e)|–9 + 7 – 18| × |–34 + 29| × (–1) × (+2); f) |12 – 17| × |18 – 16| × 0.
7. Calculează în două moduri:
A = 4 × (11 + 5); B = –3 × (5 + 9); C = –4 × (–6 + 9); D = 10 ×(–8 – 31).
8. Calculează: a) A = 6a – 10b + 18c, știind că 3a – 5b + 9c = –7;
b) B = 4x + 16y – 28z, știind că x + 4y – 7z = 8.
9. Determină perechile de numere întregi al căror produs este: a) 6; b) –12; c) 15.
10. Determină semnul produsului a cincisprezece factori nenuli, știind că: a) toți factorii sunt numere
întregi negative; b) exact șapte factori sunt numere întregi negative; c) exact nouă factori sunt numere
întregi pozitive.
11. Determină semnul produsului de factori nenuli, știind că numărul factorilor negativi este dublul
numărului factorilor pozitivi.
12. Scrie 11 multipli ai lui – 2, dintre care 5 să fie negativi.
A = + ×+ ( 9 7 ) ( ) B = + ×+ ( )( ) 6 13 C = (- ×+ 14 4 ) ( ) D = + ×- ( )( ) 21 3
E = - ×+ ( )( ) 8 12 F =- ×- ( 16 5 ) ( ) G = - ×- ( 4 32 ) ( ) H = - ×+ ( )( ) 4 4
I = - ×- ( )( ) 4 4 J = + ×+ ( 13 13 ) ( ) K = - ×- ( 13 13 ) ( )
A = ×+ 5 3 ( ) B =+ × ( ) 11 4 C = 7 5× D =- × 4 6
E = ×- 15 4 ( ) F = ×- 2 9 ( ) G = - × 14 6 H =- × - 3 8 ( )
I =- × - 25 2 ( ) J = × 134 1 K = 325 1 × -( ) L = × 2000 0
M =- × 2000 0
a b c
5 – 2 – 13
– 9 6 – 10
– 6 – 2 – 3
4 – 8 5
– 5 4 6
0 – 12 5
81
Câtul lui 0 și orice număr întreg nenul este egal cu 0.
A1. Dreptunghiul din desenul alăturat are aria de 12 cm2
.
a) Calculați lățimea dreptunghiului, dacă lungimea sa este de 4 cm;
b) Folosind rezultatul de la punctul a), unde s-a aflat unul dintre
factori, cunoscând produsul și celălalt factor, finalizați împărțirea
(+12) : (+4) = (|+12| : |+4|) = + (12 : 4).
A2. Dacă (+4) ∙ (–3) = –12, atunci (–12) : (–3) = +4.
Adică (–12) : (–3) = +(|–12| : |–3|) = +(12 : 3) = +4. Enunțați o
regulă de calcul a câtului a două numere întregi cu același semn, folosind rezultatele anterioare.
A3. O datorie de 12 € se împarte în mod egal între 3
elevi. Calculați și scrieți, cu semn, datoria unuia dintre
cei trei elevi. Finalizați împărțirea (–12) : (+3) =
–(|–12| : |+3|) = – (12 : 3) și enunțați o regulă de calcul
a câtului a două numere întregi de semne contrare.
1. Câtul a două numere întregi, când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului, este tot un
număr întreg.
Exemple: a) ; b) .
Exemple: a) ; b) .
Exemple: a) ; b) .
Observații: a) Împărțirea la 0 nu are sens. b) a : 1 = a, oricare ar fi a ΢ .
c) , oricare ar fi a ΢ .
( )( ) ( ) + + =+ =+ 18 : 9 18:9 2 (-24 : 2 24:2 12 ) (- =+ =+ ) ( )
(+ - =- =- 54 : 6 54:6 9 ) ( ) ( ) (-56 : 7 56:7 8 ) (+ =- =- ) ( )
0: 5 0 ( ) + = 0: 11 0 (- =)
a a : 1 ( ) - =-
Câtul a două numere întregi cu același semn este egal cu câtul modulelor lor, precedat
de semnul „+”
Câtul a două numere întregi cu semne contrare este egal cu câtul modulelor lor, precedat
de semnul „–”
LECȚIA 5. Împărțirea numerelor întregi
82
Exemple: a) ;
b) .
Observație:
Mulțimea divizorilor unui număr întreg a este formată din reuniunea mulțimii divizorilor
naturali ai lui a cu mulțimea opușilor acestora.
Exemplu: Mulțimea divizorilor lui – 6 este ={ }.
1. Să calculăm câturile împărțirii numărului întreg –16 la fiecare dintre cei 10 divizori ai săi.
2. Să stabilim dacă:
a) Orice număr întreg admite cel puțin doi divizori diferiți;
b) Dacă numărul natural a divide numărul natural b, atunci opusul lui b admite ca divizori cel puțin
pe a și pe –a.
1. Determinați numărul întreg x, știind că xy xz × - × =-96 și y – z = – 6.
Rezolvare: Observând că x este factor comun termenilor diferenței xy xz ×-× , scriem:
xy xz x y z ×-×=× - ( ). Adică . Apoi prin înlocuirea lui x – y cu –6, obținem
. De unde ; .
2. Determinați numărul întreg care, înmulțit cu – 21, este egal cu cel mai mic număr întreg
negativ, alcătuit din trei cifre distincte.
Rezolvare: Cel mai mic număr întreg negativ alcătuit din trei cifre distincte este – 987.
Numărul cerut este .
é- + + ù - = - - + + - ( ) 45 60 : 15 45 : 15 60 : 15 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ë û
é- - + ù + = - + - + + ( ) 28 56 : 14 28 : 14 56 : 14 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ë û
D6 ± ± ± ±6,3,2,1
xyz × - =- ( ) 96
x× - =- ( 6 96 ) x =- - 96 : 6 ( ) x =16
( )( ) - -= 987 : 21 47
2. (a ± b) : c = a : c ± b : c, oricare ar fi , a, b multipli ai lui c.
Un număr întreg este prim dacă are ca divizori naturali numai pe 1 și pe el însuși.
Un număr întreg este prim dacă are ca divizori întregi numai pe 1, –1, pe el însuși și
opusul lui.
83
1. Reprodu și completează tabelul cu liniile a b: și a b:
2. Calculează:
; ; ; ;
; ; ; ;
; .
3. Calculează:
48
4
A - = - ;
108
6
B = - ;
51
17
C - = ;
108
9
D = ;
90
6
E - = ;
64
4
F = - ;
300
25
G - = - .
4. Efectuează împărțirile și compară rapoartele:
a) și ; b) și ; c) și ; d) și ;
e) și ; f) și .
5. Află numărul întreg care, pus în locul literei, face egalitățile adevărate:
a) ; b) ; c) ; d) .
6. Află numărul întreg care face egalitățile adevărate:
a) ; b) ; c) d) ;
e) ; f) ; g) ; h) .
7. Determină numărul întreg x, știind că: a) xy xz × - × =-36 și y z - = 9 ;
b) xy xz × - × =-156 și y z - =-17 ; c) xy xz × -×=187 și y z - = -17 .
8. Scrie mulțimea divizorilor naturali și mulțimea divizorilor întregi ai numerelor:
a) – 14; b) – 15; c) – 18; d) 24; e) – 37; f) – 21; g) – 1; h) 1.
9. Scrie ca produs de puteri de factori primi, numerele:
a) 18; b) – 32; c) – 24; d) – 720; e) 150.
A= 51:17 B = -100: 20 C = - - 108: 6 ( ) D = - 72 : 2 ( )
E = 60:15 F = 0:13 G = - 0 : 207 ( ) H = 347:1
I = - 347 : 1 ( ) J =- - ( ) 135 : 135 ( )
56
8
- 28
4
- 68
-17
68
-34
100
20
-
-
100
20
51
17
51
3
45
15
-
-
15
3
-
-
90
15
- 45
15
-
7 35 × =x - × =- 84 756 y a×- = ( 4 112 ) u × - =- ( 43 774 )
3
9
x = 11
11
y = - 12; 13
z = - - 11
17
a = -
34
1
m = 54
1
n = - - 43
18
u = - 9
89
v = - -
a 15 – 44 – 45 – 90 100 – 108
b – 3 11 – 15 6 100 – 9
84
Modelează următorul scenariu: Pe un fundal galben cu titlul „Întregi”, un personaj spune
„Spune-mi, te rog ! Cât face 24 + 6 ? (unde 24 și 6 sunt aleatorii între –100 și 100, iar
operația de: adunare, înmulțire sau scădere este aleasă aleator). Și așteaptă răspunsul,
urmând comentariul adecvat „Bravo !” sau „Of ! Trebuia …” (urmat de valoarea
corectă).
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. La adunarea oricăror două numere dintre 2, – 2, 4, – 4 nu se poate obține
p) q) r) s)
1 2 – 2 0
2. Diferența dintre care și – 4 este 3?
p) q) r) s)
– 7 7 – 1 1
3. Dacă produsul a trei numere întregi este – 15, atunci
m) n) o) p)
cel puțin unul este
pozitiv
exact unul este
pozitiv
unul este negativ sau
toate sunt negative
unul este pozitiv sau
două sunt pozitive
4. La care împărțire câtul este – 2?
a) b) c) d)
– 8 : (– 4) (– 2) : (– 1) (– 4) : (– 2) 4 : (– 2)
5. Elementul neutru la înmulțirea numerelor întregi este
t) u) v) w)
– 1 1 0 – 0
6. Suma numerelor – 2018 și – 18 este
p) q) r) s)
2036 2000 – 2000 – 2036
7. Produsul celor mai mari 5 numere întregi diferite, mai mici decât 0, este
e) f) g) h)
– 120 120 0 – 1
1 2 3 4 5 6 7

85
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Suma a două numere întregi opuse este … .
2. Diferența dintre cel mai mic număr întreg de două cifre și cel mai mare număr
întreg de o cifră este … .
3. Câtul dintre cel mai mare număr întreg negativ de două cifre și 5 este … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Rezultatul calculului 5 ( 2) 4 ( 1) 3 × - + ×- + [ ] este:
a) – 15; b) 25; c) 5; d) – 25.
2. Numărul divizorilor întregi ai lui 12 este:
a) 8; b) 4; c) 6; d) 12.
3. Valorile întregi ale lui x pentru care (x – 1)| 5 sunt:
a) {– 4, 0, 2, 3}; b) {– 4, 2, 3, 6}; c) {– 4, 0, 2, 6}; d) {0, 2, 5, 6}.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Reprezentați pe axa numerelor punctele A(– 3), B(4), C(– 5), D(2) și E(– 6),
luând ca unitate de măsură 1cm.
2. Comparați numerele x =- + - 15 4 și y =- × -- 15 2 4 .
3. Se dau numerele: a =- ×- - × ( )( ) 7 12 6 18 şi b =- × - ×- () ( ) 5 17 4 12 . Calculaţi
a b - .
86
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Suma numerelor -15 și +7 este … .
2. Produsul numerelor întregi strict negative, mai mari ca -3 este … .
3. Dintre numerele a =- + × - 2 3 ( 4) și b =- - × 2 36 mai mare este … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Rezultatul calculului -+ × 8 25 este:
a) – 2; b) 2; c) –30; d) 30.
2. Cel mai mic divizor întreg al numărului 18 este:
a) –18; b) 18; c) –36; d) –1.
3. Rezultatul calculului ( 22) : ( 2) ( 51) : ( 17) - - -+ - este:
a) –8; b) 8; c) –14; d) 14.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Reprezentați pe axa numerelor punctele A(– 4), B(5), C(– 2), D(3) și E(– 5),
luând ca unitate de măsură 1cm.
2. Comparați numerele x = -- 12 6 2 și y = - +- 37 5 .
3. Efectuați:
a) ( 25) : ( 5) 3 2 3 8: ( 2) ( 2) ( 1) - - - ×- - ×- - -- ×- { } [ ] ;
b) ( 25) : ( 5) 3 2 2 ( 12) : 2 3: ( 1) - - - ×- - × - + - { } [ ] .
87
Unitatea de învățare: Numere întregi 2
A1. Calculați:
a) Aria pătratului cu latura de 3 cm, din desenul alăturat;
b) Puterea a 2–a a lui +3 și a lui –3, folosind definiția puterii cu
exponentul 2 și enunțați o regulă de ridicare a unui număr întreg la o
putere cu exponent număr par.
A2. Calculați:
a) Volumul cubului cu latura de 2 cm, din desenul alăturat;
b) Puterea a 3–a a lui +2 și a lui –2, folosind definiția puterii cu
exponentul 3 și enunțați o regulă de ridicare a unui număr întreg la o
putere cu exponent număr impar.
A3. Finalizați calculul înmulțirii în următoarele două
moduri și răspundeți la întrebarea: „Cum se înmulțesc două puteri cu
aceeași bază?”: a) ( )( ) [ ][ ] 2 3
- ×- = - ×- × - ×- ×- 2 2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ; b) ( )( ) ( ) 2 3 23 22 2 +
- ×- =- .
A.3 Finalizați calculul puterii: ( )
2 3 é ù -2 ë û în următoarele două moduri și răspundeți la întrebarea:
„Cum se ridică o putere la altă putere?”
a) ( ) [ ] [ ]
2 3
2 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) é ù - = - ×- ×- × - ×- ×- ë û ; b) () ()
2 3 32 2 2 × é ù - =- ë û .
Exemple: a) = (–2)∙(–2)∙(–2)= – = –8; b) = (–2)∙(–2)∙(–2)∙(–2) = + = 16;
c) ; d) ; e) 245 0 0 = .
Observații: a) Prin convenție, a0 = 1, unde a Î ℤ*
; b) a1 = a, unde a Î ℤ;
c) 0n
= 0, unde n Î ℕ*
; d) 00 nu are sens; e) 1n
= 1, n Î ℕ.
( )( ) 2 3 -2 2 × -
3 - )2( 3 2 4 - )2( 4 - )2(
( )0 - = 5 1 ( )1 - =- 1345 1345
1. Puterea a n –a numărului întreg nenul a este numărul întreg
LECȚIA 6. Puterea cu exponent număr natural
a unui număr întreg nenul
88
Exemple: 3 3 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 2 0 + = + × + × + =+ > ;
4 4 ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 5 0 - = - × - × - × - =+ > ;
5 5 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 2 0 - = - × - × - × - × - =- < .
3. Reguli de calcul cu puteri
Exemplu Regula de calcul
Oricare ar
fi
,
,
, unde este un
multiplu al lui
1. Să calculăm puterile cu exponenții 1, 2, 3, 4 ai numerelor 2, –2, 3, –3, 4, –4.
2. Să stabilim care sunt negative și care sunt pozitive, dintre următoarele numere:
33
, |– 3|3
, (– 3)3
, –33
, |– 3|4
, (– 3)4
, –34
.
1. Calculați: a) ; b) ; c) ; d) .
Rezolvare. a) Calculăm mai întâi puterile și apoi adunările:
b) Aducem puterile la aceeași bază și apoi calculăm, aplicând regulile de calcul cu puteri:
5 4 6 5 4 6 5 4 6 15 ( 3) 3 ( 3) (3 3 3 ) 3 3 + + - × × - =- × × =- =- ;
c) sau ;
d) .
( )( ) ( ) 34 7 - × - = - =- 2 2 2 128
a b, * ΢
m n Î ¥
m n mn aa a
+ × =
() () ()
2 3 32 6 6 2 2 2 2 64 × é ù - =- =- = = ê ú ë û ( )
n m mn a a × =
() () () () 11 8 11 8 3 2 :2 2 2 8 - - - = - = - =-
( )( ) ( ) ( ) 7 7 7 é- ×+ ù = - ×+ 25 2 5 ë û
: m n mn aa a - =
( )n n n ab a b × = ×
( )( ) ( ) ( ) 7 7 7 é- + ù = - + 10 : 5 10 : 5 ë û ( ) : : n n n ab a b = a
b
( ) () 3 8 2 - + -- 25 1 () () 5 6 4 -3 3: 3 × - ( ) 2
é3 5 × - ù ë û ( )( ) 3 3
- - 9: 3
( ) () 3 8 2 - + - - =- + - = 2 5 1 8 25 1 16;
() ( ) 2 2
é ù 3 5 15 225 ×- =- = ë û () () 2 2 2 é ù 3 5 3 5 9 25 225 ×- = ×- = × = ë û
( ) ( ) ( )( ) 3 3 3 3 - - =- - = = 9 : 3 9 : 3 3 27 é ù ë û
2. Semnul puterii unui număr întreg
Dacă , atunci ;
Dacă , atunci
89
2. Comparați puterile, fără a efectua calculele:
a) și ; b) și ; c) și ; d) și .
Rezolvare: a) , iar . Comparăm modulele numerelor, astfel 11 7 3 3 > și
aplicăm regula de comparare a două numere negative, de unde rezultă 11 7 -3 3 < - .
b) , iar , deci ; c) , deci ;
d) este negativ, iar este pozitiv, deci .
1. Scrie produsul ca putere cu exponent număr natural și identifică baza și exponentul:
a) 7 × 7 × 7 × 7 ; b) (–5) × (–5) × (–5) × (–5); c) 4 × 4; d) (–6) × ; e)
2. Scrie sub formă de produs cu factori egali: a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
3. Calculează puterile cu exponent număr natural:
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ;
i) ; j) ; k) ; l) ; m) ; n) ; o) ; p) .
4. Copiază și completează spațiul punctat pentru a obține egalități adevărate:
a) ; b) ; c) ; d) ;e)
5. Calculează: ; ; ; ;
; ;
; ; .
6. Calculează:
12 10 A=9 :9 ; 34 32 B =- - ( 5) : ( 5) ;
2 C = ( 11) : ( 11) - - ; 15 13 D =- - 7 :( 7) ; 8 6 E = - 4 : ( 4) ;
5 4 F =- - 8 : ( 8) ;
4 2 G= -12 :12 ; 3 H = ( 11) : ( 11) - - ; 152 I = -( 1) :1.
7. Calculează:
3 2 10 9 7 A = - ×- - - é ù ( 3) ( 3) : ( 3) : ( 3) ë û ; 59 8 4 B = - ×- - - 7 ( 7) : ( 7) : ( 7) ;
7 12 15 2 C = ×- - - é ù 2 ( 2) : ( 2) : ( 2) ë û ;
24 12 2 12 D = ×- - - é ù 3 ( 3) : ( 3) : ( 9) ë û ;
45 5 5 6 E = ×- - é ù 2 ( 4) : ( 8) : 2 ë û ;
7 10 7 20 10 F = ×- - - é ù 5 ( 25) : ( 5) : ( 25) ë û .
8. Compară puterile fără a efectua calculele:
a) și ; b) și ; c) și ; d) și ; e) și ;
f) și ; g) și ; h) și ; i) și ; j) și .
( )11
-3 ( )7
-3 ( )5
-9 ( )4
-9 ( )5
-7 ( )5
-8 ( )3
-11 3 9
( )11 11 - =- 3 3 ( )7 7 - =- 3 3
( )5 5 - =- < 9 90 ( )4 4 - => 9 90 () () 5 4
-9 9 < - -7 8 > - () () 5 5
- >- 7 8
( )3
-11 3 9 ( )3 3 -11 9 <
(-6666 )×- ×- ×- ( ) ( ) ( ) 333333 ×××××
( )4
-2 3 9 ( )2
-12 ( )3
-8 5 4
3 2 2 3 ( )4
-2 ( )2
-3 ( )3
-5 ( )5
-4 ( )3
-7 2 12
2 11 ( )2
-15 2 13 2 25 5 0 ( )2
-14 31 1 0 35
5 4 ... 33 3 × = 3 6 ... 55 5 × = ( )( ) ( ) 2 ...
-333 ×- = - 5 0 ... 44 4 × = ( )( ) ( ) 3 2 ...
- ×- = - 88 8
2 A = × 4 4 ( )( ) 3 3 B = - ×- 2 2 2 3 C = 3 3× ( )( ) 2 3 D = - ×- 10 10
( )( )2
E = - ×- 7 7 ()() 13 12 F = - ×- 1 1
( )( ) 2 3 G = - ×- 5 5 2 H =- × 2 2 ( )2
I = -×- 3 3
7 5 9 5 25 3 12 3 ( )9
-2 ( )5
-2 ( )3
-13 ( )2
-13 7 4 7 8
( )3
-4 ( )3
-2 ( )5
-3 ( )5
-4 ( )4
-2 4 2 ( )5
-3 5 3 ( )4
-3 4 2
90
A1. Amintindu-vă că într-un exercițiu fără paranteze (de calcul), se efectuează mai întâi
ridicările la putere, apoi înmulțirile și împărțirile și în final, adunările și scăderile, calculați:
A = (–51) + (+17) – (+6) – (–40), B = 45 – 14 + 5 – 6 – 10,
C = (+2) × (–5) × (–4), D = 36 : (–2) : (–9),
E = (–18) × (–2) : 9, F = 27 : (–9) × (–3),
G = –8 + (–4) × (+3), H = 5 × (–2) – (–3) × (–4),
I = 15 : (–3) + (–2) × 4, J = (–2) : (+2) + (–4) × (+5) – (–2)5 + (–1)0
.
A2. Amintindu-vă că, într-un exercițiu cu paranteze, se efectuează mai întâi calculele din
parantezele rotunde, apoi din cele drepte (pătrate) și în final, cele din acolade, calculați:
A = (–13 + 47 – 14) + (32 – 14 – 8), B = [–5 + 14 – (–5 + 14) + 10] – 10,
C = [(–4)×(–11):(–2)]:[–121:(–11)], D={[20:(–4)10:254 + 5}×(–2)2 + (–4)×(–10).
1. Adunarea și scăderea sunt operații de ordinul I, înmulțirea și împărțirea sunt operații de
ordinul al doilea, iar ridicarea la putere este operație de ordinul al III-lea.
Exemple: A= + - - - = - + =- + =- 3 ( 8) ( 4) 3 8 4 5 4 1 sau A = 3 – 8 + 4 = 3 + 4 – 8 = – 1.
, .
Exemple:
3 A = - + - × - + = - + - × - =- + × =- + =- + = ( 2) ( 3) ( 4) : ( 6) ( 2) ( 3) ( 64) : 6 2 3 64: 6 2 192 : 6 2 32 30
3 B =- + - × + + - - =- - + - - =- + =- 7 ( 2) ( 4) ( 48) : ( 2) 7 8 ( 48) : ( 8) 15 6 9 .
B =- ×- = = ( )( ) 2 9 :6 18:6 12 C = 48: 8 2 6 2 12 (- × - =- × - = ) ( ) ( )
Operațiile de același ordin se efectuează în ordinea în care sunt scrise,
aplicând proprietățile acestora, atunci când este cazul.
Într-un exercițiu fără paranteze și cu operații de ordine diferite,
se efectuează întâi operațiile de ordinul al III–lea, apoi operațiile de ordinul al II–lea și, în
final, operațiile de ordinul I.
LECȚIA 7. Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor
91
Exemple: A = × - + × - - - - = × - + + + = × - + =- 3 17 2 3 ( 5) ( 17) 3 ( 17 6 5) 17 3 ( 6) 17 1 [ ] ;
B =- × + × - - × - =- × + × - =- × + × - =- × - = 10 1 2 1 ( 2) ( 3) 10 1 2 (1 6) 10 1 2 ( 5) 10 ( 9) 90 { } [ ] [ ][ ] .
Observații:
Exemplu: .
Exemple: a) +(–3) + (+5); b) + - + + + - + - =- + - - ( ) ( 3) ( 7) ( 5) ( 6) 3 7 5 6 .
Exemple: a) ; b) .
1. Să calculăm repede (–2 + 3) : (3 – 1 – 1) – (2 – 3) : (3 – 1 – 1) + 2.
2. Să mai calculăm produsul dintre numerele
a = 3 – 3:3 + 3×3 – 3 + 3 și b = 2 – 2:2 + 2×2 – 2 + 2.
3. Să punem parantezele lipsă în toate modurile posibile și să calculăm
[–2 + (3 – 5 + 4×4 – 2 + 3 + 1.
S =- + + - + - + = - + - + + - = - =- 5 17 14 23 5 14 3 5 5 14 14 17 3 23 20 23 3 ( ) ( ) ( )
-- -+ = - ( )( ) 7 3 73 -(3 4 11 23 3 4 11 23 - + - =- + - + )
2. Dacă un exercițiu conține paranteze, se efectuează mai întâi operațiile din parantezele
rotunde, apoi operațiile din parantezele drepte și, în final, operațiile din acolade. Pe
parcursul efectuării calculelor, parantezele drepte se transformă în paranteze rotunde și
acoladele în paranteze drepte. Operația se repetă până la dispariția tuturor parantezelor.
1. Într–o sumă de numere întregi ordinea termenilor se poate schimba, fără ca suma să se
schimbe. Astfel, pentru simplificarea calculelor se pot face următoarele grupări de termeni:
§ gruparea termenilor opuși (dacă există);
§ gruparea termenilor pozitivi și efectuarea calculelor cu aceștia;
§ gruparea termenilor negativi și efectuarea calculelor cu aceștia.
2. Dacă în fața unei paranteze care conține un număr întreg sau o sumă algebrică de numere
întregi se află semnul „+”, acesta și parantezele se pot elimina, scriind termenii din paranteze
cu semnele lor.
3. Dacă în fața unei paranteze care conține un număr întreg sau o succesiune de adunări și
de scăderi de numere întregi se află semnul „–”, acesta și parantezele se pot elimina, scriind
termenii din paranteze cu semn contrar.
92
1. Calculați: .
Rezolvare: Se efectuează înmulțirea și apoi scăderea din paranteza rotundă:
a = –5 – 10×[243 – 10×(23 – 2×3)] = –5 – 10×[243 – 10×(23 – 6)] = –5 – 10∙(243 – 10∙17);
Se efectuează înmulțirea și apoi scăderea din paranteza rotundă obținută din paranteza dreaptă:
a = –5 – 10∙(243 – 170) = –5 – 10∙73;
Se efectuează înmulțirea și apoi adunarea celor doi termeni negativi: a = –5 – 730 = –735.
2. Calculați:
2 92 3 5 4 6 3 3 4 b =- - ×- +- ×- - + × ( 2 ) : ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) : ( 2) 2 2: 2 é ù ë û .
Rezolvare: Se efectuează ridicarea la putere a deîmpărțitului și paranteza dreaptă de la primul termen,
operațiile cu puteri cu aceeași bază de la al doilea și de la al treilea termen și, în final, adunările și scăderile:
18 16 7 0 2 7 b = - - + - + = - - + = - + =- ( 2) : ( 2) ( 2) 2 ( 2) 2 1 4 128 1 123
Calculează:
1. a) –17 + 23 + 15 – 33 + 12; b) 76 – 105 + 24 – 8 – 7;
c) –211 + 101 + 110 – 25; d) 136 – 128 – 8 – 12 + 13.
2. a) –(–54 + 21) + (–19 + 21) – (54 + 17) + 2; b) –(–7 + 15 – 67) + (–67 – 7 + 15) + 10;
c) [–9 + 13 – (–9 + 13 – 10)] – (–7 + 17); d) (–11 + 37 – 42) + (–37 + 45 + 11) – 5.
3. a) 101 – [43 – (11 – 8) + 61]; b) [–12 – (17 – 15) + 4] + 10;
c) –21 + [–57 – (–39 + 5 – 18)] + 26; d) –14–{–41–[–17 + 8 –(15 – 9)] + 27} + 13.
4. a) |7 – 5| + 19 + |21 – 29| – 8; b) –|–13 – 2| + |2 – 7| + |–10|;
c) ||9 – 11| – |–1 + 16|| + |–13|; d) (–17 + 5) + |2 – 14| + |–34| – 34.
5. a) (–4) × (–2) × (–10) : [120 : (–3)]; b) [–9 × 4 × (–6)] : [(–1) × (–3)] ;
c) [(–6) × 27 : (–9)] : (–18) × 9; d) [(–6) × (–11) × (–1)] : [(–121) : 11 × 3].
6. a) –7×(–11 + 6) – [3×(–4)×(–2)] – 11; b) –2×(–1) + 6×(–2) + 50:(–5);
c) –40:{[(–7 – 3×4):(–19) + 4] + 5} + 4; d) [|8 – 3×|–2|| + |13 – 5×|–2||]:|–5|.
7. a) 423 ( 3) 5 2 10 - +-× ; b) [ ] 3 2 2 2 é ù ( 2) : ( 8) ( 2) 5 - - +-× ë û ;
c) 2 2 6 3 100 2 ( 2) 4 : ( 2) ( 3) 25 1 ( 5) - × - -- - × -- ; d)
4 0 3 3 5 3 23 é ù é ùé ù ( 27) : ( 3) ( 9) : ( 81) : 3 - - ×- - ë û ë ûë û
8. a) {[ ] } 10 2 24 2 2 2 5 4 : ( 4) : (5 ) 6 ( 2) ( 3 ) × - - × - -- é ù ë û ;
b) { } 0 225 0 3 15 ( 3) ( 5) ( 2) : ( 11) 1 9 : ( 2) - - +- -- - ×+ - é ù ë û ;
c) 36 106 54 106 48 23 é ù ( 8) : 2 ( 9) :3 ( 5) : 25 : 2 3 - +- +- × ë û .
a =- - × - × - × 5 10 243 10 23 2 3 é ù ( ) ë û
93
A1. Pe fiecare taler al
balanței în echilibru din
imaginea alăturată se află 4
bile de aceeași greutate.
Stabiliți dacă balanța rămâne
în echilibru când:
a) Adăugăm câte 1 bilă de
aceeași greutate în fiecare taler;
b) Luăm câte 1 bilă de pe fiecare taler;
c) Triplăm numărul de bile de pe fiecare taler, bilele
adăugate fiind identice cu cele inițiale.
d) Înjumătățim numărul de bile de pe fiecare taler.
A2. Bilele galbene au
câte 100 g, iar cele roșii
câte 150 g.
Stabiliți dacă balanța
rămâne la fel înclinată
când:
a) Adăugăm câte o bilă de 75 g pe fiecare taler;
b) Luăm câte o bilă galbenă de pe fiecare taler;
c) Dublăm numărul de bile galbene și pe cel de
bile roșii de pe fiecare taler;
d) Înjumătățim numărul de bile galbene și pe
cel de bile roșii de pe fiecare taler.
▪ Dacă adunăm sau scădem același număr întreg la ambii membri ai unei egalități
(inegalități) de numere întregi, atunci egalitatea (inegalitatea) se păstrează.
▪ Dacă înmulțim cu același număr întreg (pozitiv) ambii membri ai unei egalități
(inegalități) de numere întregi, atunci egalitatea (inegalitatea) se păstrează.
▪ Dacă împărțim cu același divizor comun (pozitiv) ambii membri ai unei egalități
(inegalități) de numere întregi, atunci egalitatea (inegalitatea) se păstrează.
▪ Dacă înmulțim sau împărțim ambii membri ai unei inegalități cu un număr negativ nenul,
inegalitatea își schimbă sensul.
LECȚIA 8. Ecuații și inecuații în mulțimea numerelor întregi
94
Exemple:
x + 2 = – 7| – 2
x + 2 – 2 = – 7 – 2
x = – 9
S = { – 9}

– 2 – x = 1| + 2
– 2 + 2 – x = 1 + 2
– x = 3| × (– 1)
x = – 3
S = {– 3}
– 3 × x = 15| : (– 3)
– 3 × x : (– 3) = 15 : (– 3)
x = – 5
S = {– 5}
|x| = 3
Punctul care are
coordonata pe axa
numerelor, se află la distanța
3 de origine.
Dacă P este în dreapta
originii, atunci x = 3.
Dacă P se află în stânga
originii, atunci x = – 3.
S = {± 3}
x : 7 = – 2| × 7
x : 7 × 7 = – 2 × 7
x = – 14
S = {– 14}
12 : x = – 3, x ¹ 0
x = 12 : (– 3)
x = – 4
S = {– 4}
7 × x + 4 = 25| – 4
7 × x = 21| : 7
x = 3
S = {3}
Observație: Dacă înlocuim în egalitățile de la punctul 2. semnul „ ” cu unul dintre semnele „>”,
„³”, „<”, „£” obținem alte exemple de inecuații.
1. Să stabilim care dintre elementele mulțimii {–2, –3, –1, 2, 3, 0} este soluție a ecuațiilor:
2 – x = 4; 4 – x = 2; 2x = 4; 4x = 2; 2x + 4 = 2; 2x – 4 = 2.
P
x
=
2. Egalitățile de forma:
§ x ± a = b; ▪ a : x = b (a multiplu de b);
§ a – x = b; ▪ a × x ± b = c (a divizor al lui c ∓ b);
§ a × x = b; ▪ x : a ± b = c (a ¹ 0);
§ x : a = b (a ¹ 0); ▪ |x| = a
se numesc ecuații cu necunoscuta x.
Valorile lui x care verifică egalitatea formează soluția ecuației.
3. Două ecuații cu aceeași soluție se numesc ecuații echivalente.
4. Prin rezolvarea unei ecuații în mulțimea numerelor întregi, înțelegem determinarea mulțimii
tuturor soluțiilor întregi ale acesteia.
5. Inegalitățile
▪ x + a > b; ▪ x + a ³ b; ▪ x + a < b; ▪ x + a £ b,
se numesc inecuații cu necunoscuta x.
O valoare a lui x pentru care inegalitatea este verificată se numește soluție a inecuației corespunzătoare.
6. Prin rezolvarea unei inecuații în mulțimea numerelor întregi, înțelegem determinarea
mulțimii tuturor soluțiilor întregi ale acesteia.
95
2. Să stabilim care dintre elementele mulțimii {–2, –3, –1, 2, 3, 0} este soluție a inecuațiilor:
2 – x < 4; 4 – x > 2; 2x ³ 4; 4x £ 2.
1. Rezolvați în mulțimea ℤ ecuațiile: a) 3x + 4x – 3 = – 17 ; b) 3x + 5 = 2x – 6 ; c) .
Rezolvare: a) 3x + 4x – 3 = – 17 ⇔ 7x – 3 = – 17 + 3 ⇔ 7x = – 14 : 7 ⇔ x = – 2 Î ℤ.
Verificăm rezultatul obținut prin înlocuirea necunoscutei x cu – 2 în ecuația dată și obținem egalitatea
adevărată. Deci .
b) 3x + 5 = 2x – 6 ⇔ 3x – 2x = – 6 – 5 ⇔ x = – 11Î ℤ. Verificăm rezultatul obținut prin înlocuirea
necunoscutei x cu – 11 în ecuația dată și obținem egalitatea adevărată. Deci
S = -{ 11}.
c) 2 × |x| = 4| : 2 ⇔ |x| = 2 ⇔ x = 2 Î ℤ sau x = – 2 Î ℤ. Verificăm rezultatul prin înlocuirea lui x cu 2,
respectiv cu – 2 în ecuația dată și obținem egalitatea adevărată, deci .
2. Rezolvați în mulțimea ℤ inecuațiile: a) 1 1
3
x - > ; b) 2x < 1.
Rezolvare: a) 1 1 1 |1 1 3 3
x x -> +Û >+ și x Î ℤ, deci x Î {2, 3, 4, ...};
b) 2x < 1| : 2 ⇔ x < 1
2 și x Î ℤ, deci x Î {..., – 3; – 2; – 1; 0}.
1. Precizează care dintre egalitățile următoare sunt ecuații:
a) –x + 35 = 7; b) 13 + 2x = – 27; c) 2x – 1 = 5 = x + 9; d) x2
– 4 = 0;
e) 9 – 3 = 3 = 2x – 7.
2. Răspunde cu DA sau NU:
a) ecuația are soluția – 5; b) ecuația are soluția 18;
c) ecuația are soluția 2; d) ecuația are soluția 13.
3. Precizează dacă ecuațiile din perechile următoare sunt echivalente:
a) și ; b) și ;
c) și ; d) și ;
e) și x = – 8,
4. Rezolvă în mulțimea ℤ ecuațiile:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) ;
i) ; j) ; k) ; l) .
2 4 x =
3 2 4 2 3 17 × - + × - - =- () () S = {-2}
3 11 5 2 11 6 ×(- + = ×- - ) ( )
224 × ± = S = -{ 2, 2}
-+= 2 10 0 x x-23 4 = -
2 3 12 x × - =- ( ) x :6 7 (- ) =
-+ = x 21 7 x =14 11 2 - x = x = 9
3 35 1 x- = x = -12 x :2 9 = x =18
- =- 16: 2 x
17 1 + =x x + = 39 0 -x - =7 0 - + =- x 12 1
x - = 43 11 12 5 - =x -13 1 + =- x -+ + = x x 23 2
6 5 2 18 +=+ x x -- = + 43 8 x x - (-- + = x 3 2 10 ) 34 1 --= ( x)
96
5. Rezolvă în mulțimea ℤ ecuațiile:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) .
6. Rezolvă în mulțimea ℤ ecuațiile:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) .
7. Rezolvă inecuațiile următoare în mulțimea numerelor întregi:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) .
8. Rezolvă în mulțimea ℤ ecuațiile:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) .
9. Rezolvă în mulțimea ℤ ecuațiile:
a) ; b) ;
c) ; d) .
5 10 x = - 2 - = 3 3 x 3 -6 23 x =- × 23 2 -× = × 27 7 x
2 - × =- 23 6x ( ) 2 3 15 + =- x (79 84 10 - ) x = -
2 31 x- = 53 1 - =- x 13 3 4 = x - -= - 27 6 3 x
5 8 4 39 ( ) x x -= - -+ + = 4 3 5 10 ( ) x 2 13 4 ( x x - ) = + ( )
x+ ³ 11 7 x- £3 1 7 4 - x < 2 8 x £ -
- x = 7 x - = 5 1 x - 3 11 =
- += 3 2 18 x x + ×- + = 2 5 61 ( )
217 5 +- - = é ù ( x) ë û é ù ( x x + 3 4 8 11 ) - -+ = ë û
é ù ( )( ) 3 12 : 3 5 9 x x - -+ += ë û é ù -7 2 2 1 : 5 9 10 + - + - - += ( x x ) ( ) ë û
97
A1.Un tensiometru, împreună cu bateria sa, costă 155 lei, iar tensiometrul este cu 135 lei mai
scump decât bateria. Determinați prețul bateriei și prețul tensiometrului prin următoarele
procedee:
a) Folosind reprezentarea prin segmente, dată;
b) Notați cu x prețul în lei al bateriei, exprimați prețul
tensiometrului în funcție de prețul bateriei, formați
ecuația prin care se exprimă problema în limbaj
matematic, rezolvați ecuația și formulați răspunsul. În
final, verificați prețurile obținute.
A2. Trei numere naturale consecutive au suma mai mică decât 19. Determinați cele trei numere,
parcurgând următorii pași:
a) Notați cu x numărul cel mai mic și exprimați următoarele două numere cu ajutorul lui;
b) Formați inecuația prin care se exprimă problema în limbaj matematic și rezolvați această inecuație;
c) Formulați răspunsul;
d) Verificați rezultatele obținute;
e) Stabiliți ce altă necunoscută ar fi putut fi notată cu x și rezolvați problema în acest caz;
f) Rezolvați problema și prin alte metode studiate (figurativă, încercări etc).
Etapele rezolvării problemelor cu ajutorul ecuațiilor (inecuațiilor) sunt următoarele:
LECȚIA 9. Probleme care se rezolvă cu ecuații/inecuații
în contextul numerelor întregi
1. Identificarea datelor cunoscute și a celor necunoscute din enunțul problemei.
2. Stabilirea necunoscutei (notată de regulă cu x) și exprimarea celorlalte necunoscute (dacă
există) cu ajutorul acesteia.
3. Formarea ecuației / inecuației care transcrie problema în limbaj matematic.
4. Rezolvarea ecuației / inecuației.
5. Interpretarea soluției / soluțiilor și formularea răspunsului la problemă.
6. Verificarea soluțiilor obținute în forma inițială (neprelucrată) a problemei.
98
Exemplu:
Am cumpărat de la magazin bomboane,
napolitane şi suc și am plătit în total 123 lei.
Napolitanele au fost cu 9 lei mai ieftine decât
dublul cantităţii de bomboane, iar sucul a fost cu
6 lei mai scump decât triplul cantităţii de bomboane. Cât a costat fiecare ?
1. Identificarea datelor cunoscute și a celor necunoscute din enunțul problemei.
§ Cunoaștem: costul total și preţurile napolitanelor şi sucului, comparativ cu preţul
bomboanelor.
2. Stabilirea necunoscutei (notată de regulă cu x) și exprimarea celorlalte necunoscute (dacă
există) cu ajutorul acesteia.
§ Notăm cu x prețul bomboanelor. Atunci preţul napolitanelor, fiind cu 9 mai mic față de dublul
preţului bomboanelor, este 2x – 9, iar preţul sucului, fiind mai mare cu 6 decât triplul preţului
bomboanelor, este 3x + 6.
3. Formarea ecuației / inecuației care transcrie problema în limbaj matematic.
§ Suma totală fiind 123, deducem că x + (2x – 9) + (3x + 6) = 123.
4. Rezolvarea ecuației / inecuației.
§ x + 2x – 9 + 3x + 6 = 123 ⇔ 6x – 3 = 123 ⇔ 6x = 126 și x = 21.
5. Interpretarea soluției / soluțiilor și formularea răspunsului la problemă.
§ Bomboanele au costat 21 lei, napolitanele 2 21 – 9 = 42 – 9 = 33 lei, iar sucul 3 21 + 6 =
63 + 6 = 69 lei.
6. Verificarea soluțiilor obținute în forma inițială (neprelucrată) a problemei.
§ Calculăm suma totală: 21 + 33 + 69 = 33 + 90 = 123. Deci costurile determinate sunt corecte.
Avem de rezolvat problema: „Clubul de teatru percepe o taxă de intrare la spectacol de
4€ pentru fiecare elev. Clubul s-a împrumutat de la părinți cu 400€ pentru costume, sală
și consumabile. După spectacol, a înapoiat părinților împrumutul și a rămas cu 100€. Câți
spectatori au fost la spectacol ?” Să stabilim datele cunoscute, cele necunoscute,
necunoscuta care se notează cu x, ecuaţia. Rezolvăm ecuaţia şi interpretăm soluţia.
1. Aflați două numere întregi, știind că unul este triplul celuilalt, iar suma lor este egală cu –36.
Rezolvare: Dacă notăm unul dintre numere cu x, celălalt este 3 × x, obținem ecuația
x + 3 × x = – 36. De aici, adunând 2 în fiecare termen, avem 4 × x = – 36. Deci un număr este x
= – 36 : 4 = – 9, iar celălalt este – 9 × 3 = – 27. Într-adevăr, – 9 + 3 × (– 9) = – 36.
× ×
99
2. Dacă din produsul dintre un număr întreg și 3 scădem 2, obținem un număr cuprins între –8
și 7. Aflați numerele întregi care verifică această condiție.
Rezolvare: Notând cu x numărul întreg necunoscut, condiția din enunț se scrie sub forma:
– 8 < 3 × x – 2 < 7. De aici, deducem că ‒ 8 + 2 < 3 · x < 7 + 2 – 6 < 3 × x < 9 și – 2 < x < 3. Deci
x Î {– 1, 0, 1, 2}.
1. Suma dintre un număr întreg și 130 este –15. Determină numărul întreg.
2. Diferența dintre 59 și un număr întreg este 19. Determină numărul întreg.
3. Produsul dintre un număr întreg și –7 este 56. Determină numărul întreg.
4. Câtul dintre un număr întreg și 8 este –3. Determină numărul întreg.
5. Află numerele întregi negative care, adunate cu 3, dau cel puțin –1.
6. Află numerele întregi pozitive din care, dacă se scade 5, se obține cel mult 2.
7. Dacă dublul unui număr întreg se adună cu 3, se obține un număr cuprins între –5 și 5. Află
aceste numere.
8. Află numerele întregi al căror modul este mai mic cu 5 decât 13.
9. Află numerele întregi al căror modul este cu – 5 mai mic decât –2.
10. Află numerele întregi al căror modul este cu 3 mai mare decât 7.
11. Determină cel mai mare număr întreg negativ care, prin împărțire la 5 și la 7, dă restul 1.
12. Media aritmetică a numerelor 2, x, –6 și 8 este 2. Află numărul întreg x.
13. Media aritmetică a trei numere întregi este 4. Află unul dintre numere, știind că media
aritmetică a celorlalte două este –2.
14. Află numărul întreg care, adunat la numerele 15, 21 și 18, face ca media lor aritmetică să
se mărească cu 2.
15. Dacă în fiecare bancă a unei clase se așază câte 2 elevi rămân 3 elevi în picioare, iar dacă
se așază câte 3 elevi într-o bancă rămân 4 bănci libere. Câte bănci și câți elevi sunt în clasă?
16. Un bilet la cinema costă 18 lei, iar un bilet la teatru 45 lei. Află câte bilete la teatru se pot
cumpăra cu suma plătită pentru 5 bilete de cinema.
17. Suma a trei numere întregi impare consecutive este –33. Află cele trei numere.
Modelează următorul scenariu: Pe un fundal verde cu titlul „Numere consecutive”, un
personaj spune „Spune-mi, te rog ! Trei numere întregi consecutive care au suma 48 (unde
48 este ales aleatoriu până la 1000). Și așteaptă răspunsul (listă cu separatorul virgulă),
urmând comentariul adecvat „Bravo !” sau „Of ! Trebuia …” (urmat de valoarea corectă,
la noi ar fi 15,16,17).
100
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. Rezultatul calculului – 2 – 4 × 2 este diferit de
o) p) q) r)
– 10 : (–2) – 5 – 10 : 2 – 5 – 2 – 4 – 4 – 10
2. Nu este soluție a ecuației (x – 1)( x + 2)( x – 2) = 0
p) q) r) s)
2 1 – 2 – 1
3. Produsul a trei întregi consecutive este – 120. Cel mai mare este
c) d) e) f)
– 5 – 4 – 6 – 3
4. Produsul a patru numere întregi diferite este 6. Cel mai mare este
i) j) k) l)
– 3 – 6 2 1
5. Produsul a cinci numere întregi diferite nu poate fi
l) t) m) n)
– 14 – 15 – 16 – 17
6. Selectați egalitatea adevărată
b) c) d) e)
1–2–3=(1–2)+3 1–(2–3)=(1–2)–3 1–(2+3)=(1–2)+3 1–(2–3)=(1–2)+3
7. Inecuația |x + 1| < 4 are un număr de soluții egal cu
a) b) c) d)
7 6 4 3
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, în spațiile punctate scrie cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Valoarea de adevăr a enunțului „ecuația -2 57 x + = are soluția x = -1 ” este …
2. Numărul de elemente ale mulțimii M xx x =Σ { | ,| | 2} ¢ este egal cu … .
3. Soluția ecuației 3 17 x - = este … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p 1. Numerele întregi care verifică ecuația sunt:
a) – 2,12; b) ; c) 12; d) – 2.
x -5 7 =
-7,7
1 2 3 4 5 6 7

101
10p
10p
2. Dimineață, termometrul arată C. Cu câte grade a crescut temperatura, dacă
la prânz se înregistrează 1°C?
a) C; b) C; c) C; d) C.
3. Numerele întregi mai mari decât și mai mici decât 1 sunt:
a) ; b) ; c) ; d) .
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Trei numere întregi consecutive au suma egală cu . Determinați cele trei
numere.
2. Determinaţi numerele întregi x, y, astfel încât (x + 3)(y – 1) = 5.
3. Rezolvați în ecuațiile:
a) 3 7 10 x + = ; b) 244 x + =- ; c) 2 ( 5) 20 x× - =- ; d) x:( 8) 7 - = ; e) .
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Soluția întreagă a ecuației este … .
2. Dacă este soluția ecuației atunci este … .
3. Elementele mulțimii sunt … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect. Doar unul dintre cele
patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Mulțimea soluțiilor ecuației este:
a) 2; b) ; c) ; d) .
2. Un ascensor este la nivelul , de unde urcă la nivelul 6. Câte etaje a urcat
ascensorul?
a) 6; b) 8; c) 7; d) 4.
3. Soluția întreagă a ecuației este:
a) – 5; b) 5; c) 0; d) .
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Rezolvați în mulțimea numerelor întregi ecuațiile:
a) ; b) ; c) ; d) .
2. Suma a trei numere întregi consecutive, impare, este – 9. Aflați numerele.
3. Aflați numărul întreg pentru care, dacă mărim dublul său cu – 5 , obținem
același rezultat ca atunci când adunăm numărul cu – 3.
-9o
-8
o 8 o -10o 10o
-3
{--- 3, 2, 1,0,1} {-2, 1- } {- - 2, 1,0} {-2,0}
-24
¢
x = 5
2 16 x = -
x = -2 5 7 x m+ = - m
M xx x = { Î -< - < ¢,5 2 3 1}
2 13 x - =
{-1,2} {1, 2} {-3,3}
-2
3 35 7 x x + = -
2
x + - =- ( ) 9 4 x - =- 3 12 -7 28 x = -108: 18 x = -
102
Teme pentru portofoliu
1. Fie mulțimea . Determină mulțimile:
și x este număr întreg negativ}; și y este număr întreg nenegativ};
și z este număr întreg pozitiv}; și u este număr pozitiv}.
2. În tabelul alăturat sunt înregistrate temperaturile în grade Celsius, la aceeași oră din zi, pentru fiecare zi a săptămânii. Reprezintă pe axa numerelor punctele care au ca abscise valorile temperaturilor înregistrate în tabel.
3. Scrie opusul și, apoi, modulul numerelor: 9, –13, 204, – 37, 0, – 432.
4. Copiază și completează spațiul punctat cu unul dintre simbolurile „<” sau „>” pentru a obține
afirmații adevărate:
a) 42 … 24; b) – 13 … – 31 ; c) – 1 … – 2;
d) – 5 … 0; e) – 34 … – 43; f) 3 … – 1;
g) – 3 … 1; h) 0 … 5; i) 42 ... 41.
5. Se dă mulțimea A = {–24, 23, 21, –22, –23, 22}.
a) Scrie cel mai mic și cel mai mare număr al mulțimii;
b) Indică perechile de numere opuse din mulțime;
c) Ordonează crescător și descrescător numerele din mulțime;
d) Indică numărul din mulțime cel mai apropiat de 0.
6. În tabelul alăturat sunt date temperaturile (în °C ) de lichefiere ale
unor gaze (temperaturile sub care gazul indicat devine lichid).
Scrie aceste gaze în ordinea crescătoare a temperaturilor lor de
lichefiere.
7. Calculează sumele:
A = 4 + 3; B = – 5 + 7; C = – 9 – 3; D = – 25 + 13;
E = 59 – 37; F = – 27 – 14; G = – 35 + 0; H = 0 – 14.
8. Dacă a b + =-23 și c = -9 , calculează .
9. Știind că a bc =- = =- 2, 3, 1, calculează:
a) a ba c a b + - -+ , , ; b) b c aa b c + - -+ , ( ).
10. Calculează .
A =- + + - - { 4; 2; 3;0,(6);0; 5; 205;74;0,37}
B xx A = Î { C yy A ={ Î
D zz A = Î { E uu A ={ Î
a bc + ( + )
1 2 ... 50 1 2 ... 55 + + + +- +- + +- ( ) ( ) ( )
L Ma Mi J V S D
0 2 –1 –4 –2 1 6
Gazul T (în °C )
Argon – 122
Azot – 147
heliu – 268
hidrogen – 240
neon – 229
oxigen – 118
103
11. Completează spațiile punctate, folosind simbolurile „+” sau „ – ” pentru a obține relații
adevărate:
a) 10 … 15 … 1 … = – 4; b) – 5 … 10 … 8 = – 3;
c) 7 … 11 … 20 = – 2; d) 10 … 25 … 3 = – 18;
e) 5 – (… 13 … 9) = –17.
12. Înmulțește numerele 6, – 7, 8 și – 9, două câte două. Câte posibilități sunt?
13. Calculează cu ajutorul factorului comun:
a) – 3 + 5 × (– 3); b) ; c) ;
d) – 5 × 27 = 6 × 27 – 27 ; e) ;
f) 32 × 51 + 47 × 64 – 51 × 23 – 64 × 47; g) .
14. Copiază și completează tabelul alăturat, cu coloanele:
, , , , , .
15. Află numărul întreg care, pus în locul literei, face egalitatea
adevărată:
a) – 756 : x = 9; b) ; c) – 774 : z = – 43;
d) 112 : a = 4; e) 34 : x = 17; f) 0 : u = 0;
g) – 315 : v = 325.
16. Din mulțimea A = {– 7; 9; 13; – 15; – 23; 18; 31}
selectează numerele întregi prime și numerele întregi compuse.
17. Scrie mulțimile, prin enumerarea elementelor:
; ; .
18. Calculează:
; ; ;
; ; ; .
19. Calculează:
I. ; ; ; ; ; ;
( )
2 2 3 G 2 . é ù = ê ú ë û
II. ; ; ; ;
2 E = × (13 0) .
III. ; ; ; .
IV. ; ; ;
-26 2 4 ×- +- ×- ( ) ( ) ( ) 7 14 14 7 × -- × ( )
-23 7 23 9 23 8 × +- ×- -- ×- ( ) ( ) ( )( )
- ×- +- × + ×- -- ×- 15 32 15 5 4 27 11 27 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a : 1 ( ) - a b: a b: a b: a c: (abc + ): abc :( - )
187 : 11 y = -
A = Î {x x ¢ M 6 } B y yy A =Î Î { ¢ M 108 , } C z zz A =Î- Î { ¢ M 144 , }
A= - ( ) 4 8 :2 B =- - + 27: 11 2 ( ) C = (-+ - 38 4 : 19 2 ) ( )
D = - -+ ( )( ) 127 2 : 31 6 57 13
11
E - = -
29 63
29 5
F - = - -
9 4 ( )
4 3
G × - = - ×
( )
3 2 A= 2 ( )
1 2
B = - é ù 3 ë û ( )3 2 C = 10 ( )
13 7
D = - é 1 ù ë û ( )
13 12 E = 0 ( )
0 21 F = - é 5 ù ë û
( ) 3
A = ×- é ù 2 3 ë û ( ) 2
B = é ù - × 3 5 ë û ( ) 3
C = ×- é4 6 ù ë û ( )( ) 2
D = - ×- é 11 12 ù ë û
( )2 3 0 A =- - + 3 25 ( )2 3 B = -- 3 3 () () () 325 2000 12 C =- +- +- 11 1 ( )0 2 D =- + - 7 77
( )( ) 3 2 A = - ×- × 2 35 ( )( ) 2 3 2 B = - ×- × 4 35 ( )3 2 2 C = - ×- × 7 25 ( )( )( )( ) 2334 D = - ×- ×- ×- 3121
–120 –6 2
–80 –16 +4
–144 –12 –1
100 –10 –5
–72 8 –4
a b c
104
V. a) ;
b) ;
c) .
20. Rezolvă în mulțimea ecuațiile:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) ;
i) ; j) ; k) ; l) ;
m) ; n) .
21. Află numărul întreg m, pentru care ecuația cu necunoscuta x are soluția indicată:
a) are soluția 2; b) are soluția 2;
c) are soluția 3; d) are soluția 1.
22. Rezolvă inecuațiile cu necunoscuta număr întreg:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) ;
i) ; j) ; k) ; l) ;
m) ; n) .
23. Completază spațiile punctate pentru a obține inegalități adevărate, oricare ar fi :
a) Dacă , atunci , iar ;
b) Dacă , atunci , iar ;
c) Dacă , atunci , iar .
24. Suma a două numere întregi este 2 și diferența lor este –12. Află cele două numere întregi.
25. Diferența a două numere întregi este 40. Află cele două numere, știind că împărțind numărul
mai mare la cel mai mic se obține câtul 4 și restul 1.
26. În ecuația , x reprezintă un număr întreg. Formulează o problemă care se rezolvă
cu această ecuație.
27. În ecuația , x reprezintă un număr întreg. Formulează o problemă care se rezolvă cu
această ecuație.
28. Se consideră două numere naturale, astfel încât unul este de două ori mai mic decât celălalt.
Află cele două numere, știind că suma lor este cel mult egală cu 15.
29. Se consideră două numere întregi negative, astfel încât unul este produsul dintre celălalt și
4. Află cele două numere, știind că suma lor este cel puțin egală cu –15.
( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 100 101
- +- +- + +- +- 1 1 1 ... 1 1
() () () () () 2 3 4 101 102
- +- +- + +- +- 1 1 1 ... 1 1
() () () () 2 4 6 1000
- +- +- + +- 1 1 1 ... 1
¢
x :5 1= x :7 2 ( ) - = x :1 4 (- ) = x :19 0 =
x : 23 1 = - 8: 2 x = 1: 1 x = - 2 16 ( ) x - =
- - + =- 3 2 12 ( ) x x x + -= 2 30 ( ) 2 43 9 x x -(-- =) xxx +-= 230
3 2 2 1 17 ( ) () x x + =- + - -54 3 8 4 2 3 ( + + - =- - xx x ) ()
x + = 16 m -3 5 x + = m
x m+ = 4 mx-1 1=
2 13 x+ £ - +< 3 28 x
1 4 : 2
5 5
x - £ 1 2 : 1
5 3
x - ³
x : 0,5 3 5 - <
2 1 0,(3) 1 3 3
+ >x -2 38 ( x + £) 2 3 12 x x +->
1 2 > +x 2 3 £ - x ( x - 2 :7 1 ) £ ( )( ) 1 :2 3 - -³ x
4 2
3
x +
£ 1 10 1 2
3 3
x
æ ö ç ÷ + +£ è ø
x΢
x < 2 x+ <3 ... x -2 ... <
x ³ 5 x + ³4 ... x -6 ... ³
x >11 x+ >1 ... x -8 ... >
x+ =3 5
5 45 x =
105
Capitolul 4. MULȚIMEA NUMERELOR RAŢIONALE
Unitatea de învățare: Numere raționale
A1. Din tabelul dar, în care sunt înregistrate temperaturile, pe parcursul unei vizite, în peștera Scărișoara,
remarcăm echivalențele: 21 14 7
15 10 5 = = și 21 14 7
15 10 5
- =- =- .
a) Reprezentați pe axa numerelor temperaturile din tabel, luând ca unitate de măsură 1 cm, ținând seama
că mulțimea fracțiilor echivalente se reprezintă în același punct pe axă și răspundeți la întrebarea: Dacă
mulțimea fracțiilor pozitive echivalente cu o fracție dată determină un număr rațional pozitiv, cum se
numește numărul rațional determinat de mulțimea fracțiilor negative echivalente cu o fracție dată ?
b) Indicați orele la care s-a resimțit cea mai mică, respectiv cea mai mare temperatură.
c) Scrieți temperaturile date de numere raționale opuse și comparați modulele acestora.
Ora 1020 1100 1120 1140 1200 1220 1240 1300 1320
Temperatura
în grade Celsius 2,5 1,4 0 –1,4 –2,5 – –
15
21 7
5 5
7
15
21
1. Mulțimea fracțiilor echivalente cu o fracție dată se numește
număr rațional de reprezentant fracția dată.
2. Oricărui număr rațional îi corespunde un punct unic pe axa
numerelor.
3. Mulțimea numerelor raționale se notează:
; ;
Cum orice număr natural este și număr întreg, iar orice număr
întreg este număr rațional cu numitorul 1, rezultă incluziunile:
.
LECȚIA 1. Număr rațional; mulțimea numerelor raționale
106
Dacă: 11 21 7 31 7; 6, 2; ; ; 3; 1,(3); 0, 2(3);1; ;3;5, 25; ;7 2 4 30 5
A ì ü =- - - - -- - í ý î þ
a) Să reprezentăm elementele mulțimii A, pe axa numerelor;
b) Să scriem perechile de numere opuse din mulțimea A;
c) Să scriem modulele numerelor din mulțimea A;
d) Să ordonăm crescător elementele din A.
1. Aflați a b, ΢, a ≠ – 2 , b ≠ 2 astfel încât fracția 12
( 2)( 2) a b + -
să reprezinte numărul rațional 1,(3).
Rezolvare: Numărul rațional 1,(3) are reprezentantul: 3 4 12 1
93 9 = = , prin urmare este necesar ca
( 2)( 2) 9 a b + -= . Deci ( 2, 2) (9,1);(3,3);(1,9);( 9, 1);( 3, 3);( 1, 9) a b + - Î -- -- -- { } .
În consecință ( ){ a b, (7,3);(1,5);( 1;11);( 11,1);( 5, 1);( 3, 7) Î - - -- -- }.
4. Modulul numărului rațional x este un număr rațional mai mare sau egal cu 0 și
reprezintă distanța de la originea O a axei numerelor la punctul .
Pentru scriem:
5. Două numere raționale care diferă doar prin semn se numesc numere raționale opuse.
Numerele raționale opuse au modulele egale și se reprezintă pe axă, prin două puncte
simetrice față de originea .
6. Dintre două numere raționale diferite, mai mare este cel de pe axă reprezentat mai la
dreapta.
107
2. Ordonați descrescător numerele:
2 2
2 22
64 100 2 3 5353
; ; 3 2 4 5 7171
- ×
× - .
Rezolvare: Simplificăm fracțiile: 2
64 100 36 2
3 2 18
- = - =- × ;
2 2
2 2
2 3 36 4
45 9
× = = - - - ;
5353 53 101 53
7171 71 101 71
× = = × .
Atunci ordinea conduce la .
1. Fie mulțimea 1 8 5;7;0; ;0,3; 1, (3); ;0, 2(3) 2 4
A ì ü =- - - í ý î þ . Scrie mulțimile:
B A = Ç ¥ ; C A = Ç ¢ ; D A = Ǥ- ; E A = Ǥ.
2. Precizează semnul numerelor raționale exprimate prin fracțiile: 33 3 5 5 2
;;; ; ; 4 44 6 6 3
- -- - --- - - -- și apoi
scrie opusele lor.
3. Exprimă, mai simplu, numărul rațional
3
3
7 2 ( 1)
5 ( 2) 4
- - ×-
+ +- + .
4. Fiind date mulțimile și , scrie mulțimea .
5. Scrie toate numerele raționale exprimate prin fracțiile echiunitare care au numărătorul și numitorul cel
puțin egali cu 3 și cel mult egali cu 5.
6. Află numerele naturale x pentru care fracția 8
2x
este: a) supraunitară; b) echiunitară; c) subunitară cu
numitorul mai mic decât 13.
7. Introdu întregii în fracție: 3 2755 2 ; 5 ; 1 ;13 ;21 .
5 7946 - -
8. Scoate întregii din fracție: 3 11 13 27 39 48 79 205
;; ; ; ; ; ; .
2 4 5 11 13 12 23 100 - --
9. Scrie toate fracțiile de forma 2
15
x , ireductibile. Aceeași cerință pentru: 3 12
; ;; 20 12 4 3
x xx x
x x - - .
10. Știind că 1
3
din suprafața unui dreptunghi este colorată în roșu, 2
6
din suprafață este colorată în galben
și 3
9
din suprafața acestuia este colorată în albastru, compară suprafețele colorate în cele trei culori.
53 4 2
71
- <- < 2 2
2 22
5353 64 100 2 3
7171 3 2 4 5
- × > > × -
A={3,5,7} B =± ± { 10, 1,0} , a C a Ab B
b
ì ü
= ÎÎ í ý î þ
108
A1. Pentru a efectua adunarea , Emil spune că suma se scrie tot ca o fracție cu numitorul 5, iar Alina
adaugă: și cu numărătorul, suma numărătorilor termenilor. Au dreptate cei doi elevi ? Dacă da, calculați:
a) ; b) = .
A2. Emil spune că nu poate efectua adunarea numerelor
raționale pentru că nu au același numitor, iar Alina îi
răspunde: dar dacă le aduci, mai întâi, la același numitor ?
a) Calculați: , ținând seama de sfatul Alinei și observând desenul dat;
b) Calculați: ; –3,4+ (–1,2).
A3. Copiați și finalizați adunările:
a) 5 1 51 ... 66 6
- +
-+= = ; b) ;
c) ; d) ; e) 1,5 – 2,6
Exemple:
a) ;
b) ;
5
7
5
2
+
5
7
5
2
+ )
5
7 ( 5
2
-+-
5
-+- )7(2
3
1
6
5
+
3
1
6
5
+
)
3
1 ( 6
5
-+-
11
46
11
4
11
6 - =-
7
52
7
5
7
2 - =- 4
23
2
1
4
3 - =-
2) 3) 2 1 4 3 43 7
3 2 6 66 6
æ öæ ö æ öæ ö - - ç ÷ç ÷ - + - = - + - = =- ç ÷ç ÷ è øè ø è øè ø
2) 7) 1 3 2 21 2 21 19
7 2 14 14 14 14
æ öæ ö æ öæ ö - + ç ÷ç ÷ - ++ =- ++ = = ç ÷ç ÷ è øè ø è øè ø
1. Suma a două numere raționale este tot un număr rațional.
Pentru a aduna două numere raționale exprimate prin fracții ordinare se aduc termenii la
același numitor (c.m.m.m.c. al numitorilor), se copiază numitorul comun și se adună
numărătorii, aplicând regula semnelor de la adunarea numerelor întregi.
5
6
O
1
51 52
63 66

1 2
3 6
1
O
5
6
0 1
O
0
2
6

1
3

=
1
5 1
6 2
5 3
6 6






1
2
LECȚIA 2. Adunarea numerelor raționale; proprietăți
Scăderea numerelor raționale
109
c) .
Exemple:
a) ;
b) ;
c)
2) 2 7 2 7 4 7 4 11 0,7 5 10 5 10 10 10 10
æ ö +
-- = + = + = = ç ÷ è ø .
Să-l urmărim pe roboțelul Sudi care se deplasează pe axa numerelor:
a) Sudi pornește din O(0) și se deplasează în sensul pozitiv, întâi cu unități și apoi cu
unități. Să stabilim coordonata punctului P în care ajunge;
b) Din P, Sudi se deplasează în sens negativ cu unități și apoi în sens pozitiv, cu
unități. Să stabilim noua coordonată și lungimea totală a drumului parcurs.
1. Calculați: 8 0,(6) 1,2 3
-+ + .
Rezolvare:
8 8 6 8 2 6 0,(6) 1,2 1,2 1,2 1,2 2 1,2 0,8 3 3 9 3 3 3
- + + =- + + =- + + =- + =- + =- .
2. Trei muncitori au de făcut o lucrare. Primul muncitor termină 1
3
din lucrare, al doilea 1
6
și al treilea
1
12
din lucrare. a) Care muncitor a lucrat mai mult ? b) A câta parte din lucrare a rămas nerealizată?
() ( )
100) 9) 3 137 300 1233 933 0, 3 1,37 9,33 9 100 100 100
æ ö - + - = + - = =- =- ç ÷ è ø
2) (3 2 1 2 1 4 1 41 3 1
3 6 3 6 6 6 6 62
æ öæ ö æ ö æ ö æ ö - ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ + - + = + + - =+ + - = = = ç ÷ è øè ø è ø è ø è ø
3) 5) 1 2 1 2 3 10 3 10 7
5 3 5 3 15 15 15 15
æ öæ ö æ öæ ö - + ç ÷ç ÷ - - - = - + + =- + = = ç ÷ç ÷ è øè ø è øè ø
5
6
1
3
5
6
1
2
2. Diferența a două numere raționale este tot un număr rațional.
Diferența a două numere raționale se obține prin adunarea descăzutului cu opusul
scăzătorului.
110
Rezolvare: a) Comparăm fracțiile cu același numărător 1
3
, 1
6
și 1
12 și obținem 11 1
3 6 12
> > . Adică,
primul muncitor a lucrat mai mult;
b) Pentru a afla a câta parte din lucrare a rămas neefectuată, calculăm diferența:
4) 2) 1 1 1 4 2 1 7 12 7 5 1 11
3 6 12 12 12 12 12
æ ö ++ -
- + + =- =- = = ç ÷
è ø
. Deci, nu s-a realizat din lucrare.
1. Copiază și stabilește care egalități sunt adevărate și care false :
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) - - =- 2,15 13,25 3,6; f) 2,175 + 13,25 = 15,425.
2. Copiază, calculează mintal și simplifică rezultatul, când e cazul:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h)
i) .
3. Calculează și scrie rezultatul sub formă de fracție zecimală:
; ; ; ;.
4. Calculează:

5. Segmentul AB are lungimea de cm și segmentul BC are lungimea de cm.
a) Care dintre cele două segmente este mai lung ? b) Află diferența lungimilor celor două segmente.
6. Pe axa numerelor, alegem unitatea de măsură OI de 3 cm.
a) Reprezintă punctele 5 3 13 , , 62 6
ABC æö æö æ ö ç÷ ç÷ ç ÷ èø èø è ø; b) Află lungimile segmentelor AB și BC.
7. Stabilește între ce numere întregi consecutive este cuprinsă suma și apoi verifică prin calcul
1,7 + 5,19 + 0,49 + 2,43.
5
12
35 8
7 7 14
+ =
9 4 1
5 5
- = 111
632
+ =
2010 1 1
2011 2011 - =
3 4
5 5
+
7 5
4 4 - - 5 3
16 16
+
4 3
5 5 -
7 5
4 4
- +
5 3
16 16 - 1 0,5 4 - 3 0,75 4 -
1 0, 25 2 -
6 7
10 10
A =- +
12 27 3
10 100
B =+ +
25 35
100 1000
C = - 3 2 320
10 100 1000
D =+ -
4 5
15 9
E =- -
21 3 5 3 1 51 2 1 3 ; 1 ; ;1 . 3 2 4 6 4 3 6 2 5 10 10
A BC D æ ö æö æ ö æ ö = - + = + - = - - =- + + ç ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ è ø èø è ø è ø
2 12
3
5 12
6
111
A1. Pentru a ne aminti cum se înmulţesc şi cum se împart două numere raţionale pozitive
exprimate prin fracţii ordinare, să rezolvăm următoarea problemă:
Un biciclist se deplasează din localitatea A în localitatea B.
a) Dacă biciclistul parcurge din întreaga distanță într-o
oră, poate ajunge în 3 ore în localitatea B ? Cât parcurge
biciclistul în ore ?
b) Dacă biciclistul parcurge din întreaga distanță în ore, cât parcurge într-o oră din această
distanță ?
A2. Cu cele amintite la activitatea A1. finalizaţi calculele, aplicând regula semnelor de la
înmulţirea numerelor întregi:
a) 2 3 ( 2) 7 3 7 3 4 5 2 5 2 ( 5) 3 ; ; ;2,5 ( 1,2) 7 7 5 2 52 6 7 3 7 37
æ ö æ ö æ öæ ö æ öæ ö ×- - × - ×- × - = - × = - × - = - × - = ×- ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è ø è øè ø è øè ø × × ;
b) 13 15
:
25 23
- =- × ;
13 15
:
25 23
æö æö - - =- × - ç÷ ç÷ èø èø; – 1,5 : 3,2.
Exemple:
a) 1 3 1 3 1 3 13 3
2 5 2 5 2 5 2 5 10
æ öæ ö × ç ÷ç ÷ - × - =+- ×- =+ × = = è øè ø × ;
b) 7 3 7 3 7 3 21
4 5 4 5 4 5 20
æ öæ ö æ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ - × + =- - ×+ =- × =- ç ÷ è øè ø è ø è ø ;
2
7
7
2
1
2
3
5
2
7
2
7
2
7 2 2 2 32
7 7

2 3 7


3 2
1 7


A B
1. Produsul a două numere raționale este un număr rațional.
Pentru a înmulți două numere raționale înmulţim modulele lor (care sunt numere raționale
pozitive) şi aplicăm regula semnelor de la numere întregi.
LECȚIA 3. Înmulțirea numerelor raționale; proprietăți
Împărțirea numerelor raționale
112
c) ( ) 25 73 7 5 66 330 55 ( 2,5) 7, (3) 18, (3) 10 9 2 9 18 3
æ öæ ö æ öæ ö - - × + = - × + = - × + =- =- =- ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø è øè ø .
Exemple:
a) 35 49 35 4 5 1 5
:
12 4 12 49 3 7 21
æö æö - - =- × - =+ × = ç÷ ç÷ èø èø ; b) - -== 0,2:( 0,5) 2:5 0,4 ;
c)
(3 6 3 33 9 3 : 0,(6) 3 : 3 4,5 9 222
× - =- =- × =- =- =- ; d) 0,2:( 0,3) 2:6 0,(6) - =- =- .
1. Să scriem opusele şi inversele fiecărui număr: 3
5
x = ; y = – 2,(3); z = 2,3; w = – 2,1(2).
2. Pentru cele şase perechi posibile de numere diferite de mai sus, să calculăm produsul
şi câtul lor.
1. Calculaţi: a) ; b) .
Rezolvare: a) 2 3 2 3 23 2
3 5 3 5 35 5
æ öæ ö - - × - =-- ×- =- × =- ç ÷ç ÷ è øè ø ;
b) 4 1 41 ( 7) ( 7) 1 7 4 74
æ öæ ö - - × - × - =- × × - =+ ç ÷ç ÷ è øè ø .
2 3
3 5
æ öæ ö -- ×- ç ÷ç ÷ è øè ø ( ) 4 1 7
7 4
æ öæ ö -- ×- ×- ç ÷ç ÷ è øè ø
2. Inversul numărului rațional , unde este numărul rațional , pentru că
3. Câtul a două numere raționale este tot un număr rațional.
Împărțirea a două numere raționale se face înmulțind deîmpărțitul cu inversul împărțitorului.
4. Proprietățile înmulțirii numerelor raţionale: asociativitate, comutativitate, existenţa
elementului neutru, distributivitatea faţă de adunare, existenţa elementului nul, sunt aceleaşi cu
cele ale înmulţirii numerelor întregi. La acestea se adaugă proprietatea:
Oricare ar fi , există , astfel încât .
113
2. Comparaţi numerele: A = a : b × c, B = a : b : c, ştiind că: 1
2
a = , 2
5
b = - , c = 2,4.
Rezolvare: A= 1 2 : 2,4
2 5
æ ö
- × ç ÷ è ø = – 3; B = 1 2 25 : : 2,4 0,5208(3)
2 5 48
æ ö ç ÷ - =- =- è ø . De unde,
–3 < – 0, 5208(3). Adică A < B.
1. Înmulțește fiecare dintre numerele date cu 4
15 și simplifică rezultatul ori de câte ori este
posibil: 15 1 9 15 25 ; ;5; ; 3; ; ; 1,5;0,(3); 1;0. 7 4 8 4 16 - - -- -
2. Calculează:
a) 76,25 10; b) –53,67 100; c) 0,1346 (–1000); d) –12 (–4,23);
e) 7,61 31; f) (–1,2) (–5,4); g) 2,1 (–45,6) ; h) –1,23 45,6;
i) (–24,8) (–0,1); j) 82,4 0,01.
3. Calculează:
a) 1,(2) 3,14; b) (–5,6) 0,(6); c) (–1,1) (–2,(3)); d) 3,(2) (–1,4(3)).
4. Stabilește dacă numerele din perechile de mai jos sunt numere inverse unul celuilalt:
a) 8 și ; b) 1 și 1; c) și –2; d) și ;
e) și ; f) 0,7 și ; g) –0,(6) și i) –1,2(3) și .
5. Calculează:
9
7
3
A = ;
9
3
7
B = - ;
28
27
12
9
C
-
=
-
;
34
15
16
5
D
-
= ;
; 1, 4
10
21
F = ;
17
15
1,1(3)
G = - .
6. Calculează cât mai simplu posibil, folosind proprietățile înmulțirii și simplificările:
;
6 57 12
35 3 6
B æ ö =- × × × ç ÷ è ø ;
21 4 22 15
11 5 42 4
C æ öæ ö = ×- ×- × ç ÷ç ÷ è øè ø .
7. Știind că 1, 25 a
b = , calculează:
a) 7
:
8
a
b ; b) : ( 5) a
b - ; c) ( 5 ): 2
b - × a ; d) :
5 4
a b æ ö ç ÷ -
è ø.
× × × ×
× × × ×
× ×
× × × ×
1
8
1
2 - 4
7
7
4
11
25
- 25
11
- 10
7
3
;
2
- 30
37
-
2 20
3
2 15
4
E
-
=
3752
5237
A = ×××
114
A1. Pătratele ABCD, AEFG, AHIJ au laturile de lungime 1
2
cm,
1
4
cm, respectiv 1
8
cm.
a) Calculați ariile celor trei pătrate, folosind înmulţirea fracţiilor şi apoi scrieţi ariile obţinute ca puteri ale lui 1
2
;
b) Scrieți lungimea fiecărei laturi ale celor trei pătrate ca puteri
ale lui 1
2
şi precizaţi dacă sunt adevărate egalităţile:
, respectiv ;
c) Calculați ariile dreptunghiurilor cu lățimea AH și lungimile
AG, respectiv AD și precizaţi dacă sunt adevărate egalităţile:
d) = şi = .
Exemple: a) Puterea are baza 1
2 - și exponentul 3;
b) .
22 4 2 2
2
1
2
1
2
1 ÷
ø
ö ç
è
æ ÷ = ø
ö ç
è
æ =
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é ÷
ø
ö ç
è
æ × 23 6 2 3
2
1
2
1
2
1 ÷
ø
ö ç
è
æ ÷ = ø
ö ç
è
æ =
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é ÷
ø
ö ç
è
æ ×
3 2
2
1
2
1 ÷
ø
ö ç
è
æ ÷ × ø
ö ç
è
æ 23 5
2
1
2
1 ÷
ø
ö ç
è
æ ÷ = ø
ö ç
è
æ +
2
1
2
1 3
÷ × ø
ö ç
è
æ 13 4
2
1
2
1 ÷
ø
ö ç
è
æ ÷ = ø
ö ç
è
æ +
3 1 1111
2 2228
æ ö æ öæ öæ ö
- = - × - × - =- ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ è ø è øè øè ø
( ) ( )( )( )( ) 4 4 - = - × - × - × - =+ = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,0625
1. Puterea a n–a a numărului rațional nenul a este produsul a n factori egali cu a, oricare
ar fi n număr natural cel puțin egal cu 2.
Observații: a) Prin convenție , unde și , unde ;
b) nu are sens.
2. Puterea cu exponentul (–n) a numărului rațional nenul n este inversa puterii , unde
n este un număr natural nenul:
, unde , .
În particular .
LECȚIA 4. Puterea cu exponent număr întreg a unui număr rațional nenul
115
Exemple: a) ; b) ; c) 4
4
1 1 10 0,0001 10 10000
- == = ;
d) 2
2 2
1 11 ( 0,1) 100 ( 0,1) 0,1 0,01
- - = == = - .
.
Exemple:
a) ; b) ;
c) ; d) ;
e) .
1. Să construim un tabel cu trei linii (numărul, baza, exponentul) şi să–l completăm pentru
numerele:
5
7 4 3 5 ; ;( 2,3) ;7 4
æ ö ç ÷ - è ø .
2. Să scriem ca fracţii zecimale, puterile lui 2 şi –2 cu exponent întreg cuprins între –3 şi 3.
3. Să scriem fiecare din numerele: 12; 23,4; 435,6 şi 7891,324 ca produsul unei puteri a lui 10
şi o fracţie zecimală cu o singură cifră în faţa virgulei.
1. Comparați: a) și ; b) și .
Rezolvare: a) . Comparăm cu și obținem .
Deci . b) , iar . Observăm , deoarece
. Deci .
2. Ordonaţi crescător numerele: a) , și ; b) , și .
1 1 3
3
- =
1 2 5
5 2
- æ ö
- =- ç ÷ è ø
5 3 53 2 33 3 39
22 2 24
- - æöæö æö æö × = == ç÷ç÷ ç÷ ç÷ èøèø èø èø () ()
2 2 1 12 1 2 0,2 0,2 5 25 5
- - -× æ ö é ù - =- = = = ê ú ç ÷ ë û è ø
1
3 4 34 1 1 0,5 : 0,5 0,5 0,5 2 2
-
- - æ ö = == = ç ÷ è ø ( ) ( ) ( )( ) ( ) 77 7 7 -0,2 5 0,2 5 1 1 × + =é - × + ù = - =- ë û
( )
3
33 3 3 3 1 1,4 : 7 1,4: 7 0,2 5 125 5
- -- - - æ ö = = = == ç ÷ è ø
3
1
2
æ ö ç ÷ è ø
2
1
8
æ ö ç ÷ è ø
32 3 2 4 5
2 23 6 11 1
82 2
é ù æö æö æö ç÷ ç÷ ç÷ = = ê ú èø èø èø ê ú ë û
3
1
2
æ ö ç ÷ è ø
6
1
2
æ ö ç ÷ è ø
6 3 1 1
2 2
æö æö ç÷ ç÷ < èø èø
3 2 1 1
2 8
æö æö ç÷ ç÷ > èø èø ( )8 32 4 3 3 = ( )
8 24 3 5 5 = ( ) ( ) 8 8 4 3 3 5 <
4 3 3 81 125 5 =< = 32 24 3 5 <
15 3- 25 2- 10 9-
9
1
2
æ ö ç ÷ è ø
3
1
3
æ ö ç ÷ è ø
3
1
4
æ ö ç ÷ è ø
3. Regulile de calcul ale puterilor de numere întregi cu exponent natural se extind și la
puterile numerelor raționale nenule cu exponenți întregi.
116
Rezolvare: a) ; ; ;
;
b) și .
1. Scrie ca putere cu exponent număr natural:
A =×××× 33333; B = ××× 4444 ; C =10 10 10 10 10 10 ××××× ;
;
444
555
E = ×× ;
11111
22222
F æ öæ öæ öæ öæ ö = - ×- ×- ×- ×- ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè øè øè ø ;
G=××× 1,5 1,5 1,5 1,5; H =××× 0,2 0,2 0,2 0,2.
2. Determină:
a) puterea lui 2 cuprinsă între 500 și 1000; b) puterea lui 3 cuprinsă între 700 și 1000.
3. Scrie ca o singură putere, prin aplicarea regulilor de calcul cu puteri:
a) ; b) ;
c) ; d) ; e) .
4. Compară numerele din perechile următoare:
a) 372 și 937; b) 416 și 89
; c) 312 și 97
; d) și ;
e)
4
1
4
-
æ ö ç ÷ è ø și
3
1
4
-
æ ö ç ÷ è ø ; f) și ; g) și ;
h) și ; i) și ; j) și
5. Determină numerele care, puse în locul literei, satisfac inegalitatea:
a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
6. Calculează:
45 3 32 5 5 3 3
2 44 4 6 3 5 2
2 3 2 7 4 5 3 7 11 5 2
; ; 7 2 3 3 2 5 2 5 7 11
A BC × × × ×× =× =× = × × × ×× .
( )
5
5 15 3 1 3 3
27
- - æ ö = = ç ÷ è ø ( )
5
5 25 5 1 2 2
32
- - æ ö = = ç ÷ è ø ( )
5
5 10 2 1 9 9
81
- - æ ö = = ç ÷ è ø
5 55 111 1 1 1 27 32 81
27 32 81 27 32 81
æ ö æ ö æö < <Þ > >Þ > > ç ÷ ç ÷ ç÷ è ø è ø èø
15 25 10 329 Þ>> - - -
3 93 3 11 1
22 8
é ù æö æö æö ç÷ ç÷ ç÷ = = ê ú èø èø èø ê ú ë û
111 348
348
<<Þ > >
9 33 111
243
æö æö æö Þ<< ç÷ ç÷ ç÷ èø èø èø
2222
3333
D = ×××
4 3 222 × × 32 7 444
555
-
æöæöæö × × ç÷ç÷ç÷ èøèøèø
( )( )( ) 42 3 3,5 3,5 3,5 -
- ×- ×-
4 3 2
2
3
ì ü é ù ï æ ö ï íêç ÷ ú ý ïêëè ø úû ï î þ
5 7
3
5
- é ù æ ö ê ú ç ÷ ê ú è ø ë û
3
2
3
æ ö ç ÷ è ø
2
2
3
æ ö ç ÷ è ø
[ ]2
0, (3) [ ]
3
0, (3)
14 1
2
æ ö ç ÷ è ø
8
1
4
æ ö ç ÷ è ø
3
4
9
æ ö ç ÷ è ø
2
3
2
æ ö ç ÷ è ø
3
5
2
æ ö ç ÷ è ø
2
25
4
æ ö ç ÷ è ø ( ) 3
0,(6) -
( ) 2
0,(6) . -
3 10 n £ 2 12 n £ 3 4
2
n
æ ö ç ÷ £ è ø
5 5
4
n
æ ö ç ÷ £ è ø
1 2 1
3 3
n
æ ö £ £ ç ÷ è ø
117
A1. Identificaţi perechile de numere egale din mulţimea:
{ } ( ), : ( ), , ( ) , : , a a a A a b c B c ab C c b D bc E cab F a b c =- + = × = × = × = × =-- , și verificați
prin calcul egalitățile identificate, pentru 2
a 0,5- = , 111 : ( 2) 236
b æ ö = ++ - ç ÷ è ø și 1 1
:
2 3
c = .
A2. Verificați prin calcul dacă aria pătratului , din figura alăturată, este egală cu suma
ariilor pătratelor DGIH, EBFI și a dreptunghiurilor AEIH, IFCG.
Exemple:
a) 651112 61 51 12 111 3
543543 55 44 33
æ öæ öæ ö + + - - + = - + - + + =++= ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø ;
b) 5 1 15 55 2 21
7 2 27 77
æö æö - × × - =- × - × = × = ç÷ ç÷ èø èø .
Exemplu: .
Exemplu:
.
ABCD
2 3) 7 3 29 7 4 6 29 21 8 29 1,2 0 5 2 15 5 9 5 15 15 15 15
- æ ö +- × - = + × - = + - = ç ÷ è ø
( ) ( ) 84 75 3 84 17 15 9 1 0,075 5, 6 3 4,5: 6 10 10
575 100 40 575 3 4 2 6
ì ü éù é ù æ ö æ ö í ý + × - + - - × = + × - +× × = êú ê ú ç ÷ ç ÷ î þ ëû ë û è ø è ø
5) 8) 50) 3 84 23 3 3 7 3 15 56 150 221 10 10 10 11,05 40 575 12 4 40 25 4 200 20
æ ö æ ö + +
= + × + ×= + + ×= ×= = ç ÷ ç ÷ è ø è ø
1. Operațiile de același ordin se efectuează în
ordinea în care sunt scrise, aplicând proprietățile
acestora, atunci când este cazul.
2. Într-un exercițiu fără paranteze se efectuează întâi operațiile de ordinul al III–lea, apoi
cele de ordinul al II–lea și, în final, cele de ordinul I.
3. Dacă un exercițiu conține paranteze, se efectuează mai întâi operațiile din parantezele
rotunde, apoi cele din parantezele drepte și, la final, operațiile din acolade.
Pe măsura efectuării calculelor, parantezele drepte se transformă în paranteze rotunde și acoladele se transformă în paranteze drepte.
LECȚIA 5. Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor
118
1. Să calculăm: .
2. Să calculăm: .
3. Să calculăm: .
4. Să calculăm: .
1. Calculați: a) ; b) .
Rezolvare: a) ;
b) Introducem întregii în fracţie, efectuăm operațiile din paranteza rotundă şi apoi efectuăm
împărţirea .
2. Efectuați: .
Rezolvare: Introducem întregii în fracție, efectuăm în ordine: ridicarea la putere, împărțirea și
adunarea fracțiilor:
2 2 1 1 1 7 10 1 49 9 1 49 1 50 2 :1 : 5
3 9 10 3 9 10 9 10 10 10 10 10
æ ö æö ç ÷ ç÷ + = + = ×+ = + = = è ø èø .
1. Calculează:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f)
2. Calculează:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) .
1 1 1111 1 1111
:: ::
2 2 2222 2 2222
+-× +-×
1 1 1 1 11 1 1 11 1
:: ::
2 2 2 2 22 2 2 22 2
æ öæ ö æ ö + - × +-× ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø
1 1 1 1 11 1 1 11 1
:: ::
2 2 2 2 22 2 2 22 2
ì ü æ öæö æö é ù
+ -× +-× í ý ç ÷ç÷ ç÷ ê ú î þ è øèø èø ë û
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1
: : ::
2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
ì ü æ öæ ö æö é ù í ý -× ++-× ç ÷ç ÷ ç÷ ê ú î þ è øè ø èø ë û
17 3 68 : 2 3 1,6 4 5
-×+ -
11 77 1 :
34 24
é æ öù ê + - ç ÷ú ë è øû
17 3 68 4 3 16 3 8 5 68 : 2 3 1, 6 6 16 6 10 10 1 9 4 5 1 17 5 10 5 5 5
-×+ - = × - + - = - + - = - = -=
2) 1 1 7 7 4 1 14 7 4 1 7 4 4 2 1: : :
3 4 2 4 3 4 4 3 4 38 3
é ù æ ö æ ö - + ê ú + - = + = =×= ç ÷ ç ÷ ê ú è ø ë û è ø
2
1 11 2 :1
3 9 10
æ ö ç ÷ + è ø
57 7 0, 4 : 2,5 4 3 12
+×-
2 4 0,(6) : 0,(2) 3 3
+ +
38 3 : 6
49 4
× -
1 0, 23 : 2,3 10 3
× +
0
1 83 0,(7) : 2,(3) 49 31
æ ö + + ç ÷ è ø ( ) ( ) 2 2 1 5 0,5 : 0,01 10 8
+ ×
1 1 30: 1
10 3
æ ö
× - ç ÷ è ø
2 1 3: 3
0,(6) 4
æ ö
+ × ç ÷ è ø
381 5
:
496 4
æ ö
× - ç ÷ è ø
( ) 1 1,5 0, (3) : 2 4
× +
1 37 2,5 1 : 14 4 48
é ù æ ö + - × ê ú ç ÷ ë û è ø
1 1 22 3,5 5 4 : 3 6 3 35
é ù æ ö + +- × ê ú ç ÷ ë è ø û
119
3. Calculează:
a) ; b) ;
c) ; d) .
4. Află numărul natural n, pentru care este satisfăcută egalitatea:
.
Modelează următorul scenariu: Titlul „Numere raţionale”, un personaj spune „Spune-mi,
te rog ! Dacă a = 2,4 şi b = 3,1, scrie suma, diferenţa şi produsul lor (unde numerele sunt alese aleatoriu până la 10, cu o zecimală). Și așteaptă răspunsul (listă cu separatorul spaţiu), urmând comentariul adecvat „Bravo !” sau „Of ! Trebuia …” (urmat de valoarea corectă, la noi ar fi 5,5 – 0,7 7,44).
Teste la final de unitate. Test de autoevaluare.
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. Suma care are rezultat număr întreg este
f) g) h) i)
3 0, 4 5
+
3 0,6 5
+
3 0,(4) 5
+
3 0,(6) 5
-
2. Numărul care are modulul 0,2 este
p) q) r) s)
3 0,6 5
- 3 0,(6) 5
+
3 0,8 5
- 3 0,6 5
- +
3. Dacă două numere au produsul –1 și suma 3
2
, atunci
t) ț) u) v)
sunt egale un număr este 2 sunt opuse sunt inverse
13 12 25 11 1
22 2
æö æö æö ç÷ ç÷ ç÷ × - èø èø èø
32 2 2 5 51 1 :
3 3 33
é ù æ ö æö æö ê ú ç ÷ ç÷ ç÷ - +
ê ú è ø èø èø ë û
( )()
2
3 2 1 1 0, 2 0,1 : 125 10
é ùæ ö
ê ú + - ç ÷ ë ûè ø
21 2 11 0,3: : 0,1(63) 20 5 10 0,(09) 1 0, 4 3 5 5
æ ö ç ÷ + + è ø
× æ ö + × ç ÷ è ø
7 77 777 7 111 1 1 1 :: 8
9 99 999 9 700 7 70 700
n
é ù æ öæ ö ç ÷ç ÷ ++ - ++ = ê ú ë û è øè ø
1 2 3 4 5 6 7

120
4. Câtul a două numere raționale opuse este
a) b) c) d)
-1 1 0 Neprecizat
5. Suma cu exponent 2, respectiv 4, ale unui număr rațional a nu poate fi
a) b) c) d)
2 5
16
-1 0
6. Suma a patru puteri ale lui 2 cu exponenți numere întregi consecutive este 15
8 . Nici un exponent
nu poate fi
f) g) h) i)
-2 -1 0 1
7. Rezultatul calculului ( ) 2 1 1, 2 1, 44 : 2 2 - - + - este
e) f) g) h)
0,16 0 -0,56 1
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, în spațiile punctate, scrie cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Opusul numărului rațional este ... .
2. Modulul numărului rațional , scris sub formă zecimală, este ... .
3. Cel mai mare dintre numerele și este ... .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.

10p
10p
10p
1. Rezultatul calculului este:
a) ; b) ; c) ; d) .
2. Rezultatul calculului , exprimat ca fracție ordinară ireductibilă, este:
a) 2; b) ; c) ; d) .
3. Rezultatul calculului este:
a) 1; b) ; c) ; d) .
-4,13
1 2
5
-2, 253 -2, 2503
2 3
7 2
-
5
9
1
5
- 1
7
17
14
-
26 39
:
15 45
338
225
78
39
117
45 2
2 2
3 3
æ ö - × ç ÷ è ø
6
9
8
27
4
9
121
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Efectuați: a) ; b) .
2. Arătați că .
3. Dacă 25 0,1 2
a =- × şi
2
25
2
b
-
æ ö = -ç ÷ è ø , calculaţi .
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Opusul numărului rațional este ... .
2. Modulul numărului rațional scris ca fracție ordinară este … .
3. Dintre numerele și mai mare este numărul … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect. Doar unul dintre cele
patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Efectuând se obține:
a) ; b) 0; c) ; d) .
2. Rezultatul calculului , exprimat în fracție ordinară ireductibilă, este:
a) ; b) ; c) ; d) 3.
3. Rezultatul calculului este:
a) ; b) ; c) ; d) .
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Efectuați: a) ; b) .
2. Comparați numerele: și .
3. Calculați inversul numărului .
49 3 1,02 1,1(6) 50 7
+- ×
4 5 2 12 33 3
:
77 7
é ù æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ - ×- - ê ú è øè ø è ø ê ú ë û
6
1
5
1 1
4
1 1
3
1 1
2
1 1 ÷ >
ø
ö ç
è
æ ÷ -× ø
ö ç
è
æ ÷ -× ø
ö ç
è
æ ÷ -× ø
ö ç
è
æ -
a b×
7
9
-3,7
5
3
a = - 7
4
b = -
( ) 7 2, 3 3
-
5
3
2
9
- 2
9
25 42
7 50 ×
15
10
150
50
42
14 5 3 3 3
:
5 5
æ öæ ö ç ÷ç ÷ - - è øè ø
9
25
9
25
- 8
3
5
æ ö ç ÷ -
è ø
6
10
21 1 13 6 : 0,4 10 2 4 5
æ ö ç ÷ + -+ è ø
7 5 2 16 55 5
:
33 3
é ù æö æö æö ç÷ ç÷ ç÷ × ê ú èø èø èø ê ú ë û
( ) 3 3 1 0, 2 4 2
a
æ ö = ç ÷ - ×- + è ø
15 15 41 5
:
82 82 3 2
b = -×
3 262 55 5
:
44 4
- - é ù æ öæ ö æ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ - - ×- ê ú è øè ø è ø êë úû
122
Unitatea de învățare: Ecuaţii
A1. Justificați echivalențele următoarelor ecuații, identificând transformările relației de
egalitate aplicate:
a) și b) și
c) și d) și
A2. Justificați echivalențele de la activitatea A1, aplicând proba operației pentru fiecare ecuație:
a), b), c), d).
Se obțin ecuații echivalente cu o ecuație dată prin aplicarea transformărilor relației de egalitate
sau prin proba operației:
Prin adunarea sau scăderea aceluiaşinumăr, în
ambii membri ai ecuaţiei, obţinem o ecuaţie
echivalentă cu ecuaţia dată.
a) Termenul necunoscut dintr-o sumă de doi
termeni este egal cu diferența dintre sumă și
termenul cunoscut:
;
b) Descăzutul este egal cu suma dintre diferență
(rest) și scăzător:
;
c) Scăzătorul este egal cu diferența dintre descăzut
și rest:
;
x + = 3,2 7,4 x = - 7,4 3,2 1,3 0,25 - x = x = - 1,3 0,25
2 1,5 × =x x =1,5: 2 x :1,4 1,5 = x = × 1,5 1,4
2 1,5 1,5 2 3,5 + =- Û =- - Û =- xx x
xxx - 3,5 2,35 2,35 3,5 5,85 = Û= + Û=
14 2,5 14 2,5 11,5 - xx x = Û= - Û=
1. Prin rezolvarea unei ecuații, în mulțimea numerelor raționale, înțelegem determinarea
mulțimii tuturor soluțiilor raționale ale acesteia.
Două ecuații se numesc echivalente dacă au aceeași mulțime de soluții.
LECȚIA 6. Ecuații în mulțimea numerelor raționale
123
Prin înmulţirea sau împărţirea ambilor membri
ai ecuaţiei cu acelaşi număr nenul, obţinem o
ecuaţie echivalentă cu ecuaţia dată.
d) Factorul necunoscut dintr-un produs de doi
factori este egal cu câtul dintre produs și factorul
cunoscut:
x · (‒2,5) = 12,5 Þ x = 12,5 : (‒2,5) Ûx = 5;
Deîmpărțitul este egal cu produsul dintre cât și
împărțitor:
;
e) Împărțitorul se obține prin împărțirea
deîmpărțitului la cât:
.
2. Rezolvarea unor ecuații poate presupune aplicarea uneia sau a mai multor transformări:
Exemplu: | –10 scădem 10 din ambii membri ai ecuației;
calculăm diferenţele;
|:1,2 împărțim la 1,2 ambii membri ai ecuației ;
1,2:1,2∙ x= 14,4: 1,2 efectuăm împărţirile;
Verificăm prin înlocuire în ecuaţia iniţială1,2 ∙ 12 + 10 = 12,4 + 10 = 24,4. Deci 12 este soluţia ecuaţiei
date.
1. Să stabilim care dintre ecuaţii sunt echivalente:
2,5x = 2,5; 2,5x – 2,5 = 0; –2,5x = – 2,5; 2,5 + 2,5x = 5;
3x – 3 = 0; 2x – 3x = 0,5; 2,3x + 2,3 = 4,6.
2. Să ordonăm logic următoarele relaţii, folosind echivalențele ecuațiilor:
0,18x = –5,4; 0,3x + 2,5 = 0,12x – 2,9; x = –30;
x = –5,4 : 0,18; 0,3x – 0,12x = –2,5 – 2,9.
1. Rezolvați, în mulțimea , ecuația: .
Rezolvare:
și egalitatea este adevărată. Deci .
xxx :0,5 6 6 0,5 3 = - Û =- × Û =-
- =- Û =- - Û = 2: 4 2: 4 0,5 xx x ( )
1,2 10 24,4 ×+ = x
1,2 10 10 24,4 10 ×+ - = - x
1,2 14,4 × =x
x =12
¤ 21 7 1
36 4
x x + + =
2) 2 1 7 2 1 7 5 7 5 35 1 1 11 :
3 6 4 3 6 4 6 4 6 46
xx x x x
æ ö
+ += Û + += Û += -Û = Û ç ÷ è ø
9
10
x = Î ¤
29 19 7 1
3 10 6 10 4
× + × +=
9
10
S ì ü = í ý î þ
124
2. Aflați valoarea lui aΤ, dacă ecuația 5 3 2
2
x a - = are soluția 1,6.
Rezolvare: Deoarece 1,6 este soluție, înseamnă că, înlocuind necunoscuta x cu 1,6 în ecuație,
egalitatea se verifică:
5 5 3 1,6 2 4,8 2 4,8 2 4,8 2,5 2 2,3 1,15 2 2
× - =Û - = -Û = - Û = Û= a a a aa .
1. Precizează dacă ecuațiile din perechile următoare sunt echivalente:
a) și ; b) și ; c) și ;
d) și ; e) și ; f) și .
2. Rezolvă, în , ecuațiile:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) .
3. Rezolvă, în , ecuațiile:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) ;
g) ; h) .
4. Determină mulțimile:
Ax x = Î -= { ¥ |2 1 3};
1 1 | 2
7 2 By x ì ü = í Î += ý î þ ¥ ;
3
| 13
2
Cz z ì ü = í Î += ý î þ ¥ ; ;
2
| 0,5 1
3
Dx x +
ì ü =Î + = í ý î þ ¤ ; Ey y = { Î += ¤ | 0, 25 0,1 0}.
5. Rezolvă ecuațiile:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) .
1 2 1
5
x - = 1 3
5
x = 1 3
5
x = x = 3 5× 2 1 3
3 y + = 2 2
3 y =
2 2
3 y = 3 2
2 y = × 5 : 14
3
x - = 5 : 5
3
x = 5 : 5
3
x = 5 : 5
3
x =
¤
1, 5 7, 5 + =- x
11 3
4
+ y = 2 0, (3) 3
z + =
5 1
6 2 y - = 7 0,5 2 -×= x
4 0, 2(3) 15
a - =
¤
- =- 0,5 7,5 x
5 1
2 4 - y = 7 1, 4 2
z = -
6 0,8 5
u = 9,9 : 3 x = - 6 13
:
7 6
x
æ ö ç ÷ - = è ø
- = 1, 6 : 0,8 x
5
: 3, 4
2 y =
( ) 1 5 1 2
4 4
x x +-= ( ) 1 2 1 64
5 5
+ x x - -= 1 2 (2 3 ) 1 1, 5 2
x x + - -=
( ) 1 2 1 0, 2 5
x x + - -=
2 3 1
5
x
x - + = 34 3 2 2
2 2
x
x - + - =
125
1. Prețul unui caiet este cu 0,4 lei mai mic decât prețul unui penar și cu 0,3 lei mai mare decît
prețul unui creion. Aflați prețul caietului, creionului și al
penarului, știind că toate trei costă 4 lei.
Rezolvare: Dacă notăm cu x prețul caietului, atunci prețul
penarului este x + 0,4 și prețul creionului este x – 0,3.
Obţinem ecuaţia: x + x + 0,4 + x – 0,3 = 4 Û 3x + 0,1 = 4 Û
3x = 3,9 Û x = 1,3.
Prin urmare 1,3 lei este preţul caietului; preţul penarului este
1,3 + 0,4 = 1,7 lei; preţul creionului este 1,3 – 0,3 = 1 leu.
Proba: 1,3 + 1,7 + 1 = 4 (A).
2. Un elev a cheltuit dintr-o sumă de bani, apoi a cheltuit din rest și încă 12 lei. Ce sumă
inițială a avut elevul, dacă i-au mai rămas 20 lei?
Rezolvare: Notăm cu x suma inițială. Dacă a cheltuit din sumă, adică , a rămas cu
sumă din care a cheltuit apoi . A rămas cu sumă ce
reprezintă cei 20 de lei rămași. Deci
5) 4 12 8 12 20 32 140l
7 35 35
xx x x - - = Û = Û= lei.
1. La o muncă de vară, tu primeşti 3,2€ pe zi şi câte 2,3€ pentru fiecare comision. Calculează
câte comisioane trebuie să faci pentru a câştiga 17€ într-o singură zi.
2. Găseşte trei numere întregi consecutive, ştiind că o treime din suma lor este 28.
3. Din două localităţi, aflate la distanţa de 24,3 km, pornesc unul către celălalt doi biciclişti cu vitezele 8,2 km/h, respectiv 6,5 km/h. Ei rulează până se întâlnesc. Calculează timpul de
deplasare.
4. Nota de plată a mecanicului maşinii familiei tale este de 45,8£. Ştiind că piesele au costat
33,9£, iar ora de muncă valorează 3,4£, calculează câte ore de muncă sunt trecute pe nota de
plată.
3
7
3
5
3
7
3
7
x
3 4
7 7
x - =x x
3 4 12 12
5 7 35
× += x x
4 12 12
7 35
x x - -
LECȚIA 7. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor în ℚ
126
5. Pentru o perioadă de 5 luni, factura de plată a apei se calculează astfel: 16,70 € abonamentul
și 2,45 €/ de apă consumat. Calculează:
a) suma plătită de familia Georgescu, care consumă 75 în 5 luni;
b) consumul de apă al familiei Paraschiv, care plătește 261,15 euro pentru 5 luni.
6. După ce cheltuiește 2
15 dintr-o sumă de bani, unui elev îi rămân 13 lei. Află ce sumă de bani
a avut elevul inițial.
7. Diferența dintre 7
8 și 1
4 din capacitatea unui rezervor de lichide este de 20 l. Află
capacitatea rezervorului.
8. Perimetrul unui dreptunghi este 18 cm. Calculează dimensiunile dreptunghiului, știind că
lățimea sa este jumătate din lungime.
9. Un elev deschide o carte la întâmplare și constată că suma numerelor celor două pagini este
55. a) Află numerele celor două pagini la care a fost deschisă cartea; b) Află numerele celor
două pagini dacă suma numerelor celor două pagini ar fi fost 37; c) Este posibil ca suma
numerelor paginilor la care se deschide o carte, să fie un număr par?
10. Un croitor plătește pentru 15 m de stofă cu 455 lei mai mult decât pentru 8 m din aceeași
stofă. Află prețul unui metru de stofă.
11. Suma a două numere este , dar dacă adunăm din primul cu o şesime din al doilea
obţinem 0,6(5). Află numărul mai mic.
12. Media aritmetică a trei numere este . Știind că două dintre aceste numere sunt 12,(5) și
9,(6), află al treilea număr.
13. Un ciclist constată că, după ce a parcurs din traseu, mai are de parcurs 50 km până la
kilometrul 182. Află lungimea traseului.
14. Media aritmetică a trei numere este 21, iar media aritmetică a două dintre ele este 22. Află
al treilea număr.
15. Se consideră două numere naturale, astfel încât unul este de 4 ori mai mare decât celălalt.
Află cele două numere, știind că suma lor este cel puțin egală cu 145 și strict mai mică
decât 150.
16. Perimetrul unui dreptunghi este strict mai mic decât 240 m. Știind că lungimea
dreptunghiului are 80 m, formează inecuația prin care se află lățimea acestuia și rezolv-o
în mulțimea numerelor naturale diferite de zero.
17. Enunță o problemă care se rezolvă cu ecuația .
18. Enunță o problemă care se rezolvă cu ecuația .
19. Enunță o problemă care se rezolvă cu ecuația .
3 m
3 m
19
15
5
6
1 20
3
11
18
2 6
3 × x =
4
: 10
5
x =
2 5, 6 34 x + =
127
Modelează următorul scenariu: Titlul „Ecuaţii”, un personaj spune „Spune-mi, te rog!
ce soluţie (cu o singură zecimală) are ecuaţia 3x + 6 = 7x – 4 (unde numerele sunt întregi,
alese aleatoriu între –10 şi 10). Și așteaptă răspunsul, urmând comentariul adecvat
„Bravo !” sau „Of ! Trebuia …” (urmat de valoarea corectă, la noi ar fi 2,5). Precizare
– ecuaţia este de forma ax + b = cx + d.
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. Ecuația care are soluție un număr întreg este
i) j) k) l)
2. Ecuația care nu are soluție pe
2
3,(1) este
q) r) s) t)
14x = 9 7x = 4,5 9x = 7 - 28x = -18
3. Roboțelul Sudi, pornind din punctul de abscisă
3
0,(3) , face două deplasări identice spre
stânga și ajunge în punctul
2
0,(2) 2
- - - . După prima deplasare se află în punctul abscisă
o) p) q) r)
3,9375 9
8 - 9 81
16
4. După aplicarea unei măriri, un produs de 3,5 lei costă 4,97 lei. Mărirea a fost de
t) u) v) w)
40% 42% 44% 38%
0,(2) 2
3,5 21
x = - 0,(1) 2
3,(5) 21
x = - 0, (1) 2
3,5 21
- x = 0,(1) 2
3,5 21
x = -
1 2 3 4 5 6 7

128
5. Un număr este cu 0,4 mai mic decât dublul altuia. Dacă suma lor este – 3,5 atunci cel
mai mic este
t) ț) u) v)
‒ 1,0(3) ‒ 2,4(6) 31
30 - ‒ 4,3(2)
6. Valoarea raportului a două numere este 0,(5). Dacă suma lor este – 4,1, atunci modulul diferenței
lor este
i) j) k) l)
41
35
41
35
- 1,17 ‒ 1,16
7. Mulțimea soluțiilor ecuației ( 0,1) 1 10
x
x x + - =- este
b) c) d) e)
{1} {0} {0; 1} Æ
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, în spațiile punctate, scrie cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p

10p
10p
1. Valoarea de adevăr al enunțului „13 este soluția ecuației 4 1 5,(3) 3
x x += + ” este
... .
2. Numărul care, prin adunare cu , dă rezultatul este ... .
3. Soluția ecuației este ... .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.

10p
10p
1. Soluția ecuaţiei este:
a) ; b) ; c) ; d) .
2. Numărul care, adunat cu , dă rezultatul 4 este:
a) ; b) ; c) ; d) .
1
1
3
7
3
6
4
3
x =
( ) 1 5 2,3 7 14
x - =
5
9
576
245 0, 2 4,8
2, 3( )
5
3
13
9 1, 7 2
129
10p
3 Dacă triplul unui număr micșorat cu 1,4 este 3,7 atunci numărul este:
a) 2,3; b) ; c) ; d) .
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Rezolvaţi, în mulţimea numerelor întregi, ecuaţiile:
a) ; b) .
2. Rezolvați, în mulțimea numerelor raționale, ecuația .
3. Un elev a cheltuit într-o excursie din suma de bani pe care o avea la el. Apoi
a cheltuit trei cincimi din rest și încă 15 lei. Știind că s-a întors acasă cu 15 lei,
aflați ce sumă de bani avea elevul la el.
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Dacă este soluția ecuației , atunci a este ... .
2. Suma dintre opusul numărului şi inversul numărului este … .
3. Soluția ecuației este numărul … .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
1. Rezolvând ecuația obținem soluția:
a) ; b) ; c) ; d) .
2. Numărul care înmulțit cu dă rezultatul este:
a) ; b)
1
8
- ; c) ; d) .
0,7 6( ) 1, 7 5,1
7 1 3
4 2
x - = 25 3 x + =-
( ) 4 2 4 48
9
- x - =
5
8
1
2
3
4
x a + =
3
8
- 8
4
3
x 75,125,0 +=-
3 1 2
5 10
x + =
5
3
19
6
21
6
2
9
5, 3( ) 2
3
-
1
9
6
53
17
3 -
130
10p 3. Soluția ecuației este:
a) ; b) ; c)
214
47 ; d) .
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Dintr-un depozit a fost distribuită în prima zi 10% din cantitatea de cartofi
existentă și a doua zi 20% din cantitatea rămasă. Ştiind că în depozit se mai
găsesc 144 kg de cartofi, aflaţi cantitatea iniţială.
2. Rezolvați, în mulțimea numerelor raționale, ecuația: .
3. Suma a trei numere naturale este 25. Aflați numerele, știind că primul număr
este cu 1 mai mic decât o treime din al treilea număr și cel de-al doilea cu trei
mai mare decât o cincime din al treilea.
Teme pentru portofoliu
1. Amplifică cu 2, 5 și 7 fiecare număr raţional: .
2. Simplifică fracțiile următoare, pentru a obține fracții ireductibile:
; ; .
3. Precizează care dintre echivalențele (egalitățile) următoare sunt adevărate:
; ;
; ; .
4. Un ciclist parcurge dintr-o distanță, în prima oră, din distanță, în a doua oră, din
distanță, în a treia oră și din distanță, în a patra oră. Compară distanțele parcurse de
ciclist în cele patru ore.
5. Copiază, calculează mintal și simplifică rezultatul, când este posibil:
; ; ; .
6. Calculează și verifică rezultatul, aplicând proba operației:
; ; ;
3 4
5
D = + ;
123 5
345
xx x ++ +
++=
232
41
18 6
12
9 5 3 12 30 x x - ( - =)
1 2 3 11 23 37 95 0
; ; ;;; ; ;
3 5 4 13 17 43 101 19 -- -
24 52 26
;; ; 36 78 39 - 1 4
4 9
60
140
- 7 2 3
; 256
× 2 2
2 2
2 3
; 5 4
×
- 2
100 64
3 2
-
×
7 1
; 63 9 = 3 15
11 55
- = -
6 7
5 6 =
3992 1
1996 2
- = - 3 4
6 2
4 3
2 9 =
2
2
5 44
75 2 11 = ×
1
4
3
12
4
16
6
2 4
15 13 12
888
A =+-
11 6 3
7 77
B = +-
14 4 1
9 9
C = + -
23 7 1
6 6
D = +-
1 5
8 4
A = +
11 7
25 5
B =- - 16 2
21 7
C = -
131
4 12
15
E = - ;
1 3
4 20
F = - ;
5 2
6 7
G = + ;
3 2
5 9
H =- + ;
4 1, (12) 33
I = - ; J = + 0, 4 0,1(3) .
7. Calculează și scrie rezultatul sub formă de număr zecimal:
; ; .
8. Calculează cel mai rapid posibil:
; ;
; .
9. Simplifică fracțiile, când este posibil și apoi calculează:
; ; ; ; .
10. Calculează și simplifică rezultatul ori de câte ori este posibil:
; ; ;
17 4
20
E =- × ;
5 4 3
2 55
F æ ö = ×-ç ÷ è ø .
11. Calculează și verifică rezultatul, făcând proba împărțirii:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) ;
i) ; j) ; k) .
12. Folosește simplificările și calculează produsele următoare:
; ; ;
.
13. Calculează cât mai simplu posibil:
A =× × 0,5 3,27 2 ; B = 4,21 ( 1,5) 6 ×- × ; C = - × ×- 4,5 260,6 ( 5) ; 2 D = ( 2,8) ( 1,6) ( 5 ) - ×- ×- .
111
423
A =++
1 1 1
2 4
B =+ +
21 4
3 15 30
C = + +
234111
345543
A =+++++
5176
6767
B = +++
777111
632632
C =---++
3 10 9 1 1 2
2 3 7237
D = - +-+-
13 22
24 48
A = +
7 20
5 25
B = +
49 6
35 15
C = - 18 12
21 14
D = - 12 15 9
12 30 6
E = - +
11 11
25 4
A = × 13 6
5 5
B æ ö = ×-ç ÷ è ø
5 3 2
3 50
C æ ö = - × ç ÷ è ø
5 8 3
4 15
D æ öæ ö =- ×- ç ÷ç ÷ è øè ø
9 3
:
10 5
1 5
:
8 8
æ ö ç ÷ -
è ø
2 11
:
3 12
æ ö ç ÷ -
è ø
7 :9
9
( ) 4 : 4
13
æ ö ç ÷ - - è ø
1 5 :
3
2 18 :
3 - 2,4 : 0,3
7 1,6: 15
æ ö ç ÷ -
è ø
8 2, (3) : 5 - 17 1,1(3) : 15
æ ö - -ç ÷ è ø
123
235
A = ×× 3 21 4
7 89
B æ ö = ×- × ç ÷ è ø
7 15 4 6
18 14 5
C æ öæ ö = - ×- × × ç ÷ç ÷ è øè ø
( ) 11 18 10 21
60 7 99
D æ öæ ö = ×- ×- ×- ç ÷ç ÷ è øè ø
132
14. Calculează în două moduri:
; ; ;
; .
15. I. Estimează produsul 23, 48 9, 75 × prin rotunjire: a) la zecimi; b) la unități.
II. Determină eroarea fiecăreia dintre estimările a) și b).
16. a) Stabilește între ce numere naturale este cuprins produsul 6,8 2,4 × și apoi verifică
rezultatul obținut prin calcul.
b) Estimează produsul 6,8 2,4 × prin rotunjire la unitate și apoi determină eroarea estimării.
17. Calculează:
; ; ;
; .
18. Scrie mai simplu, folosind regulile de calcul cu puteri:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) ;
g) .
19. Compară numerele din perechile următoare:
a) și ; b) și ; c) și ;
d) și ; e) și ; f) și
20.Calculează:
a) ; b) ;
c) ; d) .
21. Rezolvă în ecuațiile:
621
554
A æ ö =+× ç ÷ è ø
743
5 15 2
B æ ö =+ × ç ÷ è ø
35 11 2
20 14 7
C æ ö =- × + ç ÷ è ø
261
554
D æ ö = -× ç ÷ è ø
74 3
5 15 2
E æ öæ ö = - ×- ç ÷ç ÷ è øè ø
5 2 2 :
7 7
A = × 3 14
:
2 59
B æ ö =- × ç ÷ è ø
4 57
:
3 12 9
C æ öæ ö =- ×- ç ÷ç ÷ è øè ø
4 2 12
: :
7 7 39
D æ öæ öæ ö =- - ×- ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø
4 2,5 7 :
9 3 10
E = ×
5 7 10 2 2 :2 × ( )
4 2 7 5 :5 5×
27 25 3 222
:
555
-
æö æö æö × ç÷ ç÷ ç÷ èø èø èø
3 4 4 3 5 55
:
4 44
é ùé ù æö æö ê úê ú × ç÷ ç÷ ê úê ú èø èø ë ûë û
( ) ( )( ) 17 15
- - ×- 3,5 : 3,5 3,5
34 32 3 33
:
2 22
- - æö æö × ç÷ ç÷ èø èø
73 7 2 25 25
: :
37 37
é ùé ù æöæö æöæö ê úê ú × ç÷ç÷ ç÷ç÷ èøèø èøèø ë ûë û
13 2 13 3 14 3 7 4 16 9 32 2
4
5
6
æ ö ç ÷ -
è ø
4
2
3
æ ö ç ÷ -
è ø
5
4
9
æ ö ç ÷ è ø
10 1
2
æ ö ç ÷ è ø ( ( )) 2
0, 3 -
( ) ( ) 2
0, 6 -
4 1 1 11 2,(3) 1,5 2 : 4 9494
é ù æ ö + +× + × ê ú ç ÷ ë û è ø
1 1 1 : 0,5 : 0,2 4 0,(3) : 2
2 3 11
é ù æ ö ê ú + ×+ + ç ÷ ë û è ø
[ ]
2 2 3 3 1,5 0,5 : 1 0,8(3) 4 4
é ù æ öæ ö ê ú ç ÷ç ÷ - -- - è øè ø ë û [ ]
2
1 2 2,(6) : 0,(4) 1, 2 : 0,3 2
æ ö + -×ç ÷ è ø
¤
133
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) ;
i) ; j) ; k) ;
l) ; m) .
22. Află numărul rațional a, pentru care ecuația cu necunoscuta x are soluția indicată:
a) are soluția 1,5; b) are soluția ;
c) are soluția ; d) are soluția .
23. Rezervorul unui automobil este plin cu combustibil la plecarea în cursă. După un parcurs,
deoarece combustibilul consumat reprezintă trei pătrimi din capacitatea rezervorului,
automobilul se alimentează cu 20 l de combustibil. După alimentare, combustibilul din
rezervor reprezintă șapte optimi din capacitatea acestuia. Află ce fracție din capacitatea
rezervorului reprezintă 20 l de combustibil și capacitatea rezervorului.
24. Radu și Victor au un pepene. Radu ia o treime din jumătate de pepene, iar Victor ia din
din pepene. Care dintre cei doi are partea mai mare?
25. La un concurs de admitere se prezintă 200 de candidați. Știind că numărul locurilor
reprezintă trei pătrimi din numărul candidaților și că, în urma concursului, se ocupă patru
cincimi din numărul locurilor, află numărul celor admiși.
1 3 2
2 4
x + =
3 7 5
2 y - = 1 25
3 36
a + = 6 7,2 0 x - =
0,8 4,8 0 x - = 10 5 2
3 63
x + =
1 4 0,(6) 3 3 × x + =
1 2 : 1,5 2
x + =
1 2 0,(6) 2 3
x - = 3 1 2 1
2 3
x x -- = 1 5 2
5 2
+ x x - =
3 1 1, 2 0, 75 1 4 5
x x +- =
32 1 1, 4 1
25 2
x x + - -=
x + =3 a 1
2
x - = a
2
3
2 1
3 2
x - = a
3
5
1 2 0, 2 5 3
x - = a
10
3
1
4
2
3
134
Capitolul 5. NOŢIUNI GEOMETRICE FUNDAMENTALE
Unitatea de învățare: Unghiuri
A1. a) Indicați (precizând poziția, de la stânga
la dreapta) ceasurile ale căror limbi care indică
ora și minutul formează unghiuri: drepte,
ascuțite, obtuze, alungite, respectiv nule;
b) Priviți ceasurile la care limbile care indică ora și minutul formează unghiuri drepte (cu
măsura de 90o
), respectiv unghiuri alungite (cu măsura de 180o
). Observați că secundarul formează cu acestea câte două unghiuri pentru care suma măsurilor este de 90o
, respectiv
de180o
. Cum se numesc două unghiuri pentru care suma măsurilor este de 90o şi cum se numesc
două unghiuri pentru care suma măsurilor este de 180o
?
A2. a)Construiți pe caiet, urmând indicațiile din figurile alăturate,
suplementul, respectiv complementul
unghiului ABC și arătați că este
congruent cu unghiul DEF.
c) Ce proprietate au unghiurile cu
același suplement sau cu același
complement ?

1. Unghiurile alungite și unghiurile nule sunt unghiuri improprii. Oricare unghi diferit de
unghiul alungit sau de unghiul nul este unghi propriu.
2. Două unghiuri cu suma măsurilor egală cu 90o
se numesc unghiuri complementare
(fiecare dintre cele două unghiuri este complementul celuilalt).
3. Două unghiuri cu suma măsurilor egală cu 180o
se numesc unghiuri suplementare
(fiecare dintre cele două unghiuri este suplementul celuilalt).
LECȚIA 1. Unghiuri suplementare; unghiuri complementare
135
Exemple:
a) S S B E + = °+ °= ° 35 55 90 ; b) S S B E + = °+ °= ° 45 135 180
Demonstrație. Într-adevăr, dacă măsura celor două unghiuri
congruente este de αo
, atunci măsura fiecărui complement este de
90o
– αo
, deci și complementele sunt congruente.
În același mod se justifică și proprietatea reciprocă: Dacă două
unghiuri ascuțite au complementele congruente, atunci și ele sunt
congruente.
1. Să calculăm măsura complementului unui unghi de măsură: 12o
, 24o
, 30o
, 45o
, 60o
, 66o
,
78o
, apoi să calculăm măsura suplementului unui unghi de măsură: 20o
, 160o
, 45o
, 135o
,
60o
, 120o
, 30o
, 150o
.
2. Să găsim unghiul care are aceeaşi măsură ca şi complementul / suplementul său.
1. Unghiurile A și B sunt complementare, iar măsura unghiului B este cu 15o
mai mare decât
măsura unghiului A. Determinați măsurile unghiurilor A și B.
Rezolvare: Unghiurile A și B sunt complementare, adică S S A B + =° 90 (1). Cum S S B A = +° 15 ,
prin înlocuirea în (1), obținem SS S S AA A A + + °= °Þ × = °Þ = ° 15 90 2 75 37 30' și
SB = ° + °= ° 37 15' 15 52 30' .
2. Unghiurile M și N sunt suplementare, iar măsura unghiului N este de 4 ori mai mare decât
măsura unghiului M. Determinați măsurile unghiurilor M și N.
Rezolvare: Unghiurile M și N sunt suplementare, adică S S M N + =° 180 (1).
Cum S S N M = × 4 , prin înlocuirea în (1), obținem S S M M + × = °Þ 4 180
Þ5 180 36 × = °Þ = ° S S M M şi SN = × °= ° 4 36 144 .
4. Dacă două unghiuri ascuțite sunt congruente, atunci și complementele lor sunt
congruente.
5. Dacă două unghiuri sunt congruente, atunci și suplementele lor sunt congruente.
Reciproc: Dacă două unghiuri au suplementele congruente, atunci și ele sunt congruente.
136
1. Scrie perechile de unghiuri complementare, știind că: SA = ° 30 , SB = ° 45 , SC = ° 60 ,
SD = ° 25 30' , SE = ° 45 , SF = ° 64 30' , SG = ° 34 27' şi SH = ° 55 33'.
2. Scrie perechile de unghiuri suplementare, știind că: SA = ° 120 , SB = ° 37 40' , SC = ° 60 ,
SD = ° 85 48' , SE = ° 142 20' şi SF = ° 94 12' .
3. Unghiurile din perechile: SA și SP , SB și SQ , respectiv SC și SR sunt
complementare. Află măsurile unghiurilor P, Q și R, știind că: SA = ° 60 , SB = ° 42 ,
SC = ° 37 43' .
4. Unghiurile din perechile SM și SU , SN și SV , respectiv SP și SW sunt suplementare.
Află măsurile unghiurilor U, V și W, știind că: SM = ° 120 , SN = ° 150 , SP = ° 165 34'.
5. Unghiurile ABC și CBD sunt complementare și au aceeași măsură x. Află măsura x, comună
unghiurilor ABC și CBD.
6. Unghiurile BAC și CAD sunt suplementare și au aceeași măsură y. Află măsura y, comună
unghiurilor BAC și CAD.
7. Unghiurile A și B au același suplement, unghiul M. Știind că SM = ° 128 , află măsurile
unghiurilor A și B. Ce poți afirma despre două unghiuri care au același suplement?
8. Unghiurile C și D au același complement, unghiul P. Știind că SP = ° 27 35' , află măsurile
unghiurilor C și D. Ce poți afirma despre două unghiuri care au același complement?
9. Unghiurile A și B sunt suplementare, iar măsura unghiului B este cu 45o
mai mare decât
măsura unghiului A. Află măsurile unghiurilor A și B.
10. Unghiurile P și Q sunt complementare, iar raportul măsurilor unghiurilor P și Q este 2
3 .
Află măsurile unghiurilor P și Q.
11. Identifică perechile de unghiuri suplementare din figurile următoare:
12. Identifică perechile de unghiuri complementare din coniguraţiile următoare:
13. Unghiurile din perechile A și M, respectiv B și N sunt suplementare, iar S S A Bx = = .
Demonstrează că S S M N º .
14. Formulează aceeași problemă pentru perechile de unghiuri complementare C și P, respectiv
D și Q.
15. Arată că, dacă două unghiuri sunt complementare, atunci ele sunt unghiuri ascuțite.
137
A1. a) Indicați (precizând poziția, de la
stânga la dreapta) ceasurile la care
secundarul din interiorul unghiului format
de limbile care indică ora şi minutele,
formează cu acestea două unghiuri situate de o parte şi alta a sa şi precizaţi cum se numesc
aceste perechi de unghiuri proprii astfel formate;
b) Indicați ceasurile la care unghiurile formate de secundar cu limbile care indică ora şi
minutele, sunt unghiuri adiacente complementare şi respectiv unghiuri adiacente suplementare;
c) Identificați ceasul la care cele două unghiuri adiacente formate de secundar cu limbile care
indică ora şi minutele au măsurile egale. Cum se numește, în acest caz, semidreapta secundar
pentru unghiul format de limbile care indică ora și minutele?
A2. Prin plierea hârtiei, astfel încât
laturile unghiului să se
suprapună, se obţine semidreapta
BD, cu originea în vârful unghiului,
situată în interiorul unghiului şi
care formează cu laturile acestuia,
unghiurile adiacente ABD şi CBD de măsuri egale. Este BD bisectoarea unghiului ABC? a) Care
este poziția semidreptei BD față de unghiul ABC? b) Comparați unghiurile ABD și CBD.
Exemplu: În figura alăturată unghiurile BAC și CAD sunt adiacente, CAD şi
DAE sunt tot adiacente. Dar unghiurile BAC și DAE nu sunt adiacente, deoarece
nu au o latură comună.
ABC
1. Două unghiuri proprii, care au
▪ același vârf,
▪ o latură comună și
▪ celelalte două laturi de o parte și de alta a dreptei suport pentru latura comună, se
numesc unghiuri adiacente.
LECȚIA 2. Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi
138
Exemplu: În figura 1, semidreapta BD este bisectoarea unghiului ABC.

3. Construcția bisectoarei unui unghi cu
ajutorul raportorului (figura 2)
Ø Măsurăm unghiul ( 40° );
Ø Calculăm jumătate din măsură, așezând raportorul ca în figura 2) ( 20° ), adică marcăm punctul
din dreptul măsurii înjumătățite;
Ø Cu ajutorul riglei, construim semidreapta din vârful unghiului ce trece prin acest punct.
4. Construcția bisectoarei unui unghi cu rigla negradată și cu compasul
Să construim bisectoarea cu rigla şi compasul.
1. Să desenăm unghiul propriu ABC.
2. Cu acul compasului în B, să trasăm un arc care taie laturile unghiului în D şi E.
3. Cu acul compasului în D, trasăm un arc în interiorul unghiului.
4. Cu acul compasului în E (şi aceeaşi deschidere a compasului), tăiem ultimul arc, în F.
5. Unim B cu F şi am obţinut bisectoarea unghiului ABC. Să verificăm cu compasul.
1. Se consideră unghiurile adiacente BAC și CAD, astfel încât SBAD = ° 80 . Știind că
S S CAD BAC = × 3 , determinați măsurile unghiurilor BAC și CAD.
2. Bisectoarea unui unghi propriu este semidreapta cu originea în vârful unghiului, inclusă
în interiorul unghiului şi care formează unghiuri congruente cu laturile acestuia.
Fig. 1 Fig. 2
139
Ipoteză: S S BAC CAD , adiacente; S SS BAD CAD BAC = ° =× 80 ; 3 .
Concluzie: S S BAC CAD = = ?; ?
Demonstrație: S S BAC CAD , adiacente ⟹ SS S BAC CAD BAD + = ⟹
S S BAC CAD + =° 80 . Înlocuim în această relație S S CAD BAC = × 3 și
obținem SS S BAC BAC BAC + × = °Þ = ° 3 80 20 și SCAD = × °= ° 3 20 60 .
2. Se consideră SBAC = ° 76 și bisectoarea acestuia AM. Aflați măsura
unghiului format de bisectoarea AM cu una dintre laturile unghiului.
Ipoteză: SBAC = ° 76 ; AM bisectoarea SBAC .
Concluzie: SBAM = ?
Demonstrație:
AM bisectoarea 76 38
2 2
BAC BAC BAM MAC ° Þ = = = =° S
S SS .
1. Scrie perechile de unghiuri adiacente din configurațiile
reprezentate în figura 1.
2. Explică de ce perechile de unghiuri CAM și CBN,
respectiv BAD și CAD din figura 2, nu sunt adiacente.
3. Construiește unghiurile adiacente BAC și CAD, dacă:
a) S S BAC CAD =° =° 20 ; 35 ;
b) S S BAC CAD = ° =° 115 ; 57 .
4. Construiește unghiurile adiacente complementare
XOU și UOY, știind că:
a) SXOU = ° 50 ; b) SUOY = ° 75 ; c) S S XOU UOY = .
5. Construiește unghiurile adiacente suplementare AIC și CIB, știind că:
a) SAIC = ° 75 ; b) SCIB = ° 120 ; c) S S AIC CIB = .
6. Dacă unghiurile XOY și YOZ sunt adiacente suplementare, ce poți afirma despre punctele X,
O și Z?
7. Construiește bisectoarea unghiului BAC, știind că:
a) SBAC = ° 84 ; b) SBAC = ° 45 ; c) SBAC = ° 90
8. Construiește un unghi XOY, știind că bisectoarea sa OI formează cu
latura: a) OX un unghi cu măsura de 30o
; b) OY un unghi cu măsura de
27o
; c) OY un unghi cu măsura de 45o
.
9. Observă pătratul ABCD din desenul alăturat și precizează dacă: a) AD
este bisectoarea unghiului BAD; b) CA este bisectoarea unghiului BCD;
c) BD este bisectoarea unghiului ABC; d) DB este bisectoarea unghiului
ADC. Verifică afirmațiile, măsurând unghiurile cu raportorul.
140
A1. a) Priviți foarfeca deschisă, precizați câte perechi de unghiuri
congruente, cu același vârf, s-au format și pozițiile laturilor
unghiurilor din aceeași pereche.
b) Dreptele AA' și BB' concurente în O, determină perechile de
unghiuri congruente AOB și A'OB', respectiv AOB' și A'OB, cu
proprietatea că laturile unuia dintre unghiuri sunt semidreptele
opuse semidreptelor care formează celălalt unghi din pereche.
Cum se numesc perechile de unghiuri cu această proprietate?
A2. Dan, aflat în punctul M, trasează trei semidrepte imaginare, de
origine M și extremități punctele: N (semnalizatorul de cale ferată),
O (un far) și P (ruinele unei biserici). Numiți cele trei unghiuri astfel
formate și precizați:
a) dacă interioarele oricărei perechi dintre cele trei unghiuri, au
puncte comune; b) dacă reuniunea celor trei unghiuri cu
interioarele lor este întreg planul; c) cum se numesc unghiurile care
îndeplinesc condițiile: au același vârf; două câte două nu au puncte interioare comune; reuniunea cu
interioarele lor este întreg planul; d) cu cât este egală suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct ?

Exemplu: În figura de la A1, unghiurile AOB și AʹOBʹ sunt opuse la vârf.
Justificare: Într–adevăr, dacă unghiurile AOB și AʹOBʹ sunt opuse la vârf, atunci perechile: OA
şi OAʹ, respectiv OB şi OBʹ, sunt de semidrepte opuse. Deci, perechile de unghiuri: AOB și
AOBʹ, respectiv AOBʹ și AʹOBʹ sunt de unghiuri suplementare. Cum unghiurile AOB și AʹOBʹ
au același suplement, ele sunt congruente.
1. Două unghiuri cu același vârf și cu laturile perechi de semidrepte opuse se numesc
unghiuri opuse la vârf.
2. Dacă două unghiuri sunt opuse la vârf, atunci ele sunt congruente.
LECȚIA 3. Unghiuri opuse la vârf. Unghiuri formate în jurul unui punct
141
Exemplu: Unghiurile OMP, PMN, NMO din desenul de la A2 sunt unghiuri în jurul punctului M.
Pentru figura alăturată, să scriem:
a) Perechi de unghiuri opuse la vârf;
b) Triplete de unghiuri formate în jurul unui punct;
c) Perechi de unghiuri care nu sunt opuse la vârf;
d) Cvartete de unghiuri care nu sunt unghiuri în jurul unui
punct.
1. Se consideră unghiurile AOC și BOD opuse la vârf. Dacă OM este bisectoarea unghiului AOC
și este semidreapta opusă lui OM, arătați că ON este bisectoarea unghiului BOD.
Ipoteză: S S AOC BOD , opuse la vârf; OM bisectoarea SAOC ;
OM și ON semidrepte opuse.
Concluzie: ON este bisectoarea SBOD .
Demonstrație: S S AOC BOD , opuse la vârf Þ º S S AOC BOD ;
Dacă OM bisectoarea S SS AOC AOM MOC Þ º (1).
OM și ON semidrepte opuse punctele M, O, N coliniare și AOM,
BON opuse la vârf. Deci AOM BON (2). Analog se arată că MOC NOD (3).
Din relațiile (1), (2) și (3) obținem BON NOD ON este bisectoarea BOD.
2. Fie O un punct situat pe segmentul AAʹ și B,Bʹ două puncte de o parte şi de alta a dreptei AAʹ.
a) Dacă S AOB º S AʹOBʹ, atunci semidreptele OB și OBʹ sunt opuse;
b) Dacă două unghiuri congruente AOB şi AʹOBʹ au laturile OA, OAʹ semidrepte opuse, iar OB, OBʹ sunt
de o parte şi de alta a dreptei AAʹ, atunci cele două unghiuri sunt opuse la
vârf.
Ipoteză: a) O Î AAʹ; B, Bʹ de o parte și de alta a dreptei AAʹ;
S S AOB A OB º ' '; b) S S AOB A OB º ' '; OA, OAʹ semidrepte
opuse; OB, OBʹ de o parte și de alta a dreptei AAʹ.
Concluzie: a) OB, OBʹ semidrepte opuse; b) S S AOB A OB ,'' sunt
opuse la vârf.
ON
Þ S
S S º S S º S
S º S Þ S
3. Trei sau mai multe unghiuri cu același vârf, fără puncte interioare comune și care reunite
cu interioarele lor dau întreg planul, se numesc unghiuri în jurul unui punct.
4. Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este egală cu 360o
.
142
Demonstrație: a) SS S A OB BOA BOB ' ' ' 180 ' 180 + = °Þ = ° . Deci OB, OBʹ sunt semidrepte
opuse. b) aceeași rezolvare ca la punctul a).
Observație: Aceste enunțuri formează teoremele reciproce ale unghiurilor opuse la vârf.
1. Observă configurațiile din figura 1 și selectează
afirmațiile adevărate:
a) Unghiurile AOB și AʹOBʹ sunt opuse la vârf;
b) Unghiurile ETD și FTC sunt opuse la vârf;
c) Unghiurile AOBʹ și AʹOB nu sunt opuse la vârf;
d) Unghiurile ETF și CTD nu sunt opuse la vârf.
2. Observă figura 2 și selectează
afirmațiile adevărate:
a) unghiurile AOB, BOC, COD, DOE și AOE sunt unghiuri în jurul unui punct;
b) unghiurile AOB, BOC, COD şi DOE nu sunt unghiuri în jurul unui punct;
c) unghiurile AOB, BOD şi AOE nu sunt unghiuri în jurul unui punct;
d) unghiurile AOC, COE şi AOE sunt unghiuri în jurul unui punct;
e) unghiurile AOC, BOD, DOE şi AOE sunt unghiuri în jurul unui punct.
3. a) Reprodu în caiet desenul alăturat (figura 3);
b) Scrie unghiul opus la vârf unghiului AOC, apoi scrie încă trei
perechi de unghiuri opuse la vârf;
c) Determină măsurile unghiurilor FOD, COF şi AOD;
d) Trasează bisectoarele unghiurilor AOC și BOC și arată că acestea
formează un unghi drept.
4. Cu notațiile din desenul
alăturat determină măsurile
unghiurilor XOU și XOV.
5. Cu notațiile din desenul
alăturat, determină măsura
unghiului COD.
6. Cu notațiile din desenul
alăturat determină măsura
unghiului AOB.
7. În triunghiul ABC, punctul M aparține laturii BC, astfel încât SBAM = ° 28 și SMAC = ° 52 .
Bisectoarea unghiului BAM intersectează latura BC în punctul D, iar bisectoarea unghiului
MAC intersectează latura BC în punctul E. Află măsura unghiului DAE.
8. În triunghiul BAC, punctul M aparține laturii BC. Trasează bisectoarele unghiurilor AMB și
AMC și arată că acestea formează un unghi drept.
9. Măsurile a trei unghiuri în jurul unui punct sunt direct proporționale cu numerele 7, 11 și
12. Află măsurile celor trei unghiuri.
143
Modelează următorul scenariu: Titlul „Unghiuri”, un personaj folosind deplasările
desenează o pereche de unghiuri opuse la vârf şi spune „Acestea sunt unghiuri opuse la
vârf ”. Apoi şterge desenul şi repetă cu unghiuri adiacente.
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului corect și vei obține un cuvânt surpriză:
1. Complementul unghiului cu măsura de 80o
are măsura de
a) b) c) d)
6o 16o 176o
166o
2. Bisectoarele a două unghiuri adiacente cu măsurile de 74o
și, respectiv 16o
formează un
unghi cu măsura de
s) t) u) v)
45o 29o 16o 34o
3. Bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf formează un unghi
a) b) c) d)
ascuțit nul alungit propriu
4. O semidreaptă inclusă în interiorul unui unghi și cu originea în vârful unghiului,
formează cu laturile acestuia unghiuri cu măsurile 42o
, respectiv 17o
. Atunci măsura
unghiului este
s) t) u) v)
48o 73o 59o 123o
5. O semidreaptă inclusă în exteriorul unui unghi, cu originea în vârful unghiului, formează
cu laturile acestuia unghiuri cu măsurile 152o
, respectiv 143o
. Atunci măsura unghiului
este
t) ț) u) v)
275o 65o 95o 9o
1 2 3 4 5 6 7

144
6. Suma măsurilor suplementelor a două unghiuri este 148o
. Atunci suma măsurilor unghiurilor este
g) h) i) j)
360o 32o 212o 90o
7. Diferența dintre măsura suplementului unui unghi și a complementului altui unghi este
de 137o
. Diferența măsutilor celor două unghiuri este
t) u) v) w)
47o 147o 223o 43o
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, în spațiile punctate, scrie cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Dacă două unghiuri au suma măsurilor egală cu 180o
, acestea se numesc ... .
2. Două unghiuri cu același vârf și care au laturile în prelungire se numesc ... .
3. Bisectoarea unui unghi propriu este semidreapta cu originea în vârful unghiului,
situată în interiorul acestuia și care formează cu laturile unghiului inițial ....
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Unghiurile și din figura alăturată sunt:
a) obtuze; b) opuse la vârf;
c) adiacente; d) drepte.
2. Suplementul unghiului are măsura de:
a) 50o
; b) 60o
; c) 40o
; d) 130o
.
3. Bisectoarea unghiului formează cu semidreapta un unghi de:
a) 50o
; b) 65o
; c) 25o
; d) 35o
.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:
5p
5p
10p
10p
1. a) Se consideră două unghiuri adiacente, suplementare și .
Determinați măsurile celor două unghiuri știind că măsura unghiului este
de două ori mare decât măsura unghiului . b) Desenați cele două unghiuri
și bisectoarele acestora și determinați măsura unghiului format de acestea.
2. Se consideră dreapta , punctul situat între și și punctele și de
o parte și de alta a dreptei , astfel încât , iar .
Realizați desenul și aflați măsura unghiului .
3. Se consideră perechile de unghiuri adiacente: AOB, BOC, respectiv BOC și
. Știind că și , aflați măsura unghiului
, astfel încât punctele și să fie coliniare și realizați desenul
corespunzător.
AOC BOD
AOD
BOD OD
AOB BOC
AOB
BOC
AB O A B P Q
AB POB = 81o S BOQ = 99o S
AOQ
COD AOB = 72 10¢ o S COD = 65 20¢ o S
BOC A,O D
145
Unitatea de învățare: Perpendicularitate
A1. În imaginea alăturată, firul cu plumb formează
cu linia de bază a zidului un unghi drept și este
folosit pentru a determina verticalitatea acestuia,
iar dreptele de pe tapetul aplicat pe perete formează
patru unghiuri drepte în jurul unui punct.
a) Cum se numesc două drepte concurente care formează un unghi drept?
b) Cum se numesc două drepte care nu sunt perpendiculare?
A2. Trasați o dreaptă d, considerați un punct M nesituat pe dreapta d și un punct N situat pe
dreapta d. Cu ajutorul unui echer care are un unghi drept, duceți perpendicularele prin M și,
respectiv, prin N pe d. Câte perpendiculare se pot duce printr-un punct la o dreaptă? Cum se
numește punctul de intersecție a perpendicularei cu dreapta d?
A3. Pe lungimea unei coli A4, marcați două
puncte, A și B, ca în imaginea dată și pliați foaia,
astfel încât punctele A și B să se suprapună după
îndoire. Notați cu d dreapta după care ați realizat
plierea și cu M intersecția dreptelor d și AB.
a) Precizați poziția dreptelor d și AB, una față de
cealaltă, și poziția punctului M pe segmentul AB;
b) Cum se numesc punctele A și B situate de o parte și de alta a dreptei d, dacă dreptele d și AB
sunt perpendiculare, iar punctul lor de intersecție este mijlocul lui AB? Mijlocul M al
segmentului AB este centrul de simetrie al capetelor segmentului?
c) Cum se numește perpendiculara pe mijlocul unui segment? Este mediatoarea unui segment
axa de simetrie a segmentului?
LECȚIA 4. Drepte perpendiculare în plan. Mediatoarea unui segment
146
Exemplu: Dacă dreptele a şi d sunt perpendiculare, notăm a d ^ .
3. Construcții geometrice
Construcția cu echerul și cu rigla a unei perpendiculare dintr-un punct
exterior pe o dreaptă
Pasul 1. Așezăm echerul, astfel încât una dintre laturile unghiului drept să fie pe dreapta d şi
cealaltă să fie pe punctul M.
Pasul 2. Trasăm dreapta care conține punctul M.
Pasul 3. Continuăm dreapta dincolo de M, cu ajutorul unei rigle.
Pasul 4. Notăm cu P punctul de intersecţie a perpendicularei cu dreapta d , pe care îl numim
piciorul perpendicularei. Lungimea segmentului MP este distanţa de la punctul M la dreapta
d. Observație: Analog se construiește perpendiculara într-un punct al dreptei d.
Construcția cu compasul și cu rigla negradată
a unei perpendiculare dintr-un
punct exterior pe o dreaptă
Pasul 1. Cu acul compasului în P
construim un arc de cerc care intersectează
dreapta d în punctele M și N.
Pasul 2. Cu acul compasului în M și N și cu aceeași deschidere a compasului trasăm două arce de cerc care se intersectează în Q.
Pasul 3. Trasăm cu rigla dreapta PQ, perpendiculara din P pe d.
Pasul 4. Notăm perpendiculara cu dʹ și marcăm unghiul drept.
Construcția cu compasul și cu rigla
negradată a unei perpendiculare pe o
dreaptă într-un punct al ei
1. Două drepte concurente și care formează un unghi de 90o se
numesc drepte perpendiculare. Două drepte perpendiculare
formează patru unghiuri drepte.
2. Două drepte concurente care nu sunt perpendiculare se
numesc oblice.
147
Pasul 1. Construim un cerc cu centrul în punctul M
și care intersectează dreapta d în punctele A și B.
Pasul 2. Cu centrele în A și B și cu aceeași
deschidere a compasului trasăm două arce de cerc
care se intersectează în N.
Pasul 3. Trasăm cu rigla dreapta MN,
perpendiculara în M pe d.
Pasul 4. Notăm perpendiculara cu dʹ și
marcăm unghiul drept.
Exemplu: Considerăm punctele: A Ï d, C Î d. Dacă AB d ^ , B Î b, B
se numește piciorul perpendicularei din A pe dreapta d. Distanța de la
A la dreapta d este ,
Exemplu: Dreapta d perpendiculară pe segmentul AB, în mijlocul M al acestuia, este
mediatoarea acestui segment.
6. Construcții geometrice
Construcția cu rigla și echerul a
mediatoarei unui segment
Pasul 1. Considerăm un segment OS de lungime dată, căruia îi marcăm mijlocul .
Pasul 2. Construim, cu echerul, perpendiculara pe segmentul OS, în punctul .
Pasul 3. Prelungim mediatoarea cu ajutorul unei rigle .
Pasul 4. Notăm mediatoarea, marcăm unghiul drept și segmentele congruente.
Construcția cu rigla negradată și compasul a mediatoarei unui segment
Pasul 1. Considerăm un segment AB şi trasăm un arc de cerc cu
centrul în punctul A.
Pasul 2. Cu aceeași deschidere a compasului, trasăm un arc de
cerc cu centrul în B. Dacă cele două arce de cerc nu se intersectează în două puncte distincte,
atunci refacem construcția cu o deschidere mai mare a compasului.
Pasul 3. Trasăm cu rigla dreapta determinată de cele două puncte de intersecție ale arcelor.
d A d AB ( ) , = d Cd ( ) , 0. =
M
M
4. Distanța de la un punct exterior la o dreaptă este lungimea segmentului determinat de
punct și de piciorul perpendicularei din punct pe dreaptă.
Distanța de la un punct al dreptei la dreaptă este egală cu 0
5. Mediatoarea unui segment este dreapta
perpendiculară pe segment şi care trece prin mijlocul său.
148
Pasul 4. Notăm mediatoarea, marcăm unghiul drept și segmentele congruente.
Exemple: Punctele A și C, triunghiurile JKL și OQM, segmentele EH și BG sunt simetrice în
raport cu dreapta d.
Folosind numai rigla (negradată) şi compasul, să desenăm cu grijă:
- Trei puncte A, B, C diferite şi nesituate pe aceeaşi dreaptă.
- Mediatoarea segmentului AB şi perpendiculara din C pe AB. Mediatoarea segmentului AB și
perpendiculara din C pe AB sunt paralele?
- Mediatoarea segmentului AC și notăm cu O intersecţia mediatoarelor segmentelor AB și AC;
- Perpendiculara din O pe BC.
1. Fie ascuțit, OX bisectoarea sa şi OX ʹ semidreapta opusă acesteia. Prin O se duce
perpendiculara pe OX pe care se iau punctele C şi D, astfel încât O este
situat între C și D, cu semidreptele OC și OB de aceeași parte a dreptei
OX. Comparați:
a) și ; b) și ; c) şi .
Ipoteză: ascuțit; OX bisectoarea ; OX și OX’
semidrepte opuse; , O între C și D.
Concluzie: a) şi ; b) și ; c) şi
Demonstrație:
a) OC OX DOX COX AOD DOX AOX AOX ^ Þ = = °Þ = - = °- S S SSS S 90 90 ,
SSS S BOC COX BOX BOX = - = °- 90 , dar OX bisectoarea S SS AOB AOX BOX Þ = ,
deci S S BOC AOD = .
b) SSS S AOC COX AOX AOX = + = °+ 90 și SSS BOD DOX BOX = + =° 90 , iar
S S AOX BOX = , deci S S AOC BOD º .
c) S SS S AOX XOX AOX AOX ' ' 180 = - = °- și S SS S BOX XOX BOX BOX ' ' 180 = - = °- ,
iar S S AOX BOX = , deci S S AOX BOX ' ' = .
SAOB
SBOC SAOD SAOC SBOD SAOX¢ SBOX¢
SAOB SAOB
OC OX ^ : DÎOC
SBOC SAOD SAOC SBOD SAOX¢
SBOX¢.
7. Două puncte sunt simetrice în raport cu o dreaptă, numită axă
de simetrie, dacă dreapta este mediatoarea segmentului determinat
de cele două puncte.
8. Două figuri geometrice sunt simetrice în raport cu o dreaptă,
dacă simetricul fiecărui punct al unei figuri aparține celeilalte.
149
2. Demonstrați că două unghiuri cu același vârf și cu laturile respectiv perpendiculare sunt
congruente dacă ambele sunt ascuțite sau obtuze.
Ipoteză: ascuțite sau obtuze;
; .
Concluzie: .
Demonstrație: Considerăm desenul alăturat unde unghiurile sunt
ascuțite și avem: și
, deci .
Dacă ambele unghiuri sunt obtuze, avem: și
, deci .
1. Reprodu desenul alăturat, scrie perechile de drepte perpendiculare și
perechile de drepte oblice.
2. Desenează o dreaptă d, un punct A pe această dreaptă şi un punct B
exterior ei. a) Construiește cu ajutorul echerului perpendicularele în A şi din B, pe dreapta d;
b) Construiește un punct care se află la distanţa de 3,5 cm de dreapta d.
3. a) Desenează un pătrat și scrie patru perechi de drepte perpendiculare corespunzătoare
desenului realizat. Trasează diagonalele pătratului și precizează poziția acestora, una față de
cealaltă și poziția lor față de laturile pătratului;
b) Desenează un dreptunghi și scrie patru perechi de drepte perpendiculare corespunzătoare
desenului realizat. Trasează diagonalele dreptunghiului și precizează poziția acestora, una
față de cealaltă, și poziția lor față de laturile dreptunghiului;
c) Desenează un cub ABCDAʹBʹCʹDʹ. Determină distanța de la punctul A la dreapta BC, de
la punctul Aʹ la dreapta AB, de la punctul C la dreapta DDʹ;
d) Desenează un paralelipiped dreptunghic MNPQMʹNʹPʹQʹ. Determină distanța de la
punctul Q la dreapta NP, de la punctul M ʹ la dreapta QʹPʹ, de la punctul Q la dreapta MMʹ;
e) Desenează o piramidă cu baza un pătrat ABCD și vârful V. Precizează poziția, una față de
cealaltă, a dreptelor: VB și BC, VA și VD, AB și AD.
4. a) Desenează o dreaptă a și un punct A exterior ei; b) Trasează perpendiculara prin A pe
dreapta a și notează piciorul acesteia pe a cu B; c) Trasează o oblică la dreapta a, prin A, și
notează intersecția lor cu C; d) Compară distanța de la punctul A la dreapta a cu lungimea
segmentului AC de pe oblica dusă la punctul c).
S S AOB COD ,
OC OA ^ OD OB ^
S S AOB COD º
AOB AOC BOC BOC = - =- 90o SSS S
COD BOD BOC BOC = - =- 90o S SS S S S AOB COD º
AOB AOC BOC BOC = + =+ 90o SSS S
COD BOD BOC BOC = + =+ 90o S SS S S S AOB COD º
150
5. a) Desenează o dreaptă a și fixează un punct O pe ea; b) Trasează perpendiculara prin O la
dreapta a și indică piciorul perpendicularei; c) Trasează o oblică la dreapta a, prin punctul O
și precizează poziția acesteia față de perpendiculara dusă prin O la a; d)
Printr-un punct P al dreptei a, diferit de O, trasează o perpendiculară pe
a și precizează poziția acesteia față de perpendiculara dusă prin O pe a.
6. Reprodu paralelogramul din desenul alăturat și precizează:
a) distanța de la D la AB, știind că piciorul perpendicularei din D pe AB este E;
b) distanța de la D la BC, știind că piciorul perpendicularei din D pe BC este F;
c) distanța de la C la AB, știind că piciorul perpendicularei din C pe AB este G;
d) distanța de la A la BC, știind că piciorul perpendicularei din A pe BC este H.
7. Identifică segmentul și mediatoarea sa
din figurile geometrice alăturate.
8. Construiește un segment de 6 cm şi
mediatoarea acestuia.
9. Desenează o dreaptă d şi un punct A exterior ei. Construiește segmentul AB, astfel încât
dreapta d să fie mediatoarea acestuia.
10. Completează spaţiile libere, urmărind notațiile din figura alăturată.
a) Simetricul lui A în raport cu d1 este ...;
b) Punctele A şi C sunt simetrice în raport cu ...;
c) Simetricul lui E în raport cu d1 este ...;
d) Simetricul lui F în raport cu d2 este ...;
e) Simetricul lui O în raport cu d1 este ...;
f) Simetricul punctelor H şi I în raport cu d1, respectiv d2, este ....
A B
D C
151
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare răspunsului
corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. Mediatoarea unui segment este
o) p) q) r)
paralelă cu
segmentul
identică cu
segmentul oblică pe segment perpendiculară pe
segment
2. Dintr-un punct exterior unei drepte se pot coborî perpendiculare pe dreaptă
h) i) j) k)
exact două, dar
paralele exact una niciuna exact două, dar în
prelungire
3. Pentru a desena mediatoarea unui segment cu ajutorul riglei și al compasului, construim
un număr de arce egal cu
d) e) f) g)
0 1 2 3
4. Simetricul lui A față de mediatoarea MN a segmentului AB este
i) j) k) l)
A M N B
5. Distanța de la A la mediatoarea MN a segmentului AB, care intersectează AB în P, este
z) a) b) c)
AM AP AB AN
1 2 3 4 5

152
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, în spațiile punctate, scrie cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Două drepte concurente care formează un unghi drept se numesc ... .
2. Lungimea segmentului care unește punctul cu piciorul perpendicularei duse din
acel punct pe dreaptă este ... de la un punct la o dreaptă.
3. Printr-un punct exterior unei drepte sau printr-un punct care aparține dreptei se
poate duce o singură ... la acea dreaptă.
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Fie un segment și mediatoarea sa, iar . Dacă cm,
atunci lungimea segmentului este egală cu:
a) 12cm; b) 6cm; c) 14cm; d) 8cm.
2. Semidreptele și sunt perpendiculare. Bisectoarea unghiului
formează cu cele două semidrepte unghiuri cu măsura de:
a) 90o
; b) 180o
; c) 45o
; d) 55o
.
3. Se consideră un pătrat cu latura de 3 cm. Distanța de la punctul la
dreapta este de:
a) 6cm; b) 2cm; c) 4cm; d) 3cm.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Desenați: un segment cu lungimea de 6 cm, mediatoarea segmentului
și un punct situat la distanța de 4 cm față de dreapta .
2. Folosind notațiile din desenul alăturat, în care ABCD
este un pătrat, scrieți: a) mediatoarea segmentului
AB ; b) lungimea distanței de la Q la BC ; c) o
dreaptă perpendiculară pe AB ; d) o dreaptă oblică
față de P Q ; e) simetricul punctului C în raport cu
dreapta P Q .
3. Fie ascuţit, dreptele și , astfel încât punctele și
sunt de aceeași parte a dreptei . Arătați că bisectoarele unghiurilor
și sunt perpendiculare.
AB d d AB O Ç = { } OB = 6
AB
OA OB AOB
ABCD B
AD
AB AB
P AB
SAOB OM OA ^ ON OB ^ M
N OB
AOB MON
Q
8 cm
A B
D C
P
8 cm
4 cm
153
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Două drepte concurente care nu sunt perpendiculare se numesc ... .
2. Intersecția dintre o dreaptă și perpendiculara pe aceasta, dusă dintr-un punct
exterior ei, se numește ... perpendicularei.
3. Dreapta perpendiculară pe un segment, dusă prin mijlocul acestuia, se numește
... .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Cele două segmente în care mediatoarea împarte un segment de 18 cm au
lungimea de:
a) 18 cm; b) 6 cm; c) 9 cm; d) 16 cm.
2. Fie un punct situat la distanța de 4,5 cm față de o dreaptă și simetricul
său în raport cu dreapta . Distanța de la la dreapta este de:
a) 9 cm; b) 4,5 cm; c) 4 cm; d) 8 cm.
3. Suma măsurilor a trei dintre cele patru unghiuri formate în jurul unui punct de
două drepte perpendiculare este de:
a) 180o
; b) 90o
; c) 360o
; d) 270o
.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Desenați: o dreaptă , un punct situat la distanța de 3 cm față de și
simetricul lui în raport cu dreapta .
2. Folosind notațiile din desenul alăturat, în care
este un pătrat, scrieți: a) mediatoarea segmentului ;
b) lungimea distanței de la la ; c) o dreaptă
perpendiculară pe ; d) o dreaptă oblică față de ;
e) simetricul punctului față de dreapta .
3. Fie unghiul ascuţit, , astfel încât .
Determinați măsura unghiului , dacă este bisectoarea şi
este bisectoarea .
A d A¢
d A¢ d
d M d
M d
ABCD
DC
C AB
AD CD
B PQ
SDOE OM OD ^ ON OE ^ MON =140o S
SXOY OX SMOD OY
SNOE
154
Unitatea de învățare: Paralelism
A1. Imaginile reprezintă: o casă ultramodernă, o parte din harta orașului New
York şi podul Anghel Saligny de la Cernavodă, detaliu.
Amintiți-vă cum se numesc două drepte care nu au niciun punct comun. Apoi,
selectaţi un paralelipiped format de pereţii casei, un dreptunghi format de
străzile longitudinale cu străzile transversale ale New York-ului şi un stâlp de
susţinere a podului Cernavodă şi daţi exemple de
perechi de muchii paralele ale paralelipipedului
ales, perechi de străzi paralele ale dreptunghiului
ales şi perechi de grinzi paralele ale stâlpului de
susținere ales.
A2. Desenați, în caiete, o dreaptă d și un punct N nesituat pe d. Poziționați o
riglă și un echer, ca în desenul dat, şi deplasați echerul pe rigla fixată, până
când latura de pe dreaptă trece prin punctul N. Apoi trasaţi o dreaptă de-a
lungul acestei laturi a echerului.
a) Ce poziție are dreapta trasată astfel, față de dreapta d ?
b) Câte drepte paralele cu d puteţi duce prin punctul N?
c) Fixați un punct M, diferit de N și care nu aparține dreptei d. Repetați construcția anterioară
pentru punctul M și precizați poziția dreptei, dusă prin M, față de cele două drepte paralele de
la a).
Exemplu: Dreptele d1, d2 sunt paralele și notăm d1 dP 2, d1Ç d2 = . Æ
1. Două drepte din același plan, care nu au niciun punct comun, se numesc drepte paralele.
LECȚIA 5. Drepte paralele; axioma paralelelor. Aplicații practice
155
Consecințe:
a) Două drepte distincte, paralele cu o a treia (f||h, g||h), sunt paralele între ele (f||g)
tranzitivitatea relației de paralelism).
Justificare: Într-adevăr, dacă cele două drepte distincte ar avea un
punct comun, atunci prin acest punct ar trece două paralele la dreapta
a treia, ceea ce contrazice axioma paralelelor.
b) Dacă două drepte sunt paralele (f||g), atunci orice dreaptă care o intersectează pe una
( ) o intersectează și pe cealaltă ( ) (Dreapta j
este secanta la două drepte paralele).
Justificare: Într-adevăr, dacă o dreaptă ar intersecta numai una
dintre cele două paralele, atunci prin punctul de intersecție ar trece
două paralele la cealaltă paralelă, ceea ce contrazice axioma
paralelelor.
Vorbind de şine de tren şi macazuri:
– să punem în evidenţă drepte paralele şi drepte secante;
– să dăm o intrepretare pentru axioma paralelelor;
– să dăm o interpretare pentru consecinţele axiomei
paralelelor.
1. Se consideră dreapta d, punctul A, care nu aparţine lui d şi punctele distincte B și C, astfel
încât AB și AC sunt paralele cu d. Demonstrați că punctele A, B, C sunt coliniare.
Ipoteză: ; ; AB d; .
Concluzie: A, B, C coliniare.
Demonstrație: Utilizând proprietatea de tranzitivitate a
paralelismului, avem: și .
Cum prin A trece o singură paralelă la d (axioma
paralelelor), rezultă că AB și AC se confundă. Deci
punctele A, B, C sunt coliniare.
f j Ç ¹Æ g j Ç ¹ Æ
A Î d B C¹ P AC d P
AB d P AC d P Þ AB AC P
2. Axioma paralelelor (Euclid): Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o unică
paralelă la acea dreaptă.
156
1. Reprodu desenul alăturat și scrie perechile de drepte paralele și perechile
de drepte perpendiculare, folosind simbolurile și .
2. În desenul alăturat, triunghiul AʹBʹCʹ s-a obținut din triunghiul ABC
prin translația acestuia spre dreapta, cu 10 pătrățele.
a) Scrie perechile și tripletele de drepte paralele obținute prin această
translație, folosind notația „ ”;
b) Completează spațiile punctate cu unul dintre simbolurile sau , pentru a obține
propoziții adevărate:
AB … AʹBʹ, AC … AʹCʹ, BC … BʹCʹ, AAʹ … BBʹ … CʹCʹ,
CB … AʹCʹ, S A … S Aʹ, S B … S Bʹ, S C … S Cʹ, S A … S Cʹ.
c) Dacă segmentul AʹBʹ se obține din segmentul AB, printr-o translație, ce poți afirma despre
poziția unuia față de celălalt și despre lungimile lor?
d) Dacă unghiul AʹBʹCʹ se obține din unghiul ABC, printr-o translație, ce poți afirma depre
măsurile lor?
3. Trasează o dreaptă d și ia un punct nesituat pe d. Du paralela a și perpendiculara b la
dreapta d, folosind un echer cu un unghi drept. Precizează poziția dreptei b față de a.
Completează spațiile punctate pentru a obține propoziții adevărate:
a) Două perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt …; b) Dacă două drepte sunt paralele, o
perpendiculară pe una dintre ele este … și pe cealaltă.
4. Dacă dreptele a și b sunt paralele, iar dreapta d este perpendiculară pe
a, ce poziție are dreapta d față de b?
5. În desenul alăturat, este un pătrat, iar este un
dreptunghi. Completează spațiile punctate cu simbolurile sau
, pentru a obține propoziții adevărate:
a) AB ... DE; b) AD ... EF; c) BC ... FG; d) DF ... AB.
6. În desenul alăturat, este un paralelipiped. Scrie toate
dreptele paralele cu: a) ; b) ; c) .
7. Stabilește valoarea de adevăr a enunțului: „Dacă dreptele d1, d2 sunt
paralele şi dreptele d2, d3 nu sunt paralele, atunci dreptele d1, d3 nu
sunt paralele”.
8. Câte paralele se pot construi prin punctele necoliniare M, N, P la dreptele NP, MP și,
respectiv, MN? Justifică răspunsul dat.
9. Desenează o dreaptă d și un punct P situat pe aceasta. Trasează o paralelă la d, printr-un
punct M care aparține perpendicularei pe d în P, folosind echerul și rigla.
„ ”P „ ” ^
P
„ ” º „ ” º/
M
ABCD DEFG
„ ”P
„ ”P
ABCDA B C D ¢¢¢¢
AA¢ BC D¢C¢
157
A1. Dreptele a, b, c formează cu secantele s şi s' unghiuri
numerotate de la 1 la 24. Dacă ne referim la cvartetele de unghiuri
1, 2, 3, 4, respectiv 5, 6, 7, 8 formate fiecare în jurul unui punct,
ținând seama de pozițiile lor faţă de dreptele a, b și secanta s,
observăm că se formează următoarele perechi remarcabile de
unghiuri:
alterne externe: (1,7) și (2,8); alterne interne: (3,5) și (4,6);
corespondente: (1,5); (2,6); (3,7); (4,8);
externe de aceeași parte a secantei: (1,8); (2,7);
interne de aceeași parte a secantei: (3,6); (4,5).
a) Scrieţi perechile de unghiuri remarcabile formate de dreptele
a, b şi secanta s';
b) Pentru dreptele paralele b, c şi secanta s, comparaţi prin măsurare unghiurile alterne interne,
7 şi 9, apoi precizaţi dacă cealaltă pereche de unghiuri alterne interne (8,10) are aceeași
proprietate. Repetaţi procedeul pentru perechile de unghiuri alterne externe, respectiv
corespondente;
c) Tot pentru dreptele paralele b, c şi secanta s, măsuraţi şi calculaţi suma măsurilor unghiurilor
interne de aceeaşi parte a secantei, 7 şi 10. Apoi, precizaţi dacă cealaltă pereche de unghiuri
interne de aceeaşi parte a secantei (8,9) are aceeași proprietate.
A2. Echerele din figura alăturată sunt identice.
a) Numiți și comparați unghiurile 1 și 2;
b) Precizați ce poziție are dreapta a față de dreapta d.
1. Dacă
două drepte
intersectate
de o secantă
formează o
pereche de
unghiuri
alterne interne
congruente atunci
unghiurile
din cealaltă
pereche de
unghiuri
alterne interne
sunt
externe externe congruente.
corespondente corespondente
interne de
aceeaşi
parte a
secantei
suplementare
interne de
aceeaşi
parte a
secantei
suplementare.
externe externe
LECȚIA 6. Criterii de paralelism
158
Consecinţă: Două unghiuri cu laturile, respectiv paralele, sunt congruente sau suplementare.
2. Dacă două drepte
intersectate de o
secantă formează o
pereche de unghiuri
alterne interne
congruente. atunci cele
două drepte
sunt paralele.
externe
corespondente
interne de aceeaşi parte a secantei suplementare. externe
3. Două drepte paralele
intersectate de o
secantă formează
perechi de unghiuri
alterne interne
externe congruente.
corespondente
interne de aceeaşi parte a secantei suplementare. externe
1. Arătați că două drepte a și b, perpendiculare pe aceeași dreaptă d, sunt paralele.
Ipoteză: a d; b d.
Concluzie: a b.
Demonstrație: (1).
și sunt unghiuri corespondente, formate de dreptele a și
cu secanta (2). Din afirmațiile (1) și (2) rezultă că .
2. Arătați că, dacă o dreaptă d este perpendiculară pe o dreaptă a, atunci d este perpendiculară
pe orice dreaptă b paralelă cu a.
Ipoteză: d a; a b şi d a={A},
Concluzie: d b ^ .
Demonstrație: Dreptele paralele a și b formează cu secanta d ,
unghiurile corespondente A1 și B1 congruente. Cum 1 A = 90o S
(pentru că d a ^ ) și S S A B 1 1 º Þ 1 B = 90o S , deci d b ^ .
1. Pentru figura geometrică din desenul alăturat, în care dreptele
DE și FG sunt intersectate de secanta AH, scrie perechile de
unghiuri:
a) alterne interne; b) alterne externe; c) corespondente; d) interne
de aceeași parte a secantei; e) externe de aceeași parte a secantei.
^ ^
P
1
1 1
1
90
90
ad A
A B
bd B
^Û = üï
ý Þ º
^Û = ïþ
o
o
S
S S
S
SA1 SB1 b
d a bP
^ P Ç db B Ç ={ }
159
2. În desenul alăturat, dreptele d și dʹ formează cu secanta AB
unghiurile A1 și B1, astfel încât și . Precizează
dacă dreptele d și dʹ sunt sau nu paralele și justifică răspunsul dat.
3. Pentru fiecare figură
geometrică alăturată,
precizează dacă dreptele a și
b sunt paralele sau nu și
justifică răspunsurile date.
4. Pentru figura geometrică alăturată, indică ce tip de pereche de
unghiuri formate de două drepte și o secantă reprezintă
următoarele unghiuri:
a) BAD și GBC; b) ADE și DAB; c) ADE și BCD;
d) DCI și ABC; e) FAH și CBG; f) ADC și BAD;
g) FAH și JBG.
Specifică, în fiecare caz, cele două drepte și secanta.
5. Află măsurile unghiurilor , din
desenul alăturat, știind că și .
1 A = 75o S 1 B = 76o S
123 A , , A A 5678 BBBB ",
a bP 4 A = 37o S
160
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului corect și vei obține un cuvânt surpriză.
În figura alăturată,
1. O pereche de unghiuri alterne interne sunt
o) p) q) r)
BAD, FAG BAD, JBA ABE, BED JBA, HDI
2. O pereche de unghiuri alterne externe
a) b) c) d)
FAG, EBK BAD, JBA ABE, BED JBA, HDI
3. O pereche de unghiuri interne de aceeași parte a secantei
p) q) r) s)
FAG, EBK BAD, JBA FAB, ABJ BAD, FAG
4. O pereche de unghiuri externe de aceeași parte a secantei
a) b) c) d)
FAG, HDI FAG, EBK BAD, JBA ABE, BED
5. O pereche de unghiuri corespondente
l) m) n) o)
FAG, ABJ FAG, EBK BAD, JBA FAB, ABJ
6. O pereche de drepte paralele
e) f) g) h)
BE, AD AB, AK DE, FI CE, GA
7. Pentru paralele AD și BE nu e secantă
l) m) n) o)
AF AB AG AK
1 2 3 4 5 6 7

161
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie în spațiile punctate, cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Două drepte coplanare care nu au niciun punct comun se numesc ... .
2. Două drepte distincte paralele cu o a treia dreaptă sunt ... între ele.
3. Două drepte paralele tăiate de o secantă formează perechi de unghiuri alterne
interne ... .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Două drepte paralele formează cu o secantă o pereche de unghiuri corespondente
cu măsurile și 71o
. Valoarea lui x este egală cu:
a) ; b) ; c) ; d) .
2. Două drepte paralele formează cu o secantă o pereche de unghiuri externe de
aceeași parte a secantei cu măsurile și 121o
. Valoarea lui este egală cu:
a) 59o
; b) 121o
; c) 69o
; d) 180o
.
3. Dacă este un dreptunghi, atunci este adevărată afirmația:
a) AD ∦ BC ; b) ; c) ; d) .
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Desenați: un unghi cu măsura de 60o
și paralela la , astfel încât
punctele și sunt de o parte și de alta a dreptei .
Determinați măsura unghiului .
2. În desenul alăturat, avem și și
. Arătați că și determinați
măsura acestor unghiuri.
3. Arătați că bisectoarele unei perechi de unghiuri alterne interne formate de o
secantă cu două drepte paralele sunt, la rândul lor, paralele.
2x
35 50¢ o 109o 35 30¢ o 119o
y y
ABCD
AC BD P S S ABD BDC º AB CD P
ABC CD AB
A D BC
BCD
AB CD P BC AD P
ABC = 58o S S S BCD DAB º
162
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce ... paralelă la dreapta dată.
2. Dacă două drepte distincte a și b sunt intersectate de o a treia dreaptă c, atunci
dreapta c se numește ... dreptelor a și b.
3. Două drepte paralele tăiate de o secantă formează unghiuri interne de aceeași
parte a secantei ... .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Două drepte paralele formează cu o secantă o pereche de unghiuri interne de
aceeași parte a secantei cu măsurile și x. Valoarea lui x este:
a) ; b) ; c) ; d) .
2. Două drepte paralele formează cu o secantă o pereche de unghiuri alterne externe
cu măsurile și 81o
. Valoarea lui este egală cu:
a) 99o
; b) 27o
; c) 24o
; d) 36o
.
3. Dacă este un dreptunghi, atunci este adevărată afirmația:
a) ; b) ; c) ; d) .
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Desenați: un unghi cu măsura de 110o
și paralela la , astfel încât
punctele și sunt de o parte și de alta a dreptei . Determinați măsura
unghiului .
2. În desenul alăturat, avem și și
. Arătați că unghiurile și sunt
suplementare și determinați măsurile lor.
3. Arătați că bisectoarele unei perechi de unghiuri corespondente formate de o
secantă cu două drepte paralele sunt paralele.
123 22¢ o
56 38¢ o 123 22¢ o 57 38¢ o 56 78¢ o
3y y
ABCD
AD BD P AB CD P S S ABD BDC º AB CD P
ABC CD AB
A D BC
BCD
AB CD P BC AD P
ABC = 62o S BDC ACD
163
Unitatea de învățare: Cercul
A1. a) Citiți ora indicată de ceasul din desen și numiți figurile geometrice descrise
de vârful minutarului, respectiv de vârful limbii orare, de la ora 1010 la ora 1110;
b) Indicați centrul și raza cercului descris de vârful minutarului şi exprimaţi o definiţie a
cercului de centru O şi rază r, unde r este distanţa de la centru la oricare punct al cercului; c)
Cum se numește partea de cerc determinată de două puncte distincte ale cercului şi cum se
numeşte unghiul format de două raze ale cercului, cu extremităţile în aceste puncte? d) Fixați
un punct O în caiet şi construiți un cerc, cu centrul în O, de rază 3 cm, folosind compasul.
Observație: Pentru o descriere cât mai simplă, numim tot:
a) rază și distanța de la centrul cercului la un punct oarecare
al său;
b) diametru și distanța dintre două puncte ale cercului,
diametral opuse, iar aceasta este egală cu dublul razei.
1. Fiind date un punct O și un număr pozitiv r, se numește cerc cu centrul în punctul O și
raza r mulțimea punctelor din plan aflate la distanța r față de punctul O.
Notăm C(O,r).
Elementele uni cerc sunt:
O – centrul cercului (punctul aflat la aceeași distanță de toate punctele cercului);
OC – rază a cercului (un segment determinat de centru și de un punct oarecare al cercului);
DE – coardă (segment determinat de două puncte ale cercului);
AB – diametru (coardă care conține centrul cercului); A, B – puncte diametral opuse;
– arc de cerc este o porțiune a cercului cuprinsă între două puncte ale cercului;
– semicerc este o porțiune a cercului cuprinsă între două puncte diametral opuse.
LECȚIA 7. Cerc; elemente în cerc
164
2. Construcția cercului de centru T și raza TU cu compasul.
Pasul 1: Fixăm centrul T al cercului și alegem un punct U al cercului.
Pasul 2: Fixăm vârful compasului în punctul T și luăm deschiderea TU.
Pasul 3: Rotim vârful care conține creionul din T până ajunge iarăși în T.
Exemplu: Unghiul AOB, din desenul dat, este un unghi la centru.
Să desenăm trei puncte necoliniare: A, B, C şi cercurile C (A,AB),
C (B,BA), care trec prin punctul C.
Să stabilim poziţia punctului C faţă de ambele cercuri.
Să construim diametrele din ambele cercuri care trec prin C.
Să punem în evidenţă, în fiecare cerc: o coardă, un arc mic, un arc mare.
1. Aflați raza unui cerc, care are ca diametru latura unui pătrat, cu perimetrul de 20 cm. Stabiliți
poziția celorlalte două vârfuri ale pătratului față de cerc și justificați răspunsul dat.
3. Un unghi care are vârful în centrul cercului se numește unghi la centru.
Mulțimea punctelor cercului aflate în interiorul unghiului AOB, la care adăugăm punctele A
și B, se numește arc mic al cercului și se notează . Măsura acestuia este egală cu măsura
unghiului AOB, care îl subîntinde.
Mulțimea punctelor cercului aflate în exteriorul unghiului AOB, la care adăugăm punctele A și B,
se numește arc mare al cercului și se notează , unde C este un punct al cercului aflat în exteriorul
unghiului AOB. Măsura acestuia este egală cu 360o –măsura arcului . Măsura unui cerc este de
360o
, iar a unui semicerc este de 180o
.
165
Ipoteză: ABCD pătrat; PABCD = 20 cm; AB diametrul cercului.
Concluzie: r = ?. Poziția punctelor C și D față de cerc
Demonstrație: PABCD = 20 cm AB = BC = CD = DA = 20 : 4 = 5 cm
Þ r = OA = OB =
2
AB
= 2,5 cm. OD este o oblică și va avea lungimea mai mare
decât OA, deci distanța de la O la D este mai mare decât raza OA. Atunci, punctul
D este situat în exteriorul cercului. Printr-un raționament analog, se arată că și punctul C este situat în
exteriorul cercului.
2. Într-un cerc de centru O, se consideră diametrele perpendiculare AB și CD și punctul M,
mijlocul arcului AC. Determinați măsurile arcelor determinate de punctul M și extremitățile
celor două diametre.
Ipoteză: C ; AB, CD diametre; ; M mijlocul arcului AC.
Concluzie:
Demonstrație:
AB CD AOC COB BOD DOA ^ Þ = = = =° SSSS 90 ⟹
. Cum M este mijlocul arcului , deducem
că . Apoi:
. Analog se calculează .
1. Se consideră în plan punctele A și B, astfel încât segmentul AB are lungimea de 4 cm. Desenează:
a) cercul de centru A și raza egală cu AB; b) cercul cu centrul în B și raza egală cu o pătrime din AB;
c) cercul cu diametrul AB; d) cercul cu centrul în mijlocul lui AB și cu raza de 1 cm; e) cercul cu centrul
în B și raza de 5 cm.
2. Desenează un cerc cu centrul într-un punct P și raza de 4 cm, o coardă cu lungimea de 6 cm și una cu
lungimea de 8 cm. În cazul cărei coarde extremitățile acesteia și centrul cercului sunt coliniare ? Ce
poziție au pe cerc extremitățile coardei de 8 cm ? Poți construi o coardă cu lungimea de 9 cm ? Justifică
răspunsul dat.
3. Cercul din centrul unui teren de fotbal are raza de 9,15 m. Stabilește poziția față de acest cerc a trei
jucători, care se află față de centrul terenului la distanța de 8 m, 10,1 m și, respectiv, 9,15 m.
4. Desenează un cerc C , cu r = 5 cm. Reprezintă pe acest cerc un arc cu măsura de 60° , unul cu
măsura de 25° și unul cu măsura de 114° . Marchează coardele corespunzătoare acestor arce și stabilește
care dintre ele are lungimea cea mai mare și care are lungimea cea mai mică.
5. Un semicerc se împarte în 10 arce de măsuri egale. Realizează desenul și află câte grade are fiecare arc.
6. Află: a) diametrul unui cerc a cărui rază este de 5 cm; b) raza unui cerc cu diametrul de 24 cm;
c) raza unui cerc pe care sunt situate două puncte diametral opuse la distanța de 6,4 dm unul față de
celălalt.
Þ Þ
(O r, ) AB CD ^
MA MB MC MD » ", ? » ¼ ¼ =
»AC CB BD DA == == » » » 90o »AC
MA MC » == = ¼ 90 : 2 45 o o
MD MA AD ¼ =+ =+= » » 45 90 135 oo o MB» =135o
(Q r, )
166
A1. Observați imaginea alăturată, în care picăturile apei de
ploaie determină, pe suprafața plană a apei, cercuri şi precizaţi:
a) dacă există cercuri pe care dunga galbenă le taie, le atinge sau
nu le atinge deloc; exprimați matematic poziția dungii galbene
față de cerc, în fiecare dintre cele trei cazuri;
b) dacă există două cercuri care:
- nu se intersectează și sunt situate unui în interiorul celuilalt,
sau unul în exteriorul celuilalt;
- au un singur punct comun și sunt situate unul în interiorul celuilalt, sau unul în exteriorul
celuilalt;
- au două puncte comune.
Exprimați matematic pozițiile celor două cercuri în cazurile enumerate;
c) dacă există două cercuri, astfel încât unul să fie situat în interiorul celuilalt şi să aibă acelaşi
centru; exprimaţi matematic poziţia acestor două cercuri.
A2. În pictura din tablou, dați câte un exemplu de două cercuri din
categoriile: exterioare, tangente exterioare, tangente interioare, secante,
interioare, respectiv concentrice, prezentându-le după culoare.
Fiind date: un punct P, o dreaptă a și un cerc de centru O și rază r:
1. Despre P spunem că este: 2. Despre o dreaptă a spunem că este:
a) interior
cercului b) pe cerc
c) exterior
cercului
a) exterioară
cercului
b) tangentă
cercului
c)secantă
cercului
dacă

OP r < OP r = OP r > dOa r (,) > dOa r (,) = dOa r (,) <
LECȚIA 8. Pozițiile unei drepte față de un cerc.
Pozițiile relative a două cercuri
167
Fiind date două cercuri de centre O și Q, raze R și r, unde R r:
3. Despre C (O.R) şi C (Q,r) spunem că sunt:
exterioare tangente
exterioare
secante tangente
interioare
interioare concentrice
dacă
O ≠ Q O = Q
și
OQ > R + r OQ = R + r R – r < OQ < R + r OQ = R - r OQ < R + r
Să considerăm un punct. Să realizăm un desen prin care să stabilim câte cercuri trec prin
acest punct. Să desenăm unul.
- Să considerăm două puncte distincte. Să realizăm un desen prin care să stabilim câte cercuri
trec prin cele două puncte. Ce puteți afirma despre centrele cercurilor care trec prin capetele
segmentului determinat de cele două puncte?
- Să desenăm două cercuri exterioare unul altuia și două cercuri interioare unul altuia.
1. În dreptunghiul ABCD cu lungimea AB = 7 cm și lățimea BC = 4 cm, în care M este mijlocul
segmentului AB și N este mijlocul segmentului CD, se construiește cercul de centru O şi
diametru MN. Determinați și explicați poziția dreptelor BC și AD față de cercul construit.
Ipoteză: ABCD dreptunghi; AB = 7 cm, BC = 4 cm; M mijlocul
lui AB; N mijlocul lui CD; O centrul cercului de diametru MN.
Concluzie: Poziția dreptelor BC și AD față de cerc.
Demonstrație: M mijlocul lui AB și N mijlocul lui CD
Þ MN = 4 cm raza cercului OM = ON = 2 cm.
Din d(O, BC)= d(O, AD) = 3,5 cm și 3,5 > 2, deducem că dreptele
BC şi AD sunt exterioare cercului.
³
R r >
Þ
Þ
168
2. Se consideră cercurile concentrice C (O, r) și C(O,rʹ), cu diametrele de cm, respectiv
de 1 4
3 cm și punctele coliniare A, C, O, D, B în această ordine, astfel încât A și B se găsesc pe
cercul C (O, r), iar C și D pe cercul C (O, rʹ). Determinați lungimea segmentelor AC și BD.
Ipoteză: C (O,r), C (O,rʹ); cm, cm; A, C, O ,D, B
coliniare; A, B C (O, r)și C, D C (O, rʹ).
Concluzie: AC=? și BD=?
Demonstrație: Deoarece OA = OB = r, OC = OD = rʹ, iar AC = OA – OC
și BD = OB – OC, rezultă AC ≡ BD. Razele celor două cercuri sunt:
25 8,(3) : 2 cm 6
r = = , 1 13 ' 4 : 2 cm
3 6
r = = .
Atunci 25 13 ' 2cm
6 6
AC BD r r = =- = - = .
1. Precizează poziția dreptelor d1, d2 şi d3 față de cercul din figura alăturată.
2. Desenează un cerc cu centrul într-un punct O și raza de 3 cm și dreptele d1,
d2 şi d3, astfel încât distanța de la O la d1 este egală cu 4 cm, distanța de la O
la d2 este egală cu 3 cm și distanța de la O la d3 este egală cu 1,5 cm.
Precizează poziția celor trei drepte față de cerc.
3. O secantă la un cerc dat conține centrul acestuia. Exprimă, în funcție de raza r a cercului, distanța dintre
cele două puncte în care secanta intersectează cercul.
4. Stabilește valoarea de adevăr a propoziției: „Dacă două puncte sunt
situate în exteriorul unui cerc, atunci dreapta determinată de ele
este exterioară cercului.” Justifică răspunsul dat.
5. În figura alăturată sunt reprezentate cercurile C1 ,C2 , C3 și C4.
Identifică poziția fiecăruia din cele patru cercuri în raport cu
celelalte.
6.Construiește cercurile C (O,r), C (O,rʹ) în următoarele cazuri și precizează poziția unuia față de celălalt:
a)r = 3 cm, rʹ = 4 cm, OOʹ=8 cm; b)r = 2 cm, rʹ = 4 cm, OOʹ = 5 cm; c)r = 2 cm, rʹ = 5 cm, OOʹ=7
cm; d)r = 7 cm, rʹ = 2 cm, OOʹ=4 cm; e)r = 6 cm, rʹ = 4 cm, OOʹ = 2 cm; f)r = 3 cm, rʹ = 4 cm, OOʹ=0
cm.
7. Se consideră un segment AB cu lungimea de 6 cm și cercul C (A,4). Află raza cercului cu centrul în
punctul B, tangent cercului C (A, 4).
8. Se consideră cercurile C (I, r1) și C (I, r2). Știind că r1 și r2 sunt direct proporționale cu numerele 3 și 5,
stabilește poziția celor două cercuri.
8,(3)
r = 8,(3) 1 4
3
r¢ =
Î Î
C4
C2
C3 C1
169
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. Dacă punctele A, B se află pe cercul C(O,r), atunci AB nu poate fi
a) b) c) d)
coardă diametru rază un singur punct
2. Dacă distanța dintre centrele a două cercuri este 2cm, atunci cercurile nu pot fi
m) n) o) p)
tangente interioare concentrice exterioare
3. Dacă dreapta d trece prin centrul cercului C(O,r), atunci d este
a) b) c) d)
secantă tangentă rază diametru
4. Fiind date două cercuri, numărul maxim de tangente comune este
o) p) q) r)
0 1 2 3
5. Dacă distanța dintre centrele a două cercuri cu razele de 3cm, respectiv 4cm, este de
5cm, atunci cercurile sunt
a) b) c) d)
interioare tangente interioare tangente exterioare secante
6. Dacă mijlocul segmentului AB se află pe un cerc, atunci, dreapta AB nu poate fi față de cerc
a) b) c) d)
exterioară secantă tangentă diametru
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie în spațiile punctate, cuvintele sau rezultatele care fac
înscrise enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Segmentul care unește centrul cercului cu un punct de pe cerc se numește ... .
2. Arcul de cerc cu extremitățile diametral opuse se numește ... .
3. Dreapta care are un singur punct comun cu un cerc se numește ... la cerc
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p 1. Diametrul unui cerc cu raza de 6 cm are lungimea de:
1 2 3 4 5 6

170
10p
10p
a) 3 cm; b) 12 cm; c) 18 cm; d) 14 cm.
2. Unghiul la centru din cercul de centru are măsura de 73o
. Atunci, arcul
mic are măsura de:
a) 287o
; b) 297o
; c) 73o
; d) 90o
.
3. Două cercuri tangente exterioare au razele de 5 cm și, respectiv, 8 cm. Atunci,
distanța dintre centrele lor este egală cu:
a)13 cm; b)3 cm; c)14 cm ; d) 8 cm.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Un teren de handbal are formă dreptunghiulară cu lungimea de 40 m. La cele două
capete ale terenului sunt desenate două semicercuri cu centrele respectiv în mijlocul
lățimilor și diametrul de 12 m. Ce distanță parcurge un jucător pentru a ajunge de la un
semicerc la altul, deplasându-se pe dreapta care unește centrele celor două semicercuri?
2. Construiți două cercuri interioare, C și C , unde cm, cm și
cm. Determinați lungimea segmentului , unde C și
C , iar punctele și aparțin segmentului . Precizați ce
poziție are o tangentă la cercul C față de cercul C .
3. În cercul C , se consideră două diametre și , astfel încât arcul mic
are măsura de 70o
. Construim semidreapta bisectoarea unghiului ,
C Î C și punctul pe arcul mic , astfel încât măsura arcului este
de 35o
. Arătați că punctele sunt coliniare.
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie cuvintele sau rezultatele care, înscrise în spațiile
punctate, formează enunțuri adevărate.
10p
10p
10p
1. Coarda care trece prin centrul cercului se numește ... .
2. Unghiul format de două raze ale unui cerc se numește unghi ... .
3. Două cercuri care au două puncte comune se numesc ... .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
1. Raza unui cerc cu diametrul de 6 cm are lungimea de:
a) 12 cm; b) 2 cm; c) 14 cm; d) 3 cm.
2. Un arc de cerc al unui cerc de centru are măsura de . Atunci,
are măsura de:
AOB O
AB
(O r, ) (O r¢, ¢) r = 6 r¢ = 2
OO¢ =1 AB {A OO } = ¢Ç (O r, )
{B OO } = Ç¢ (O r¢ ¢ , ) O¢ B OA
(O r¢, ¢) (O r, )
(O r, ) AA¢ BB¢ AB
OC AOB
(O r, ) C¢ A¢B¢ A¢ ¢ C
COC , , ¢
AB O 112o SAOB
171
10p
a) 112o
; b) 56o
; c) 224o
; d) 180o
.
3. Două cercuri tangente interioare au razele de 5 cm și, respectiv, 8 cm. Atunci,
distanța dintre centrele lor este egală cu:
a) 13 cm; b) 3 cm; c) 14 cm ; d) 8 cm.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Un teren de handbal are formă dreptunghiulară cu lungimea de 40 m. La capete, sunt
desenate două semicercuri cu diametrul de 12 m, cu centrele în mijloacele lățimilor
dreptunghiului. Ce lungime trebuie să aibă pasa unui jucător aflat la centrul terenului pentru a ajunge la portar, care este așezat în punctul de intersecție a semicercului cu dreapta care unește centrul terenului cu centrul semicercului?
2. Construiți două cercuri exterioare, COr ( ,) și CO r ( ', '), unde cm, cm și
OO’ = 15 cm. Determinați lungimea segmentului AB, unde COr ( ,)și
CO r ( ', '), iar și aparțin segmentului . Precizați ce poziție
are o secantă la cercul COr ( ,), paralelă cu dreapta față de cercul CO r ( ', ').
3. În cercul COr ( ,), se consideră două diametre AB și CD, astfel încât punctele și
sunt de o parte și de alta a dreptei . Construim diametrul EF, astfel încât
semidreapta este bisectoarea unghiului . Arătați că raza , unde este
mijlocul arcului mic AB, este perpendiculară pe EF. Dacă măsura arcului AE este de 20o
,
calculați măsura unghiului .
Teme pentru portofoliu
1. a) Determină măsura a două unghiuri suplementare, știind că măsura unuia dintre ele
reprezintă două treimi din măsura celuilalt;
b) Determină măsura a două unghiuri complementare, știind că măsura unuia dintre ele
reprezintă două treimi din măsura celuilalt.
2. Reprodu, în caiet, desenul alăturat și construiește cu rigla
negradată și compasul bisectoarele unghiurilor AOB și BOC .
Arată că măsura unghiului format de cele două bisectoare este de
90o
.
3. Arată că, dacă două unghiuri adiacente sunt suplementare, atunci laturile lor necomune sunt în prelungire.
4. Arată că, dacă două unghiuri adiacente au laturile necomune în prelungire, atunci ele sunt
suplementare.
r = 5 r¢ = 7
{A OO } = ¢Ç
{B OO } = Ç¢ A B OO¢
OO¢
A B
CD
OE AOC OG G
GOD
172
5. Trei drepte concurente în același punct determină șase unghiuri congruente în jurul acelui
punct. Realizează desenul corespunzător, determină măsura unghiurilor și construiește
bisectoarele a două dintre cele șase unghiuri, care să fie situate una în prelungirea celeilalte.
6. Se consideră dreptele AB și CD concurente în punctul O . Bisectoarea unghiului AOC
formează cu semidreapta O A un unghi cu măsura de 21 30¢ o . Calculează măsura celor patru
unghiuri formate de dreptele AB și CD .
7. Reprodu desenul alăturat și precizează simetricul segmentului
AB şi al lui AC în raport cu dreapta 1 d . Localizează şi
notează cu A¢¢ ¢¢ , B și C¢¢ simetricele lui A, B respectiv, C în
raport cu dreapta 2 d .
8. Desenează un unghi AOB cu măsura de 40o
. Construiește
simetrica OB¢ a semidreptei OB în raport cu O A și simetrica
OA¢ a semidreptei O A în raport cu OB. Ce măsură are unghiul A¢OB¢ ?
9. Demonstrează că două unghiuri cu același vârf și laturile respectiv perpendiculare, unul
ascuţit, iar celălalt obtuz, sunt suplementare.
10. Fie unghiul SAOB ascuţit, OM OA ^ , ON OB ^ și MON = 120o S . Află măsura unghiului
SXOY , dacă OX este bisectoarea SMOA şi OY este bisectoarea SNOB .
11. Fie unghiul ascuţit SAOB , OM OA ^ și ON OB ^ . Determină măsura unghiului
S XOY , unde OX și OY sunt bisectoarele SAOB , respectiv SMON .
12. În fiecare figură geometrică din desenul
alăturat, dreptele BC și B¢ ¢ C sunt paralele.
Indică perechile de unghiuri congruente din
triunghiurile ABC și ABC¢ ¢.
13. Paralelogramul ABCD are măsura unghiului
A de 57° . Realizează desenul și află măsurile
unghiurilor B, C și D . Ce poți afirma despre două unghiuri consecutive ale
paralelogramului? Dar despre unghiurile opuse?
14. În triunghiul ABC din figura alăturată, S S BCA MNA = = ° 43 .
Precizează poziția dreptei MN față de dreapta BC .
15. Prin vârful A al triunghiului ABC se duc semidreptele AM și AN ,
astfel încât unghiurile alterne interne MAC și ACB , respectiv NAB și
ABC să fie congruente. Arată că punctele M , A și N sunt coliniare.
16. Două drepte paralele tăiate de o secantă formează opt unghiuri dintre care cinci sunt congruente.
Determinaţi măsurile unghiurilor.
17. Două drepte paralele tăiate de o secantă formează opt unghiuri astfel încât trei dintre acestea au
suma măsurilor egală cu 276°. Determinaţi măsurile unghiurilor.
173
18. Două cercuri au razele direct proporționale cu numerele 3 și 5. Care dintre cercuri are
diametrul mai mare?
19. Două cercuri au diametrele invers proporționale cu numerele 4 și 8. Care dintre cercuri are
raza mai mică?
20. Determină măsurile arcelor ¼AHG, ¼ABC, CDE ¼ și E
¼FG din desenul
alăturat.
21. Află măsurile unghiurilor AOG , AOC , COE și EOG din desenul
alăturat.
22. Determină măsurile unghiurilor formate de acele unui ceas, când acesta indică ora:
a) 15 9 ; b) 00 3 ; c) 05 12 ; d) 20 8 .
23. Determină raza unui cerc, știind că diametrul acestuia este jumătate din perimetrul pătratului
cu latura de 3 cm.
24. Două diametre împart un cerc în patru arce de măsuri egale. Care este poziția celor două
diametre? Justifică răspunsul dat.
25. Pe un semicerc de diametru AB se aleg, în această ordine, începând de la punctul A către
B, punctele D și E, astfel încât măsurile arcelor »A D , D E » și E
»B sunt direct proporționale
cu numerele 2, 3 și 4. Află măsurile acestor arce și realizează desenul corespunzător, știind
că AB = 8 cm.
26. Se consideră pătratul ABCD și cercul cu diametrul AB . Determină și explică pozițiile celor
patru laturi ale pătratului față de cercul construit.
27. Se consideră cercurile C și C exterioare, cu cm și cm. Află
între ce valori poate fi cuprinsă lungimea razei .
28. Pe o dreaptă d se consideră patru puncte A, B, C, D, în această ordine, astfel încât
AB = 3 cm, cm. Construiește cercul cu diametrul AC, iar prin B, C și
perpendicularele pe dreapta . Determină și explică poziția celor trei perpendiculare față
de cercul construit.
29. Află razele a două cercuri exterioare, știind că acestea sunt invers proporționale cu 2 și 3,
iar distanța dintre centrele lor este egală cu 10 cm.

(O r, ) (O r¢, ¢) r = 4 OO¢ = 7
r¢
BC CD = =1 D
d
174
Capitolul 6. TRIUNGHIUL
Unitatea de învățare: Triunghiul
A1. Numiți figurile geometrice de pe panourile indicatoare de circulație rutieră,
din desenele alăturate, și precizați pentru fiecare numărul laturilor, unghiurilor, vârfurilor.
A2. Fixați, în caiete, trei puncte necoliniare și trasați segmentele determinate de
două câte două dintre aceste puncte. Ce figură geometrică determină trei puncte
necoliniare? Câte triunghiuri se pot construi prin trei puncte coliniare date?
A3. Pentru fiecare dintre cele trei triunghiuri din desenul de mai jos:
a) precizați numărul maxim de unghiuri obtuze, de unghiuri drepte, respectiv
de unghiuri ascuțite pe care le poate avea un triunghi și, în funcție de aceasta,
spuneți ce înțelegeți prin triunghi: obtuzunghic, dreptunghic, respectiv
ascuţitunghic;
b) comparați lungimile laturilor și precizați dacă există triunghiuri: cu cele trei
laturi de lungimi diferite, cu două laturi având aceeași lungime, respectiv cu
toate trei laturile de aceeași lungime și spuneți ce înțelegeți prin triunghi:
oarecare, isoscel, respectiv echilateral.
c) Dacă numim bază a triunghiului isoscel latura care nu are lungimea egală cu a celorlalte două, ce puteți
afirma despre unghiurile de la baza triunghiului isoscel? Ce puteți afirma despre măsurile celor trei
unghiuri ale triunghiului echilateral?

1. Dacă A, B, C sunt trei puncte necoliniare distincte, atunci reuniunea segmentelor AB, BC,
CA se numește triunghiul ABC și se notează DABC.
Elemente:
▪ Punctele A, B, C sunt vârfurile triunghiului ABC.
▪ Segmentele AB, BC, CA sunt laturile triunghiului
▪ , , sunt unghiurile triunghiului.
= AB + BC + CA este perimetrul triunghiului ABC.
LECȚIA 1. Triunghiul; clasificare; perimetru
175
Un punct este în interiorul triunghiului ABC, dacă este interior fiecăruia
dintre unghiurile triunghiului. Un punct este exterior unui triunghi, dacă nu
este nici în interiorul triunghiului, nici pe laturile acestuia.
2. Clasificarea triunghiurilor
- După lungimile laturilor:
oarecare sau scalen isoscel echilateral
are laturile de lungimi
diferite două câte două
are două laturi
congruente
are toate laturile
congruente
- După măsurile unghiurilor
Ascuțitunghic dreptunghic obtuzunghic
are toate unghiurile ascuțite are un unghi drept are un unghi obtuz
Considerăm patru puncte, P, Q, R, S, oricare trei necoliniare. Să scriem toate triunghiurile
cu vârfurile în aceste puncte, iar unuia să-i notăm unghiurile, cu trei litere mari și laturile cu
litere mici. Acestui triunghi să-i hașurăm interiorul.
Pentru unul dintre triunghiuri, să punem în evidenţă: laturile (cu două litere mari, dar şi cu o
literă mică), unghiurile (cu trei litere), interiorul (prin haşurare).
176
1. Un triunghi isoscel are o latură de 3 cm și perimetrul de
10 cm. Determinați lungimile celorlalte două laturi.
Ipoteză: DABC; AB = 3 cm; PDABC =10cm.
Concluzie: AC = ?; BC = ?.
Demonstrație: Problema se rezolvă în două cazuri.
Cazul 1: AB ≡AC⟹ AB = AC = 3cm, 10 P AB CA BC DABC = ++ = ⟹ 3 + 3 + BC = 10 ⟹ BC = 4cm;
Cazul 2: AC≡BC ⟹ PDABC = AB + AC + BC = 10⟹10 = 3 + 2·AC⟹AC = 3,5cm, BC = AC = 3,5cm.
2. Câte triunghiuri determină patru puncte distincte două câte două?
Ipoteză: patru puncte distincte două câte două.
Concluzie: Numărul de triunghiuri formate.
1. a) Reprodu, pe caiet, desenul alăturat și scrie toate triunghiurile formate;
b) Identifică triunghiurile dreptunghice, isoscele și echilaterale, folosind
instrumentele geometrice;
c) Pentru triunghiul dreptunghic, scrie catetele și ipotenuza;
d) Pentru triunghiul isoscel, scrie vârful și baza.
2. Realizează, pe caiet, desenul alăturat și scrie toate triunghiurile:
a) dreptunghice;
b) ascuțitunghice;
c) obtuzunghice.
3. Desenează un triunghi ABC și scrie:
a) unghiurile alăturate laturii BC; b) unghiul opus laturii AB; c) latura alăturată unghiurilor A și B.
4.În triunghiul MNP, laturile care formează unghiul P sunt congruente, iar una din ele este congruentă cu
latura opusă unghiului P. a) Scrie congruența celor trei laturi. b) Desenează un triunghi MNP, folosind
Demonstrație:
Cazul 1: Punctele
sunt coliniare. Nu
se formează
niciun triunghi.
Cazul 2: Numai trei
dintre cele patru
puncte sunt coliniare.
În acest caz, se
formează trei triunghiuri. În desen ele
sunt: ABC, ABD și ACD.
Cazul 3: Oricare trei
dintre cele patru
puncte sunt
necoliniare. Se
formează patru triunghiuri. În desen
ele sunt: ABC, ABD, ADC, BCD.
177
enunțul problemei și precizează cum se numește acest triunghi
5. Desenează un triunghi EFG:
a) dreptunghic isoscel, cu baza EF; b) obtuzunghic isoscel, cu baza EG.
6. Realizează, pe caiet, desenul din figura alăturată și stabilește valoarea de adevăr
a următoarelor propoziţii.
a) D este în interiorul DABC; b) E este în exteriorul DABC;
c) F Î DABC; d) SACF este opus laturii AB;
e) FG este latură a DABC.
7. Calculează perimetrul triunghiului ale cărui laturi au lungimile:
a) 3 cm, 6 cm, 55 mm; b) 4 cm, 3 cm, 62 mm; c) 7 cm, 4 cm, 79 mm;
d) 3 cm, 40 mm, 5 cm; e) 3 cm, 3 cm, 4 cm; f) 2 cm, 2 cm, 2 cm.
8. Află lungimea unei laturi a unui triunghi, știind că: a) acesta are perimetrul de 14,5 cm și suma
lungimilor celorlalte două laturi este de 9 cm; b) acesta are perimetrul de 18,5 cm și suma lungimilor
celorlalte două laturi este 11 cm; c) acesta are semiperimetrul de 6 cm și suma lungimilor celorlalte
două laturi este de 7 cm.
9. a) Un triunghi cu perimetrul de 65 m are lungimile laturilor proporționale cu numerele 2, 5 și 6. Află
lungimile laturilor triunghiului.
b) Un triunghi cu perimetrul de 270 mm are lungimile laturilor proporționale cu numerele 3, 4 și 5. Află
lungimile laturilor triunghiului.
10. Un triunghi isoscel are suma lungimilor a două laturi egală cu 7 cm și lungimea celei de-a treia laturi
de 4 cm. Află perimetrul triunghiului. Câte soluții are problema?
178
A1. Măsurați cu raportorul și apoi calculați suma măsurilor
fiecăruia dintre cele trei triunghiuri din desenul dat. Este adevărată
afirmația că suma măsurilor unui triunghi este 180°?
A2. a) Cu triunghiurile din imagine, decupate simultan din 10
bucăți de hârtie suprapuse, care au egale măsurile unghiurilor cu
pată roz, ale unghiurilor cu pată galbenă, respectiv ale unghiurilor
necolorate, s-a realizat mozaicul, în
care vârfurile triunghiurilor sunt pe
drepte paralele. Verificați afirmația făcută la activitatea A1,
ținând seama că suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui
punct, de aceeași parte a unei drepte, este 180°.
Ipoteza: un triunghi ABC. Concluzie: SSS ABC + + =° 180 .
Demonstrație: Construim paralela prin A la BC (această construcție ajutătoare este sugerată de
activitatea A2), pe care considerăm punctele M și N, cu A între
M și N.
Remarcăm: S S ABC BAM º (unghiuri alterne interne formate de
secanta AB, cu BC∥MN) și S S ACB CAN º (unghiuri alterne interne
formate de secanta AC, cu BC∥MN). Obținem:
SSS SS S BAC ACB ABC BAC CAN BAM + + = + + =° 180
În figura alăturată, unghiurile ACM și BCN, adiacente și
suplementare unghiului ACB, sunt exterioare triunghiului ABC.
1. Teoremă: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu 180o.
2. Un unghi adiacent și suplementar unuia dintre unghiurile
unui triunghi se numește unghi exterior al triunghiului.
LECȚIA 2. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi
179
Ipoteza: Triunghiul ABC și unghiul ACM exterior lui.
Concluzia: S ACM = S A + S B.
Demonstrație: Unghiul ACM este suplementul unghiului ACB, deci S ACM + S ACB = 180°.
Conform teoremei de la punctul 1, S A + S B + S ACB = 180°.
Obținem S ACM = 180° –S ACB = S A + S B, adică S ACM = S A + S B.
Să decupăm un triunghi dintr-o foaie de hârtie și
să-i rupem două colțuri. Apoi să le aşezăm astfel
încât să ne confirme afirmația de la teorema 1. Să
le aşezăm astfel încât să ne confirme și afirmația
de la teorema 2!
1. Triunghiul ABC are unghiurile B și C congruente și măsura unghiului
A este de 40° . Determinați măsurile unghiurilor B și C.
Ipoteză: DABC; S B ≡ S C; S A = 40° .
Concluzie: S B = ?, S C = ?
Demonstrație: Știm că S B ≡ S C și S A + S B + S C = 180°. Din aceste
două relații deducem că S A + 2·(S B) = 180°⟹40° + 2·(S B) = 180°
⟹2·(S B) = 180°⟹ S B = 140°⟹ S B = S C = 70° .
2. În triunghiul ABC, bisectoarea unghiului B intersectează latura AC în D. Știind că
S BAC = 58° și S CBD = 50° , aflaţi măsurile necunoscute ale unghiurilor figurii geometrice.
Ipoteză: DABC; BD bisectoarea S B; D Î AC;
S BAC = 58° , S CBD = 50° .
Concluzie: S ABD = ?, S ABC = ?, S BDC = ?, S BDA = ?, S C = ?
Demonstrație: BD bisectoarea S B ⟹ S ABD = S DBC = 50° și
S ABC = 2·(S DBC) = 100°. S BDC este unghi exterior triunghiului
ABD, deci S BCD = S DBA + S BAD = 50° + 58° = 108°.
În DABD, avem S BDA = 180°– S BAD –S ABD = 72° .
În DABC, avem S C = 180° – S A – S B = 22° .
Teorema unghiului exterior: Măsura unui unghi exterior unui triunghi este egală cu
suma măsurilor unghiurilor triunghiului neadiacente lui.
180
1. Determină unghiurile necunoscute ale triunghiului ABC, dacă:
a) SC = ° 68 și DABC este dreptunghic în ; b) SA = ° 35 și SC = ° 45 ;
c) SSS ABC º º ; d) S S A C º și SA = ° 35 ; e) SB = ° 36 și SC = ° 54 .
2. Dacă măsura unuia dintre unghiurile unui triunghi este de 50° , precizează dacă măsurile
celorlalte două unghiuri ale triunghiului pot fi:
a) 70° și 60° ; b) 49° și 71° ; c) 36° și 94° ; d) 65° și 65° ;
e) 90° și 40° ; f) 50° și 80° .
3. Determină măsurile unghiurilor ADB și BDC din figura alăturată.
4. Se consideră un triunghi dreptunghic, cu unghiurile ascuțite congruente.
Află măsura acestor unghiuri.
5. Știind că x este măsura
unghiului B din figura
geometrică alăturată,
determină x.
6. Știind că x este
măsura unghiului
CAD din figura
geometrică
alăturată, află x.
7. Realizează, pe caiet, desenul din figura alăturată.
a) Scrie toate unghiurile exterioare triunghiului ABC.
b) Determină măsura fiecăruia dintre cele șase unghiuri exterioare
ale triunghiului ABC identificate la punctul a). c) Arată că S BAI
= S ABC + S ACB.
d) Precizează ce fel de unghiuri sunt unghiurile exterioare
triunghiului ABC, S BAI și S CAH, și compară măsurile lor.
8. În triunghiul dreptunghic BAC, cu S BAC = 90° , se construiește AD^BC, unde punctul D se
găsește pe latura BC. Compară măsurile unghiurilor: a) BAD și ACD; b) ABD și CAD.
9. Se consideră un triunghi dreptunghic ABC, cu S A = 90° și S C = 50° . Știind că punctul M
aparține perpendicularei duse prin B pe BC, de aceeași parte cu A față de BC, află măsura unghiului
ABM.
10. Într-un triunghi ABC, măsura unghiului A este a treia parte din măsura unui unghi drept, iar măsura
unghiului B este a treia parte din măsura unghiului A. Află măsurile unghiurilor triunghiului.
11. Un triunghi ABC are S B = 2·(S A). Exprimă măsura unghiului C în funcție de cea a lui A.
12. Într-un triunghi dreptunghic, măsura unui unghi ascuțit este triplul măsurii celuilalt unghi
ascuțit. Află măsurile unghiurilor ascuțite ale triunghiului.
13. Într-un triunghi ABC, măsura unghiului B este triplul măsurii unghiului A, iar măsura
unghiului C este dublul măsurii unghiului B. Arată că 10·( S A) = 180°.
14. Determină natura triunghiului pentru care măsurile unghiurilor în grade sunt: x, 2x și 3x.
A
181
A1. Construiți cu raportorul unghiul xAy, cu măsura de 60° . Cu
deschiderea compasului de 5 cm şi cu vârful în A, trasați cercul cu această
rază și centrul în A și notați cu B punctul de intersecție cu semidreapta Ax.
În același mod determinați punctul C pe semidreapta Ay, astfel încât AC =
3 cm. Trasați segmentul BC. a) Măsurați lungimea laturii BC a triunghiului
ABC astfel construit și comparați-o cu lungimea obţinută de ceilalţi colegi;
b) Repetați construcția anterioară, pornind de la un unghi de 90° și apoi de la unul de 120°.
Este posibilă această construcție, dacă unghiul xAy este alungit ?
A2. Construiți segmentul AB cu lungimea de 4 cm. De
aceeași parte a dreptei AB, trasați semidreptele Ax și By
astfel încât S ABy = 45° și S BAx = 60° . Notați cu C
punctul de intersecție a celor două semidrepte. Măsurați
celelalte elemente ale triunghiului ABC construit și
comparați rezultatul obținut, cu colegii;
a) Repetați construcția pentru S BAx = 60° și S ABy = 90° , apoi pentru S BAx = 60° și S
ABy = 110°. b) Este posibilă construcția pentru S BAx = 60° și S ABy = 120°?
Cazurile de construcție a unui triunghi
Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3
Construim
unghiul cu
măsura α;
Pe una din laturile unghiului se fixează un
punct, la distanța b de vârful unghiului, iar
pe cealaltă latură se fixează un punct la
distanța c de vârful unghiului.
Unim cele două puncte de
la pasul 2 și notăm
triunghiul obținut.
1. Cazul LUL (latură, unghi, latură): Este suficient să cunoaștem
măsura unui unghi (α) și lungimile (b, c) ale laturilor care îl
formează, pentru a putea construi în mod unic triunghiul.
LECȚIA 3. Construcția triunghiurilor
182

Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3
Construim segmentul
de lungime a şi
notăm cu litere mari
capetele segmentului
Construim unghiurile de
măsuri α, respectiv β, cu vârfurile
în capetele segmentului a
și de aceeași parte a acestuia;
Notăm punctul de intersecție
a celor două laturi, dacă
există, și obținem triunghiul.
Notăm triunghiul construit.
Pasul 1 Pasul 2 Pasul 3
Construim
segmentul de
lungime c;
Cu centrele în capetele
segmentului construim cercurile
cu razele de lungimi b, respectiv c;
Unul dintre punctele de intersecție
a celor două cercuri, dacă există,
este al treilea vârf al triunghiului.
Notăm triunghiul obținut.
1. Să construim triunghiul pentru care cunoaștem:
a) α = 30° , b = 4 cm, c = 6 cm (L.U.L.); b) α = 90° , β = 100°, c = 6 cm (U.L.U.);
b) a = 12 cm, b = 4 cm, c = 6 cm (L.L.L.);
2. Să construim un triunghi știind că el are un unghi de 30° și unul de 60° .
1. Se consideră unghiurile S ABC = 62° și S ACB = 54° . Aflați valoarea pe care o poate
avea unghiul , astfel încât punctele A, B, C să reprezinte vârfurile unui triunghi.
Ipoteză: S ABC = 62° ; S ACB = 54° ; A, B, C formează un triunghi.
Concluzie: S BAC = ?
Demonstrație: Știm că suma măsurilor oricărui triunghi este egală cu 180°. Deci, pentru ca
punctele A, B, C să formeze un triunghi, este necesar ca S ABC + S BCA + S BAC = 180°.
De aici, deducem că 62° + 54° + S BAC = 180° ⟹ S BAC = 180°.
BAC
3. Cazul LLL (latură, latură, latură): Este suficient să cunoaștem
lungimile: a, b, c (cu proprietatea că cea mai mare lungime este
mai mică decât suma celorlalte), ale laturilor unui triunghi
pentru a putea construi în mod unic triunghiul.
2. Cazul ULU (unghi, latură, unghi): Este suficient să cunoaștem
lungimea unei laturi (c) și măsurile unghiurilor (α, β), cu vârfurile
în capetele acestei laturi, pentru a putea construi în mod unic
triunghiul.
183
2. Construiți un triunghi ABC, dacă se cunosc AB = 5 cm, BC = 3 cm și S A = 40° .
Rezolvare: Pentru construcția acestui triunghi se cunosc două laturi şi măsura unui unghi, dar
nu a unghiului format de ele, ci a unghiului cu vârful în A, alăturat laturii AB (Nu suntem în
niciunul dintre cazurile de construcţie ale triunghiului). Procedăm astfel:
1) construim latura AB de 5 cm;
2) construim o semidreaptă cu originea în A (deasupra sau sub AB) și
care formează cu AB un unghi de 40° ;
3) cu deschiderea compasului 3 cm (lungimea laturii BC) și cu vârful
în punctul B trasăm un arc de cerc care taie semidreapta cu originea
în A, construită anterior. Punctul de intersecție dintre semidreaptă și arc este punctul C, al treilea
vârf al triunghiului;
4) Unim punctele C și B și obținem triunghiul.
1. Construiește triunghiul ABC, în care:
a) S BAC = 40° , AC = 5 cm și AB = 3 cm; b) S ABC = 35° , AB = 7 cm și BC = 4,5 cm;
c) S ACB =130°, AC = 5 cm și CB = 8 cm.
2. Verifică dacă triunghiul ABC există și, în caz afirmativ, construiește-l:
a) AB = 4 cm, S ABC = 65° și S BAC = 80° ; b) BC = 7 cm, S ABC = 47° și S ACB = 45° ;
c) AC = 5 cm, S ACB = 30° și S BAC = 120°; d) AB = 3 cm, S ABC = 90° și S BAC = 95° .
3. Verifică dacă triunghiul ABC există și, în caz afirmativ, construiește-l:
a) AB = 3,5cm, BC = 2 cm și AC = 5 cm; b) AB = 1,8 cm, BC = 4,5 cm și AC = 2,4 cm;
c) AB = 5 cm, BC = 2,7 cm și AC = 2 cm.
4. Construiește triunghiul ABC, dreptunghic în A, în care:
a) AB = 4 cm și AC = 6 cm; b) AB = AC = 5 cm;
c) AB = 3 cm și S ABC = 30° ; d) AC = 4 cm și S ACB = 45° .
5. Construiește triunghiul isoscel ABC, cu vârful în A, în care:
a) AB = 4 cm și S A = 40° ; b) S A = 90° și AC = 3,5 cm;
c) S A = 120° și AB = 3 cm; d) AB = 5 cm și BC = 3 cm.
6. Construiește triunghiul echilateral:
a) ABC, știind că AB = 3 cm; b) DEF, știind că EF = 4 cm.
7. Precizează dacă se poate construi un triunghi ale cărui laturi să aibă lungimile:
a) 10 cm, 6 cm,8 cm; b) 75 mm, 0,6 dm, 6,5 cm;
c) 35 dm, 8 m, 65 cm; d) 65 mm, 4 cm, 2 cm.
8. Precizează dacă se poate construi un triunghi ABC, dacă:
a)AB = 3,7 cm, S BAC = 110° și S ABC = 50° ; b)BC = 4 cm, S ABC =73° și S BCA = 90° ;
c) AC = 5 cm, S BAC = S ACB = 40° , d) AB = 4,2 cm, S BAC = S ABC =60° .
9. Construiește un triunghi ABC, cunoscând: S A = 110°, AB = 5 cm și BC = 4 cm. Câte soluții sunt?
184
A1. a) Construiți bisectoarele unghiurilor A, B ale triunghiului ABC și notați cu I punctul lor de
intersecție. b) Trasați semidreapta CI şi verificați cu raportorul dacă unghiurile ACI și BCI sunt
congruente. Este adevărată afirmaţia că cele trei bisectoare ale triunghiului sunt concurente?
c) Construiți P, Q, R picioarele perpendicularelor din I pe BC, AC, respectiv AB. Stabiliți dacă
segmentele IP, IQ, IR sunt congruente, prin măsurare cu rigla, și precizați dacă punctul I este
egal depărtat de laturile triunghiului ABC.
A2. a) Construiți mediatoarele laturilor AB, AC ale triunghiului ascuțitunghic ABC și notați cu
O punctul lor de intersecție. Construiți apoi, cu rigla negradată și cu compasul, mediatoarea
laturii BC și stabiliţi dacă cele trei mediatoare sunt concurente. b) Repetați construcția de la
punctul a) pentru un triunghi dreptunghic și apoi pentru un triunghi obtuzunghic;
c) Pentru fiecare triunghi din cele trei construcții, măsurați segmentele OA, OB, OC și stabiliți
dacă punctul O este egal depărtat de vârfurile triunghiului.
1. Triunghi oarecare 2. Triunghi dreptunghic 3. Triunghi obtuzunghic

1. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt
concurente. Punctul lor de intersecție se notează cu I . El
se află la egală distanţă de laturile triunghiului şi este
centrul cercului înscris în triunghi.
2. Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersecție se
notează cu O. El este la egală distanță de vârfurile triunghiului şi este centrul cercului
circumscris triunghiului.
LECȚIA 4. Linii importante în triunghi
185
1. Triunghi oarecare 2. Triunghi dreptunghic 3. Triunghi obtuzunghic
1. Fie triunghiul PQR oarecare. Să construim mediatoarea laturii PQ, bisectoarea unghiului
PRQ, mediana din R şi înălţimea din R.
2. Într-un triunghi să precizăm pozițiile celor trei:
a) bisectoare; b) mediane; c) mediatoare; d) înălțimi.
1. Construiți un triunghi ABC, știind că are AB = 4 cm, BC = 6 cm
și mediana AD = 4 cm.
Ipoteză: AB = 4 cm; CB = 6 cm; D mijlocul lui BC; AD = 4 cm.
Concluzie: construiți DABC.
Demonstrație: Construim segmentul BC. Pentru că AD este
mediană, înseamnă că D este mijlocul lui BC și BD = BC : 2 = 3 cm.
Construim mai întâi triunghiul ABD, căruia îi cunoaștem toate
laturile. Apoi, prelungim latura BD cu segmentul de aceeași
lungime DC. Unim A cu C și se obține DABC.
3. Un segment determinat de un vârf al unui triunghi și de piciorul perpendicularei din acel
vârf pe latura opusă se numește înălțime a triunghiului. Dreptele care conțin înălțimile unui
triunghi sunt concurente, punctul lor de intersecție se numește ortocentru și se notează
cu H.
4. Un segment determinat de un vârf al unui triunghi și de
mijlocul laturii opuse se numește mediană a triunghiului.
Medianele unui triunghi sunt concurente, punctul lor de
intersecție se numește centrul de greutate al triunghiului și se
notează cu G. Centrul de greutate al triunghiului se află, pe
fiecare mediană, la o treime de bază și la două treimi de vârf.
186
2. Triunghiurile ABC și DBC sunt dreptunghice în A, respectiv în D și punctele A, D sunt de aceeași
parte a dreptei BC. Demonstrați că BC ^ EF, știind că AB Ç CD = {E} și AC Ç BD = {F}.
Ipoteza: DABC cu A = 90 ; DDBC cu D = 90 ; A, D de aceeași parte a
lui BC; AB Ç CD = {E}, AC Ç BD = {F}.
Concluzie: BC ^ EF.
Demonstrație: Deoarece DABC este dreptunghic în A, deducem că CA
^ AB ⟹ CA ^ BE; analog, DDBC este dreptunghic în D și BD ^ DC ⟹
BD ^ CE. Atunci, CA și BD sunt înălțimi ale DBCE.
Deci {F} = AC Ç BD va fi ortocentrul acestui triunghi. Cum F Î EF,
deducem că EF este a treia înălțime a triunghiului și rezultă că BC ^ EF.
1. Desenează în triunghiul ABC: bisectoarea unghiului A, mediatoarea laturii BC, înălțimea dusă din vârful
A şi mediana dusă din punctul A, dacă: a) triunghiul ABC este ascuțitunghic; b) triunghiul ABC este
dreptunghic în A; c) unghiul A este obtuz.
2. Construiește triunghiul ABC, bisectoarele unghiurilor sale și marchează centrul cercului înscris în
triunghi, știind că:
a) AB = 4 cm, BC = 6 cm și AC = 5 cm; b) AB = 4 cm, BC = 5 cm și SB = ° 70 ;
c) AB = AC = 4 cm și SB = ° 42 ; d) AB = AC = 4 cm și SA = 42° .
3. Triunghiul ABC are AB = 8,4 cm, SA = 35° și SB = 25° . a) Află măsura unghiului ;
b) Construiește triunghiul, trasează mediatoarele laturilor sale și precizează dacă centrul cercului
circumscris triunghiului este interior sau exterior triunghiului ABC.
4. Triunghiul ABC are: AB = 5 cm, SB = ° 75 și SC = 30° . a) Află măsura unghiului A;
b) Construiește triunghiul, trasează mediatoarele sale și precizează dacă centrul cercului circumscris
triunghiului este interior sau exterior triunghiului ABC.
5. Desenează triunghiul ABC, înălțimile sale și ortocentrul H, în cazurile:
a) AB = 3 cm, AC = 4 cm şi SBAC = ° 80 ; b) AB = 3 cm, AC = 4 cm și SBAC = ° 90 ;
c) AB = 3 cm, AC = 4 cm şi SBAC = ° 100 ; d) AB = AC = 4 cm și BC = 6 cm;
e) AB = AC = BC = 4 cm; f) triunghiul este isoscel, cu baza BC = 6 cm și
AC = 4 cm.
6.Construiește un triunghi ABC și medianele sale și marchează centrul de greutate, în următoarele cazuri:
a) AB = 4 cm, AC = 3 cm și BC = 3cm; b) AB = 6 cm, SBAC = 30° și SABC = ° 70 ;
c) SA = ° 40 , AB = 5 cm și AC = 3 cm.
7. În triunghiul ABC, unghiul A are 90o
, iar bisectoarele unghiurilor B și C sunt concurente în punctul I.
Calculează: a) măsura unghiului BAI; b) suma măsurilor unghiurilor CBI și BCI.
o o
C
187
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare
răspunsului corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. Intersecția medianelor unui triunghi se numește
h) i) j) k)
centrul cercului
înscris centru de greutate centrul cercului
circumscris ortocentru
2. Intersecția bisectoarelor unui triunghi se numește
q) r) s) t)
ortocentru
centrul cercului
circumscris
centrul cercului
înscris centru de greutate
3. Intersecția mediatoarelor unui triunghi se numește
o) p) q) r)
centrul cercului
înscris centru de greutate centrul cercului
circumscris ortocentru
4. Intersecția înălțimilor unui triunghi se numește
q) r) s) t)
ortocentru
centrul cercului
circumscris
centrul cercului
înscris centru de greutate
5. Ortocentrul unui triunghi coincide cu un vârf al triunghiului
a) b) c) d)
echilateral ascuțitunghic dreptunghic obtuzunghic
6. Ortocentrul triunghiului se află în exteriorul triunghiului
e) f) g) h)
echilateral ascuțitunghic dreptunghic obtuzunghic
7. Centrul de greutate se află întotdeauna
k) l) m) n)
la intersecția
mediatoarelor
în interiorul
triunghiului
în unghiul drept al
triunghiului
în exteriorul
triunghiului
1 2 3 4 5 6 7

188
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie în spațiile punctate, cuvintele sau rezultatele care, fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Triunghiul care are toate laturile de lungimi diferite se numește ... .
2. Un unghi adiacent și suplementar cu un unghi al unui triunghi se numește unghi
... acelui triunghi.
3. Punctul de intersecție a înălțimilor unui triunghi se numește ... .
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Unghiul al unui triunghi , în care și , are măsura de:
a) 90o
; b) 72o
; c) 58o
; d) 48o
.
2. Dacă măsurile unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt direct
proporționale cu 2 și 3. Atunci ele sunt:
a) 36o
și 54o
; b) 30o
și 60o
; c) 36o
și 64o
; d) 72o
și 108o
.
3. În triunghiul , este mediană cu și cm. Lungimea
laturii este:
a) 76 cm; b) 6,6 cm; c) 7,6 cm ; d) 6,8 cm.
III. Pe foaia de rezolvare scrie, rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Construiți triunghiul , cu cm, cm și și
ortocentrul acestuia.
2. În desenul alăturat, este bisectoarea unghiului ,
este bisectoarea unghiului , .
Știind că și , determinați măsura
unghiului .
3. Se consideră triunghiul , cu , și înălțimile
cu și , cu . Realizați desenul și determinați măsurile
unghiurilor , și a unghiului format de dreptele și .
C ABC A = 50o S B = 82o S
ABC AM M ÎBC BM = 3,8
BC
ABC AB = 4 AC = 6 A = 75o S
BE ABC
CF ACB BE CF I Ç ={ }
BAC = 70o S CFA = 80o S
FIE
ABC ABC =130o S ACB = 40o S AA¢
A¢ÎBC CC¢ C AB ¢Î
A¢AB C CB ¢ AA¢ CC¢
189
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie în spațiile punctate, cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Un triunghi ale cărui unghiuri au măsurile mai mici de 90o
se numește ... .
2. Măsura unui unghi exterior unui triunghi este egală cu ... măsurilor celor două
unghiuri ale triunghiului neadiacente lui.
3. Punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor unui triunghi este centrul
cercului ... în triunghi.
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect, știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Un triunghi dreptunghic are un unghi ascuțit cu măsura de 42o
. Măsura celuilalt
unghi ascuțit este de:
a) 48o
; b) 58o
; c) 90o
; d) 52o
.
2. Unghiurile unui triunghi au măsurile invers proporționale cu numerele: 6, 4 și 3.
Măsurile acestora sunt:
a) 30o
, 60o
, 90o
; b) 40o
, 60o
, 80o
; c) 45o
, 55o
, 80o
; d) 70o
, 60o
, 50o
.
3. Un triunghi are cm, cm și perimetrul de 15,2 cm.
Lungimea laturii este de:
a) 6,2 cm; b) 6,8 cm; c) 5,8 cm ; d) 7,8 cm.
III. Pe foaia de rezolvare, scrie pentru următoarele exerciții, rezolvările complete.
10p
10p
10p
1. Construiți un triunghi ABC cu BC = 5 cm, și și centrul de
greutate al acestuia.
2. În figura alăturată, dreptele AD și BC sunt paralele,
unghiurile ABC și BDC sunt drepte, iar unghiul ABD
are măsura de 50o
. Determinați măsurile unghiurilor
triunghiurilor ABD și BDC.
3. În triunghiul ABC se dau: măsura unghiului A de 50o
și . Se
construiește înălțimea AD, cu D Î BC. Realizați desenul și determinați
măsurile unghiurilor triunghiului ABD.
ABC AB = 6 AC = 3,4
BC
B = 64o S C = 50o S
B = + 90 ( ) C o S S
190
Unitatea de învățare: Congruenţe
Ne amintim că două figuri geometrice care, prin suprapunere coincid, se
numesc figuri geometrice congruente.
A1. Imaginându-vă că pliaţi steluța de hârtie din desenul
alăturat, după axa sa de simetrie, identificaţi perechi de
triunghiuri de culoare deschisă, respectiv de culoare închisă,
congruente (care coincid prin suprapunere).
A2. Comparați triunghiul cu vârfurile roșii și cel cu vârfurile albastre, din imaginea
alăturată, care au lungimile laturilor respectiv egale. Stabiliţi dacă sunt congruente.
Dacă răspunsul este afirmativ, ce puteți spune despre congruenţa perechilor de
unghiuri?
De exemplu: DABC DMNP înseamnă prin definiție: AB MN, BC NP, CA PM, A M,
B N și C P.
Criteriul LUL (latură, unghi, latură) de congruență a triunghiurilor.
Dacă un unghi al unui triunghi este congruent cu un unghi al
altui triunghi și laturile care îl formează sunt respectiv
congruente cu laturile care formează unghiul congruent cu el,
atunci cele două triunghiuri sunt congruente.
º º º º S º S
S º S S º S
1. Două triunghiuri sunt congruente dacă au laturile și
unghiurile, respectiv congruente.
Perechile de laturi sau de unghiuri respectiv congruente se
numesc laturi, respectiv unghiuri omoloage ale
triunghiurilor congruente.

LECȚIA 5. Congruența triunghiurilor oarecare
191
Criteriul ULU (unghi, latură, unghi) de congruență a triunghiurilor
Dacă o latură a unui triunghi este congruentă cu o latură a altui
triunghi și unghiurile alăturate ei sunt respectiv congruente cu
unghiurile alăturate laturii congruente cu ea, din celălalt triunghi,
atunci cele două triunghiuri sunt congruente.

Criteriul LLL (latură, latură, latură) de congruență a triunghiurilor
Dacă laturile unui triunghi sunt respectiv congruente cu
laturile altui triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt
congruente.
Remarcă: Putem considera şi Criteriul LUU (latură, unghi, unghi).
Dacă o latură a unui triunghi este congruentă cu o latură a altui triunghi, un unghi alăturat şi un unghi opus
ei sunt respectiv congruente cu unghiul alăturat, respectiv unghiul opus laturii congruente cu ea, din celălalt
triunghi, atunci cele două triunghiuri sunt congruente.
Exemplu: AB MN, A M, C P DABC DMNP
Demonstrație: Din A+ B+ C = M+ N+ P=180o şi din A M, C P
B N. Acum avem AB MN, A M, B N DABC DMNP.
1. Să scriem care elemente sunt congruente, dacă a) DSAC DMOP; b) DBUZ DDOR.
2. Să scriem congruenţa triunghiurilor, dacă MS AV, TM=TV şi ST TA.
3. Să desenăm două triunghiuri necongruente care au două laturi şi câte un unghi
respectiv congruente.
1. Două triunghiuri echilaterale, cu perimetre egale sunt congruente? Justificați.
Ipoteză: DABC și DMNP echilaterale; P P D D ABC MNP = .
Concluzie: DABC DMNP.
Demonstrație: Notăm cu l lungimea laturilor triunghiului ABC și cu lʹ lungimea laturilor
triunghiului MNP și avem PDABC = 3l și PDMNP = 3lʹ. Din P P D D ABC MNP = ⟹ 3l = 3lʹ ⟹ l = lʹ.
º S º S S º S Þ º
SSS S SS S º S S º S Þ
S º S º S º S S º S L. .. U L
Þ º
º º
º º
º

192
Adică, AB = AC = BC = MN = MP = NP. De unde, DABC DMNP, conform cazului de
congruență L.L.L.
2. În figura alăturată avem: AD BC O Ç ={ }, AO º OB și CO º OD.
Arătați că DAOD DBOC.
Ipoteza: AO OB, CO OD.
Concluzie: DAOD DBOC.
Demonstrație: S AOD S BOC (unghiuri opuse la vârf). Atunci:
AO OB, CO OD, S AOD S BOC DAOD DBOC.
1. Pentru triunghiurile ABC și DEF, precizează care dintre afirmațiile următoare sunt adevărate
și justifică răspunsul dat:
a) AB DE, BC EF, S B S E ⟹ DABC DDEF;
b) AB DE, BC EF, S B S D ⟹ DABC DDEF;
c)AB DE, BC EF, S B S F ⟹ DABC DDEF;
d) AC DF, S A S D, S C S F ⟹ DABC DDEF;
e) AB DE, BC EF, AC DF ⟹ DABC DDEF.
2. Pentru triunghiurile congruente IJK și LMN s-au scris câte trei congruențe ale elementelor
acestora. Scrie congruențele lipsă:
a) JK º MN, S S J M º , S S K N º ; b) IK º LN, IJ º LM, S S I L º ;
c) IJ º LM, JK º MN, IK º LN; d) JK º MN, IK º LN, S S K N º ;
e) IJ º LM, S S I L º , S S J M º ; f) JK º MN, IJ º LM, S S J M º .
3. Identifică, în figurile de mai jos, perechile de triunghiuri congruente după marcajele
elementelor lor, folosind criteriile de congruență a triunghiurilor și apoi scrie congruențele
elementelor lor.
4. Triunghiurile echilaterale ABC și MNP au BC NP. Arată că DABC DMNP.
5. Se consideră triunghiurile AOB și KIJ dreptunghice în O și, respectiv I, cu OA IK și
OB º IJ. Arată că DAOB º DKIJ.
6. Demonstrează că triunghiurile OAP și OBP din desenul alăturat sunt
congruente.
7. Se consideră DABC cu AB º AC. Pe laturile AB şi AC ale triunghiului se construiesc în exterior
DDAB şi DEAC. Dacă DDAB º DEAC, atunci arată că DDAC º DEAB.
º
º
º º
º
º
ºº º L. .. U L
Þ º
ºº º º
ºº º º
ºº º º
ºº º º
ººº º
º º
º
193
Ne amintim că laturile triunghiului dreptunghic care formează unghiul drept se numesc catete,
iar latura opusă unghiului drept se numeşte ipotenuză.
A1. Două triunghiuri dreptunghice au unghiurile drepte
congruente. De aceea, pentru stabilirea unei congruențe între
două triunghiuri dreptunghice, este suficient să identificăm,
conform cazurilor de congruenţă ale triunghiurilor oarecare, încă
două congruențe între elementele lor.
Exemplu.Triunghiurile dreptunghice din figura alăturată, cu
catetele respectiv congruente, sunt congruente, conform
criteriului LUL. Acest criteriu de congruenţă a triunghiurilor
dreptunghice se numeşte criteriul catetă, catetă (CC);
Stabiliţi criteriul de congruenţă a triunghiurilor dreptunghice dedus din criteriul ULU al congruenţei triunghiurilor. Ce alte perechi de elemente congruente trebuie să aibă două triunghiuri dreptunghice pentru a fi congruente conform cazului ULU?
A2. a) Pe semidreapta Ax a unui unghi drept xAy, luați segmentul
AB cu lungimea de 4 cm, iar cu vârful compasului în B şi
deschiderea de 5 cm descrieți un arc de cerc care să intersecteze
semidreapta Ay în C. Uniți punctele B și C şi aţi construit triunghiul dreptunghic BAC;
b) Repetați construcția anterioară, pentru cateta AB = 5 cm și ipotenuza BC = 13 cm;
c) Din construcțiile de la punctele a) şi b), se deduce că un triunghi dreptunghic poate fi
construit cunoscând numai o catetă și ipotenuza. Numiţi criteriul de congruență a triunghiurilor
dreptunghice obţinut din cazul de construcţie descris.
Criteriul CC (catetă, catetă): Două triunghiuri dreptunghice
care au catetele respectiv congruente sunt congruente.
Exemplu:
AB MN
ABC MNP
AC MP
º ü
ý ÞD ºD º þ .
LECȚIA 6. Criteriile de congruență a triunghiurilor dreptunghice
194
1. Să demonstrăm că, dacă două triunghiuri dreptunghice isoscele au ipotenuzele congruente, atunci ele sunt congruente.
2. Să demonstrăm că, dacă două triunghiuri dreptunghice au toate unghiurile respectiv
congruente, nu rezultă că ele sunt congruente.
3. Să demonstrăm că există două triunghiuri dreptunghice necongruente care au
ipotenuzele congruente.
1. Se consideră un triunghi isoscel ABC, cu AB AC și înălțimea AD, unde D AB. Arătați că
DABD DACD.
Ipoteză: DABD isoscel; AB AC; AD BC ^ , D AB.
Concluzie: DABD DACD.
Demonstrație: AD BC ^ triunghiurile ADB și ADC dreptunghice în D.
Atunci:
º Î
º
º Î
º
Þ
. .
90
C I
ADB ADC
AD AD ADB ADC
AB AC
= = ü
ï
º Þº ý
ï º þ
o S S
V V
Criteriul CU (catetă, unghi ascuţit): Două triunghiuri
dreptunghice care au câte o catetă și unghiul ascuțit alăturat
acesteia respectiv congruente sunt congruente.
Exemplu:
AB MN
ABC MNP
B N
º ü
ý ÞD ºD
S Sº þ
Criteriul IU (ipotenuză, unghi ascuţit): Două triunghiuri
dreptunghice care au ipotenuzele și un unghi ascuțit respectiv
congruente sunt congruente.
Exemplu:
BC NP
ABC MNP
B N
º ü
ý ÞD ºD
S Sº þ
Criteriul IC (ipotenuză, catetă): Două triunghiuri
dreptunghice care au ipotenuzele și câte o catetă respectiv
congruente sunt congruente.
Exemplu:
BC NP
ABC MNP
AB MN
º ü
ý ÞD ºD º þ
195
2. Segmentul AB și perpendicularele MA AB ^ și NB AB ^ sunt astfel încât MA NB º . Arătați
că D ºD MAB NBA .
Ipoteză: MA AB ^ ; NB AB ^ ; MA NB º .
Concluzie: D ºD MAB NBA .
Demonstrație: Problema are două cazuri, după cum punctele M și N
sunt de aceeași parte sau de o parte și de alta a dreptei AB. Pentru că
MA AB ^ și NB AB ^ , deducem că triunghiurile MAB și NBA sunt
dreptunghice. Atunci, pentru ambele situații ilustrate în desenul alăturat,
avem:
DMAB ≡ DNBA.
1. Pentru triunghiurile ABC și DEF dreptunghice în A și, respectiv D, completează spațiul
punctat cu încă o condiție, astfel încât să se obțină afirmații adevărate:
a) AB DE, ... ÞD ºD ABC DEF ; b) BC EF, ... ÞD ºD ABC DEF ;
c) AC DF, ... ÞD ºD ABC DEF ; d) ..., S S C F º ÞD ºD ABC DEF ;
e) ..., ÞD ºD ABC DEF .
2. Identifică, în figurile de mai jos, perechile de triunghiuri dreptunghice congruente după
marcajele elementelor lor, apoi demonstrează folosind criteriile de congruență și scrie
congruențele elementelor lor.
3. Se consideră DABC cu SA = ° 90 şi C AC 'Î , astfel încât A să fie mijlocul segmentului CC'.
Demonstrează că D ºD ABC ABC '.
4. Se consideră triunghiul isoscel ABC, cu AB AC º și înălțimile BE AC ^ , CF AB ^ , cu E
Î AC și F Î AB. Arată că D ºD AEB AFC .
5. Se consideră un unghi A și un punct D pe bisectoarea acestuia. Perpendiculara în D pe
bisectoare intersectează laturile unghiului în punctele B și C.
a) Demonstrează că D ºD ADB ADC ;
b) Dacă AB = 8 cm și BD = 6 cm, calculează perimetrul triunghiului ABC.
. .
90
C C
MA NB
AB AB
MAB NBA
º ü
ï º Þý
ï = = þ
o S S
º º
º
S S B E º
196
A1. Mihai are de rezolvat următoarea problemă, prin metoda triunghiurilor congruente:
Triunghiurile dreptunghice CAB și KIJ au A = I = 90o
, AB º IJ și AC º IK. Demonstrați
că BC º JK.
Iată planul lui Mihai de rezolvare a problemei:
a) Citim cu atenție enunțul pentru a identifica congruențe și alte relații
între elementele cunoscute din cele două triunghiuri (ipoteza), precum
și elementele necunoscute, care trebuie aflate (concluzia);
b) Construim cele două triunghiuri, pe baza datelor cunoscute,
marcăm perechile de laturi congruente și de unghiuri congruente, din
cele două triunghiuri, în același fel, apoi scriem ipoteza și concluzia;
c) Identificăm criteriul de congruență a triunghiurilor pe care îl aplicăm și redactăm
demonstrația, în spațiul marcat cu demonstraţie.
Ipoteză: A = I = 90o
, AB º IJ, AC IK. Concluzie: BC º JK.
Demonstraţie: A = I = , AB IJ, AC IK DCAB DKIJ ⟹ BC º JK.
Criteriul de congruență a triunghiurilor dreptunghice a permis scrierea congruenței triunghiurilor CAB și KIJ, iar definiția congruenței a două triunghiuri a permis scrierea congruențelor elementelor corespunzătoare din cele două triunghiuri, care nu se regăsesc în
ipoteză.
A2. Rezolvați problema lui Mihai, dar cu următorul enunț: Triunghiurile dreptunghice CAB și
KIJ au S S A I = =° 90 , AB IJ º și BC JK º . Demonstrați că AC IK º .
Aplicația 1: Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi:
Dacă un punct aparține bisectoarei unui unghi, atunci el este egal
depărtat de laturile unghiului.
S S
S S º
S S 90o º º
cc ..
Þ º
Metoda triunghiurilor congruente se foloseşte pentru stabilirea congruențelor între
elementele corespunzătoare a două triunghiuri, prin demonstrarea congruenței acestora, pe
baza definiției și a unui criteriu de congruență a triunghiurilor.
LECȚIA 7. Metoda triunghiurilor congruente
197
Pentru demonstrarea proprietății, considerăm unghiul xOy, un punct oarecare P pe bisectoarea
acestuia și distanțele PA, PB de la P laturile unghiului, A Î Ox, B Î Oy.
Ipoteză: PA Ox, A Ox, PB Oy, B Oy, AOP º BOP. Concluzie: PA = PB.
Demonstrație: DOAP, DOPB sunt dreptunghice în A, respectiv B și OP OP, AOP BOP
DOAP DOBP PA=PB.
Aplicația 2: Proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment:
Dacă un punct aparține mediatoarei unui segment, atunci el este egal
depărtat de capetele segmentului.
Pentru demonstrarea proprietății considerăm segmentul AB, mijlocul M al
acestuia, mediatoarea d și un punct oarecare P al mediatoarei.
Ipoteză: MA MB, M AB, d AB, d AB={M}, P d.
Concluzie: PA PB.
Demonstrație: Dacă P = M, proprietatea este evident adevărată. Analizăm cazul P M.
DPMA și DPMB sunt dreptunghice în M, conform ipotezei.
PM º PM, MA º MB DPMA º DPMB PA º PB.
1. Să demonstrăm că mediatoarea segmentului este axă de simetrie a acestuia.
2. Să demonstrăm că bisectoarea unghiului este axă de simetrie a acestuia.
3. Să demonstrăm că intersecţia a două mediatoare ale laturilor unui triunghi se află pe
mediatoarea celei de-a treia laturi.
1. În figura geometrică alăturată, avem AE CD, BAE BCD și AEB BDC.
Demonstrați că: a) AB BC; b) triunghiul DBE este isoscel cu vârful B.
Ipoteză: AE CD; BAE BCD; AEB BDC.
Concluzie: a) AB BC; b) BE BD.
Demonstrație: a) AE CD, BAE BCD, AEB BDC
DABE DCBD AB BC.
b) Din faptul că DABE DCBD EB DB DDBE isoscel.
2. Construiește triunghiul ABC cu BC = 6 cm, B= și A= . Dacă
mediatoarea laturii AB intersectează AC în D, arată că DADB este
dreptunghic isoscel.
Ipoteza: DABC; BC = 6 cm; B = , A = ; DE mediatoarea
segmentului AB; D AC, E AB. Concluzie: DADB dreptunghic isoscel.
^ Î ^ Î S S
º S º S
IU
Þ º Þ
º Î ^ Ç Î
º
¹
CC
Þ Þ
º S º S S º S
º
º S º S S º S
º º
º S º S S º S
U LU .. .
Þ
º Þ º
º Þ º Þ
S 75o S 45o
S 75o S 45o
Î Î
198
Demonstrație: Pentru a construi triunghiul, determinăm C= – A – B= .
Pentru că D se găsește pe mediatoarea segmentului AB, avem DA DB DADB isoscel. Apoi,
avem: EA EB, AD AD, AED= BED= DEAD DEBD ∢EBD = EAD =
ADB = – BAD – ABD = – – = , deci DADB este dreptunghic.
1. Se știe că DABC DMNP şi că AB=6 cm, BC=9 cm, iar ABC= .
Determină elementele triunghiului MNP ce pot fi aflate în aceste condiții.
2. În figura geometrică
alăturată, avem:
OA OB, OD OC și
AOD BOC.
Demonstrează că
OAD OBC și AD BC.
3. În figura geometrică
alăturată,
BAC ABD și
BAD ABC.
Demonstrează că ADB BCA și
AC BD.
4. În figura geometrică alăturată, triunghiul
ADB este isoscel, cu vârful D, iar AE BC și
DE DC. Demonstrează că DAE DBC
și
AED BCD.
5. În figura alăturată, AI BI, ID IC și
{I}=AC BD. Demonstrează că:
a) AD BC și
ADI BCI;
b) AC BD și
BAD ABC.
6. Se consideră triunghiul ABC isoscel, cu vârful A, punctul M pe latura AC și N pe latura AB, astfel încât
AM º AN. Demonstrează că: a) AMB º ANC și BM º CN; b) DBMC DCNB.
7. În interiorul unui unghi XOY se află două puncte, A și B, astfel încât fiecare este egal depărtat de laturile
unghiului. Demonstrează că punctele O, A și B sunt coliniare.
S 180o S S 60o
º Þ
º º S S 90o
C C. .
Þ º Þ S 45o
Þ S 180o S S 180o 45o 45o 90o
º S 75o
º º
S º S
S º S º
S º S
S º S
S º S
º
º
º S º S
S º S
º º
Ç
º
S º S
º S
º S
S S º
199
Teste la final de unitate
Test de autoevaluare
Copiază și completează tabelul cu litera corespunzătoare răspunsului
corect și vei obține un cuvânt surpriză.
1. Dacă DABC ≡ DBCA, atunci ABC este triunghi
e) f) g) h)
echilateral isoscel scalen oarecare
2. Nu este caz de congruență
e) f) g) h)
LUL LUU LLU ULU
3. Dacă DABC ≡ DACB, atunci ABC este triunghi
a) b) c) d)
isoscel echilateral oarecare scalen
4. Mulțimea punctelor egal depărtate de două puncte date este
i) j) k) l)
bisectoarea unui
unghi cu o latură
conținând cele
două puncte
înălțimea unui
triunghi
dreptunghic care
are un unghi drept
într-unul dintre
punctele date
mediana unui
triunghi isoscel ale
cărui vârfuri de la
bază sunt punctele
date
mediatoarea
segmentului
format de cle două
puncte
5. Nu este caz de congruență
c) d) e) f)
CC CU UU IU
1 2 3 4 5

200
Testul 1
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie în spațiile punctate, cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Două triunghiuri oarecare care au câte o ... și unghiurile alăturate ei respectiv
congruente sunt congruente.
2. Două triunghiuri dreptunghice care au câte o catetă și ... ascuțit alăturat acesteia
respectiv congruente sunt congruente.
3. În două triunghiuri congruente, la unghiuri congruente se opun ... congruente.
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Se știe că: D ºD ABC MNP și cm, cm și 7 cm. Atunci:
a) cm, cm, cm; b) cm, cm, cm;
c) cm, cm, cm; d) cm, cm, cm.
2. Un triunghi dreptunghic ABC are unghiul drept în A, și este congruent
cu DMNP . Atunci:
a) ; b) ; c) ; d) .
3. Segmentele AB și MN au mijlocul comun în punctul O și nu sunt perpendiculare.
Afirmația adevărată este:
a) D ºD MOA NOA ;b) D ºD MOB OBN ;c) D ºD AOM BON ;d) D ºD OMA BOM
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete pentru următoarele exerciții
10p
10p
10p
1. Se consideră un triunghi și punctul pe latura , astfel încât
și . Demonstrați că .
2. În triunghiul ABC, AB = 4 cm, BC = 5 cm, AC = 6 cm, este intersecția
bisectoarei unghiului cu latura și aparține laturii AC, astfel încât
. Realizați desenul și calculați perimetrul triunghiului .
3. Se consideră triunghiul şi punctele mijloacele laturilor ,
respectiv AC. Construim pe prelungirea lui MC, astfel încât să fie mijlocul
lui şi pe prelungirea lui , astfel încât să fie mijlocul lui .
Realizați desenul și demonstraţi că punctele sunt coliniare.
AB = 5 AC = 4 BC =
MN = 4 MP = 5 NP = 7 MN = 5 MP = 4 NP = 7
MN = 7 MP = 4 NP = 5 MN = 5 MP = 7 NP = 4
B = 35o S
M = 35o S N = 90o S M = 55o S P = 55o S
ABC D BC
S S BAD CAD º S S ADB ADC º AB AC º
D
A BC E
AE AB = DEC
ABC M , , N P AB BC ,
D M
C D E N P P N E
A, , D E
201
Testul 2
Se acordă 10 puncte din oficiu.
I. Pe foaia de rezolvare, scrie în spațiile punctate, cuvintele sau rezultatele care fac
enunțurile adevărate.
10p
10p
10p
1. Două triunghiuri oarecare care au câte două laturi și ... cuprins între ele respectiv
congruente sunt congruente.
2. Dacă două triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele și câte o ... respectiv
congruente, atunci ele sunt congruente.
3. În două triunghiuri congruente la laturi congruente se opun ... congruente.
II. Pe foaia de rezolvare, scrie numai litera răspunsului corect știind că doar unul
dintre cele patru răspunsuri este corect.
10p
10p
10p
1. Se știe că: D ºD ABC MNP și , și . Atunci:
a) ; b) ; c) ; d) .
2. Un triunghi dreptunghic ABC are unghiul drept în A, AB = 4 cm, BC = 8 cm și
este congruent cu DMNP . Atunci:
a) NP = 4 cm; b) NP = 8 cm; c) MP = 8 cm; d) MN = 8 cm.
3. Segmentele AB și DC sunt congruente și paralele, astfel încât B și C sunt de
aceeași parte a dreptei AD, iar unghiul ABC este ascuțit. Afirmația adevărată este:
a) D ºD ADC BCD ; b) D ºD ABC ABD ;c) D ºD ABD CDB ; d)D ºD CDB CDA
III. Pe foaia de rezolvare, scrie rezolvările complete, pentru următoarele exerciții:
10p
10p
10p
1. Se consideră un triunghi ABC cu S S ADB ADC º , unde punctul D mijlocul
laturii BC. Demonstrați că S S ABD ACD º .
2. Triunghiul ascuțitunghic ABC are AB = 8 cm și AC = 12 cm. Știind că mediatoarea
laturii BC intersectează latura AC în D, realizați desenul și calculați perimetrul
triunghiului .
3. În triunghiul ABC, punctul D este mijlocul laturii BC. Dacă E este simetricul
punctului A față de D, realizați desenul și demonstrați că .
A = 30o S B = 70o S C = 80o S
P = 80o S N = 30o S M = 70o S P = 70o S
ABD
AB CE P
202
Unitatea de învățare: Triunghiuri particulare
A1. Triunghiul ABC este isoscel cu AB AC și AD este înălțime.
a) Demonstrați că triunghiurile dreptunghice ADB, ADC sunt congruente
și deduceți: S B S C, S BAD S CAD, S BD S CD.
b) Ce puteți afirma despre: înălţimea, bisectoarea, mediana din vârful
triunghiului isoscel, respectiv mediatoarea bazei şi axa de simetrie a
triunghiului?
A2. În triunghiul ABC, S B º S C și AD este înălțime.
a) Demonstrați că triunghiurile dreptunghice ADB, ADC sunt congruente și
deduceți că AB º AC.
b) Ce puteţi afirma despre triunghiul care are două unghiuri congruente?
A3. În triunghiul ABC, AD este înălțime și mediană.
a) Demonstrați că triunghiul ABC este isoscel.
b) Ce puteţi afirma despre triunghiul în care o înălțime este și mediană?
A4. În triunghiul ABC, AD este bisectoare și înălțime.
a) Demonstrați că triunghiul ABC este isoscel.
b) Ce puteţi afirma despre triunghiul în care o înălţime este şi bisectoare?
A5. În triunghiul ABC, AD este bisectoare și mediană.
a) Demonstrați că triunghiul ABC este isoscel.
b) Ce puteți afirma despre triunghiul în care o înălțime este și bisectoare?
º
º º º
LECȚIA 8. Proprietăți ale triunghiului isoscel
203
1. Să desenăm un segment şi mediatoarea sa. Să demosntrăm că orice punct de pe
mediatoare formează, cu capetele segmentului, un triunghi isoscel.
2. Să desenăm un unghi şi bisectoarea sa. Printr-un punct de pe bisectoare să construim o
perpendiculară pe aceasta. Să demonstrăm că obţinem un triunghi isoscel.
1. Demonstraţi că fiecare unghi de la baza triunghiului dreptunghic isoscel are
măsura de 45o
.
Ipoteză: AB ≡ AC; S A = .
Concluzie: S B = S C = .
Demonstrație: Deoarece AB ≡ AC S B ≡ S C. Știm că S A= și
S A +S B +S C = . De aici, obținem:
+ 2·(S B) = 2·(S B) = S B = S B = S C = .
2. Fie AB secantă la dreptele paralele a, b, cu AÎa și BÎb. Dacă AC și AD (C, DÎb, cu B între
C şi D) sunt bisectoarele unghiurilor formate în punctul A, atunci arătați că DABC și DABD sunt
isoscele și că B este mijlocul segmentului CD.
90o
45o
Þ 90o
180o
90o 180o Þ 90o Þ 45o Þ 45o
1. a) Dacă un triunghi este isoscel, atunci unghiurile de la bază sunt congruente.
b) Dacă un triunghi are două unghiuri congruente, atunci el este isoscel.
2. a) Dacă un triunghi este isoscel, atunci bisectoarea unghiului de la vârf, mediana și
înălțimea corespunzătoare bazei coincid și sunt incluse în mediatoarea bazei.
b) Dacă, într-un triunghi, o bisectoare este și înălțime, atunci triunghiul este isoscel.
c) Dacă, într-un triunghi, o mediatoare este și înălțime, atunci triunghiul este isoscel.
d) Dacă, într-un triunghi, o mediană este și înălțime, atunci triunghiul este isoscel.
3. a) Dacă un triunghi este isoscel, atunci mediatoarea corespunzătoare bazei este axa de
simetrie a triunghiului.
b) Dacă, într-un triunghi, mediatoarea unei laturi este axă de simetrie a triunghiului,
atunci triunghiul este isoscel.
204
Ipoteza: a b; AÎa, BÎb; S A1 S A2; S A3 S A4;
C, D b.
Concluzie: DABC, DABD sunt isoscele; CB BD.
Demonstrație: Din S A1 S A2 (ipoteză) și S A1 S
BCA (unghiuri alterne interne formate a b și secanta
AC) S A2 S ACB triunghiul ABC este isoscel, cu baza AC.
Din S A3 S A4 (ipoteză) și S A4 S BDA (unghiuri alterne interne formate ab și secanta AD)
S A3 S BDA triunghiul ABD este isoscel, cu baza AD.
Din DABC isoscel, cu baza AC, avem AB ≡ BC (1) şi din DABD isoscel cu baza AD, avem
AB ≡ BD (2). Din (1) şi (2) BC ≡ BD. Deci B este mijlocul segmentului CD.
1. Demonstrează următoarele proprietăți ale triunghiului isoscel:
a) Medianele corespunzătoare laturilor congruente ale unui triunghi isoscel sunt congruente;
b) Bisectoarele unghiurilor de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente;
c) Înălțimile corespunzătoare laturilor congruente ale unui triunghi isoscel sunt congruente.
2. Arată că un unghi de la baza unui triunghi isoscel nu poate fi drept sau obtuz.
3. În triunghiul isoscel MNP cu vârful M, se consideră punctul D pe latura NP astfel încât
S NMD S PMD. Arată că: a) MD NP ^ ; b) ND PD.
4. În triunghiul IJK se consideră punctul M pe latura JK, astfel încât S S JIM KIM º și
IM JK. Arată că DIJK este isoscel.
5. În triunghiul PQR se consideră punctul I pe latura PR, astfel încât PI = RI = 2,5 cm și
QI ^ PR. Arată că DPQR este isoscel.
6. În triunghiul ABC se consideră punctul D pe latura AC, astfel încât S S ABD CBD º și
AD CD. Arată că DABC este isoscel.
7. În triunghiul isoscel ABC, AD este bisectoarea de la vârf, cu D situat pe latura BC și SC = ° 55 .
Află măsura unghiului BAD.
8. În triunghiul isoscel ABC, AD este înălțimea corespunzătoare bazei BC și BC = 6 cm. Află
lungimea segmentului BD.
9. În triunghiul isoscel ABC, AD este înălțimea corespunzătoare bazei BC și S B = . Află
măsura unghiului BAD.
P º º
Î
º
º º
P
Þ º Þ
º º P
Þ º Þ
Þ
º º
^
º
48o
205
A1. Construiți un triunghi echilateral ABC. a) Considerând AB AC, arătați că B C;
b) Considerând CA CB, arătați că A B; c) Ce puteți afirma despre unghiurile unui
triunghi echilateral, pe baza rezultatelor de la a) și b)?
A2. Construiți un triunghi ABC cu toate unghiurile congruente. a) Considerând B C,
arătați că triunghiul ABC este isoscel și indicați laturile congruente; b) Considerând A B,
arătați că CA CB; c) Ce puteți afirma despre un triunghi care are toate unghiurile congruente,
pe baza rezultatelor de la a) şi b)?
A3. Calculaţi măsurile unghiurilor necunoscute ale triunghiului ABC:
a) dacă AB AC și A = 60° ; b) dacă AB AC și B = 60° . Ce puteți afirma despre un triunghi
isoscel, cu un unghi cu măsura de 60° , pe baza rezultatelor de la a) şi b)?
A4. Construiţi un triunghi echilateral ABC. a) Considerând AB AC, ce puteți afirma despre:
înălțimea, mediana, bisectoarea triunghiului din vârful A și mediatoarea laturii BC? b)
Considerând BA BC, ce puteți afirma despre: înălțimea, mediana, bisectoarea triunghiului din
vârful B și mediatoarea laturii AC? c) Ce puteţi afirma despre: înălțimea, mediana, bisectoarea
dintr-un vârf al triunghiului echilateral şi mediatoarea laturii opuse acestui vârf? d) Ce puteţi
afirma despre: centrul cercului circumscris, centrul cercului înscris, centrul de greutate și
ortocentrul triunghiului echilateral?
A5. Demonstrați că următoarele afirmaţii sunt adevărate: a) dacă două bisectoare ale unui
triunghi sunt și înălțimi, atunci triunghiul este echilateral; b) dacă două mediane ale unui
triunghi sunt și înălțimi, atunci triunghiul este echilateral; c) dacă două bisectoare ale unui
triunghi sunt și mediane, atunci triunghiul este echilateral.
º S º S
º S º S
S º S
S º S
º
º S º S
º
º
LECȚIA 9. Proprietăți ale triunghiului echilateral
206

1. Să desenăm un triunghi echilateral. Să numim şi să numărăm liniile importante care
coincid, în raport cu un vârf al triunghiului.
2. Să demonstrăm că, dacă un triunghi are două axe de simetrie distincte, atunci el este
echilateral.
1. Pe laturile unui triunghi echilateral ABC se consideră punctele:
D BC, E AC și F AB, astfel încât BD CE AF. Demonstrați că
triunghiul DEF este echilateral.
Ipoteză: DABC echilateral; D Î BC, E Î AC și F Î AB, BD CE AF.
Concluzie: DDEF echilateral.
Demonstrație: AB BC CA și AF BD CE FB DC EA.
AF BD CE, AE BF CD, FAE= DBF= ECD=
DAFE DBDF DCED FE FD DE DDEF este echilateral.
2. Se consideră trei unghiuri: AOB, BOC, COA adiacente două câte două și toate trei congruente.
Știind că OA OB OC, arătați că DABC este echilateral și O este ortocentrul său.
Ipoteza: AOB, BOC, COA adiacente;
AOB BOC COA; OA OB OC.
Concluzie: DABC echilateral; O ortocentrul DABC.
Demonstrație: OA OB OC, AOB BOC COA
DAOB DBOC DCOA AB BC CA DABC echilateral, în
care OA, OB, OC sunt bisectoare, deci și înălțimi. Deci O este
ortocentru.
ÎÎ Î º º
º º
ºº º º Þ º º
ºº º º SSS 60o
Þ º º Þ º º Þ
º º
SSS
S º S º S º º
º º S º S º S L. .. U L
Þ
º º Þ º º Þ
207
1. Justifică, în cazurile următoare, faptul că triunghiul ABC este echilateral:
a) AB = AC = BC = 5 cm; b) ABC;
c) AB = 4 cm, AC = 0,4 dm, BC = 40 mm; d) A = B = ;
e) AB = AC = 6 cm și PDABC =18 cm.
2. Află perimetrul unui triunghi cu latura de lungime 8 cm.
3. Află lungimea laturii unui triunghi echilateral al cărui perimetru este de 33 cm.
4. În triunghiul echilateral ABC, cu lungimea laturilor de 4 cm, se consideră înălțimile AD, cu
D BC, BE cu E AC și CF cu F AB. Calculează: a) BD; b) AF + CE + DC;
c) AB + CD + AE; d) BAD + FCB + EBC; e) BAC + FCA.
5. În triunghiul echilateral IJK, IL este bisectoarea unghiului IJK, iar L JK. Arată că IL este
înălțimea și mediana din I a triunghiului.
6. În triunghiul echilateral MNP, MI este mediana din M a triunghiului, iar I MP.
Demonstrează că MI este bisectoarea unghiului NMP și înălțimea din M a triunghiului.
7. În triunghiul LMN, se consideră punctul A pe latura LN și punctul B pe latura MN. Știind că
MA LN, LB MN, LMA º NMA și MLB º NLB, arată că triunghiul LMN este
echilateral.
8. În triunghiul PQR, se consideră punctul I pe latura QR și punctul J pe latura PR. Știind că
PI QR, QJ PR, QI RI și PJ RJ, arată că triunghiul PQR este echilateral.
9. În triunghiul QRS, punctul M este mijlocul laturii RS și punctul N este mijlocul laturii QS.
Știind că MQR MQS și NRQ NRS, arată că triunghiul QRS este echilateral.
S º S º S
S S 60o
Î Î Î
SSS SS
Î
Î
^ ^ SS SS
^ ^ º º
S º S S º S
208
A1. a) Construiți triunghiul dreptunghic ABC, în care: A= , B= și BC=6 cm;
b) Măsurați cu rigla cateta AC și comparați lungimea acesteia cu jumătate din lungimea
ipotenuzei BC.
A2. Triunghiul ABC din figura alăturată este dreptunghic în A și lungimea
catetei BC este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei BC.
a) Măsurați cu raportorul unghiul BAC. Comparați rezultatul măsurătorii
voastre cu cel al colegilor;
b) Construiți acest triunghi în caiet și apoi simetricul D
al lui C față de AB;
c) Arătați că triunghiul ACD este isoscel, cu CA CD;
d) Arătați că triunghiul ACD este isoscel, cu AC AD;
e) Stabiliți natura triunghiului ADC și precizați măsura unghiului C;
f) Calculați măsura unghiului BAC. Comparați rezultatul cu cel al
măsurătorii de la punctul a).
A3. a) Realizați în caiet
următorul tabel:
b) Construiți triunghiul
ABC, dreptunghic în A,
în fiecare dintre cele 4
cazuri indicate în tabel
şi marcaţi cu M mijlocul ipotenuzei BC.
c) Pentru fiecare triunghi măsurați ipotenuza și mediana corespunzătoare ipotenuzei.
Completați apoi toate căsuțele libere din tabel.
S 90o S 30o
º
º
AB AC BC
(măsurare)
BC : 2
(calcul)
AM
(măsurare)
AB2
+AC2
(calcul)
BC2
(calcul)
3 4
6 8
5 12
10 24
8 15
LECȚIA 10. Proprietăți ale triunghiului dreptunghic